第三节高阶导数三: 导的究高阶导数的求导法则三、小结思考题经济数学微积分
一、高阶导数的定义 二、高阶导数的求导法则 三、小结 思考题 第三节 高阶导数
高阶导数的定义(derivative of higher orders)问题：变速直线运动的加速度设s= f(t)，则瞬时速度为v(t)= f'(t)：加速度a是速度对时间的变化率:. a(t) =v'(t) =[f'(t)]}'定义如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即f'(x + △x)- f'(x)(f(x)= limArAr-→0存在,则称(f(x))为函数f(x)在点x处的二阶导数经济数学微积分
一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = → (derivative of higher orders)
d°f(x)2或记作f"(x), ydx?dx二阶导数的导数称为三阶导数，f"(x)，j"dxd4三阶导数的导数称为四阶导数，f(4)(x),j(4),dx一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作d"f(x)df(n) (x), y(n),或dx"dx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数相应地，f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数经济数学微积分
记作 . d d ( ) d d ( ), , 2 2 2 2 x f x x y f x y 或 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . d d ( ) d d ( ), , ( ) ( ) n n n n n n x f x x y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. . d d ( ), , 3 3 x y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , . d d ( ), , 4 4 (4) (4) x y f x y
高阶导数的求法法则1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数例1 设 y=arctanx,求f"(O), f"(0)1-2x解11+x?(1+x)22x2(3x2 -1)(1+ x°)3-2x2(3x2 -1)-2f"(0) :=f"(0)/x=0 = 0;x=0(1+x2)(1+x")3L微积分经济数学
二、 高阶导数的求法法则 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x = 0; f = −2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数
例2 设 =xα (α R),求y("),解 J'=αxα-1y" =(αxα-l)' = α(α-1)xα-2j" =(α(α-1)xα-2) =α(α-1)(α-2)xα-3y(n) = α(α-1)...(α-n+ 1)xα-n(n ≥1)若α为自然数n,则y(n+1) =(n!)' = 0.y(n) =(x")(") =n!,福经济数学微积分
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
注意：求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法证明)例3 设 y = In(1 +x),求(n),11解(1 +x)?1+x2!3!(1 +x)3(1 + x)4(n -1)!n: (-1)(n ≥ 1, 0!= 1)(1 + x)"经济数学微积分
例3 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 注意: x y + = 1 1 2 (1 ) 1 x y + = − 3 (1 ) 2! x y + = 4 (4) (1 ) 3! x y + = − ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 = + − = − − n x n y n n n 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法 证明)
例4 设 = sin x,求y(")。元解 j'=cosx = sin(x+2元元(x+2:y" = cos(x +X+sin2222元元y" = cos(x + 2.sin(x + 3.22T.. (sin x)(n) = sin(x + n.2元(cos x)(n) = cos(x + n 同理可得2微积分经济数学
例4 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin( = x + ) 2 cos( y = x + ) 2 2 sin( + = x + ) 2 sin( 2 = x + ) 2 cos( 2 y = x + ) 2 sin( 3 = x + ) 2 (sin ) sin( ( ) x = x + n n ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n 同理可得
例5 设y=exsinbx(a,b为常数),求y(n)解 y'= aea sin bx + be cos bx= eax (a sin bx + b cos bx)h=eax . Va? +b2 sin(bx + Φ) (Φ= arctan=)ay" = a? + b? . [aeax sin(bx + )+ beax cos(bx + p)]= Va? +b2 .eax . Va? +b’ sin(bx+ 2p)by(") = (a? + b’)2 .ea* sin(bx + n)(β= arctan ~aC经济数学微积分
例 5 sin ( , ), . ax (n) 设 y = e bx a b为常数 求y 解 y ae bx be bx ax ax = sin + cos e (a sin bx bcos bx) ax = + sin( ) ( arctan ) 2 2 ab e a b bx ax = + + = [ sin( ) cos( )] 2 2 y = a + b ae bx + + be bx + ax ax sin( 2 ) 2 2 2 2 = a + b e a + b bx + ax ( ) sin( ) ( ) 2 2 2 y = a + b e bx + n ax n n ( arctan ) ab =
2.高阶导数的运算法则：设函数u和v具有n阶导数.则(1) (u±v)(n) = u(n) ±v(n)(2) (Cu)(n) = Cu(n)1n(3) (u .v)(") = u(")y + nu2!n(n -1)...(n - k +1)-k)y,(k)+up(n)k!莱布尼茨公式ZChu(u-k)p(k)k=0经济数学微积分
2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数, 则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − = + + − − + + − = + + 莱布尼茨公式
例6 设 y = xe2,求y(20),解 设u=e2×,V=x2,则由莱布尼兹公式知y(20) = (e2*)(20) . x2 + 20(e2*)(19) . (x)20(20 -1) ((e2*)18) (x*)" + 02!= 22°e2x . x2 + 20 . 21'e2x .2x20.192183.2x.2e+2!= 22°e2×(x2 + 20x + 95)华微积分经济数学
例 6 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2 x , v = x2 ,则由莱布尼兹公式知 ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) 2 (18) 2 (20) 2 (20) 2 2 (19) 2 + − + = + e x y e x e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 18 2 20 2 2 19 2 + = + x x x e e x e x 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x