第四节极限运算法则经济数学微积分
第四节 极限运算法则
一、极限运算法则定理设 lim f(x) = A,lim g(x) = B,则(1)lim[f(x)± g(x)l= A± B;(2)lim[f(x)· g(x)]= A · B;f(x)Alim其中B±0.(3)Bg(x)证 : lim f(x)= A, limg(x) = B.: f(x)=A+α, g(x)=B+β. 其中α→0,β→0.由无穷小运算法则,得经济数学微积分
一、极限运算法则 定理 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得
[f(x)±g(x)]-(A± B) =α±β →0. ::. (1)成立[f(x)· g(x)]-(A·B) =(A+α)(B+β)- AB. (2)成立.=(Aβ+Bα)+αβ →0ABα- Aβf(x)A_A+αBg(x)BB+βB(B +β): Bα- Aβ → 0.又：β→0,B0,8>0,当0Bβ2C经济数学微积分
[ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
21B2,故:. B(B +β)>二有界,B22B(B +β): (3)成立.推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)] = clim f(x)常数因子可以提到极限记号外面，推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]" =[lim f(x)]"经济数学微积分
推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
二、求极限方法举例x3-1例1 求 limlim x? - 3x +5'2 - lim3x + lim5解 lim(x2 -3x +5) = limx2x-→2x-→2x-→2x-2= (lim x)2 - 3lim x + lim5x-→2x-→2x-→2=22-3.2+5=3±0,lim x3 _ lim1x3-12379x→2x-→2. limx-2x2-3x+533lim(x2 - 3x + 5)x-→2C经济数学微积分
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =
小结：1.设f(x)=ax"+axn-1++an,则有lim f(x) = a(lim x)" + a,(lim x)"-1 + ...+ anx→xox→xox→Xo=aox" +a,x"n-I +...+an = f(xo).P(x)2.设 f(x)且Q(x)±0，则有Q(x)lim P(x)P(x)x-→xof(xo).lim f(x) =lim Q(x)Q(x.)x-→xox→xo若Q(x)= 0,则商的法则不能应用C经济数学微积分
小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). x0 = f 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用
3.设 f(x)为基本初等函数,其定义域为D，当x E D时，lim f(x)= f(xo)x-→xo经济数学微积分
当 时， 设 为基本初等函数 其定义域为 x D f x D 0 3. ( ) , , = → lim ( ) 0 f x x x ( ). x0 f
4x -1例2 求 limx1x2+2x-3解商的法则不能用军 : lim(x2 +2x -3) = 0,x→1又: lim(4x -1) = 3± 0,x-1x2+2x-30:. lim:034x-1x-1由无穷小与无穷大的关系,得4x-1lim8.x-1x2+2x-3经济数学微积分
解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x
x2.例3 求 limx-1 x2 +2x-30解?x→1时,分子,分母的极限都是零型）10先约去不为零的无穷小因子x一1后再求极限x?-1(x +1)(x -1)limimx=1 x2 +2x -3x-i(x + 3)(x -1)x+11（消去零因子法）lim-2x-1 x + 3微积分经济数学
解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x →1时,分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子 x − 1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = ) 0 0 ( 型 (消去零因子法)
x?+ax+b例4设lim=2,求a、 b.x-1 x2 +2x-3解 x一→1时,分母的极限是零而商的极限存在则lim(x2 +ax +b) =1+a+b = 0.x->1x?+ax+b(x+1+a)(x-1)于是limJimx-1x2+2x-3x→1(x+3)(x -1)2+ax+1+a=2.= lim4x+3x-1故a = 6,b=-7.福经济数学微积分
解 2, . 2 3 4 lim 2 2 1 a b x x x ax b x 求 、 ＋ 例 设 = + − + → x →1时,分母的极限是零,而商的极限存在. lim( ) 1 0. 2 1 + + = + + = → x ax b a b x 则 ( 3)( 1) ( 1 )( 1) lim 2 3 lim 1 2 2 1 + − + + − = + − + → → x x x a x x x x ax b x x ＋ 于 是 2. 4 2 3 1 lim 1 = + = + + + = → a x x a x 故a = 6,b = −7