i概率统计讲义2016
i 概率统计讲义 2016
目录第一章古典概型和概率空间331.1试验与事件71.2古典概型与几何概型71.2.1古典概型1.2.2几何概型14151.3概率的公理化和加法公式1.3.1概率的公理化151.3.2概率的加法公式，171.3.3概率的连续性181.4条件概率和乘法公式181.5事件的独立性211.6全概率公式与Bayes公式241.6.1全概率公式241.6.2Bayes公式281.7概率与频率3033第二章随机变量和概率分布2.1随机变量332.2离散型随机变量352.3连续型随机变量43概率分布函数512.42.4.1概率分布函数512.4.2常见分布的分布函数542.5随机变量函数的分布56第三章随机向量及其分布633.1随机向量及其联合分布633.2离散型随机向量及其分布65
目录 第一章 古典概型和概率空间 3 1.1 试验与事件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 古典概型与几何概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 古典概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 几何概型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 概率的公理化和加法公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 概率的公理化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 概率的加法公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 概率的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 条件概率和乘法公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 事件的独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6 全概率公式与 Bayes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.1 全概率公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.2 Bayes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7 概率与频率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 第二章 随机变量和概率分布 33 2.1 随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 离散型随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 连续型随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 概率分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1 概率分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 常见分布的分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 随机变量函数的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 第三章 随机向量及其分布 63 3.1 随机向量及其联合分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2 离散型随机向量及其分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
目录连续型随机向量及其分布683.33.4随机向量函数的分布753.5极大极小值的分布813.6条件分布和条件密度.84第四章91数学期望和方差数学期望914.1.4.1.1数学期望概念914.1.2常见分布数学期望964.2数学期望的性质99.4.2.1随机向量函数的数学期望994.2.2数学期望的性质.1024.3随机变量的方差1064.4协方差和相关系数.115第五章119多元正态分布和极限定理5.1多元正态分布119大数律5.2.1235.3中心极限定理.126描述性统计131第六章6.1总体和参数.1316.2抽样调查方法.1336.3用样本估计总体分布..1416.4众数和中位数..1486.5随机对照试验.152第七章参数估计1597.1点估计和矩估计1597.2最大似然估计.1667.2.1离散型随机变量的情况：.1667.2.2连续型随机变量的情况1687.3抽样分布及其上分位数..1737.3.1抽样分布.1747.3.2抽样分布的上Q分位数179正态总体的区间估计1827.4....已知时，μ的置信区间.1837.4.17.4.2未知时μ的置信区间185
目录 3.3 连续型随机向量及其分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4 随机向量函数的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5 极大极小值的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6 条件分布和条件密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 第四章 数学期望和方差 91 4.1 数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 数学期望概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 常见分布数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2 数学期望的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.1 随机向量函数的数学期望 . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2.2 数学期望的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 随机变量的方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 协方差和相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 第五章 多元正态分布和极限定理 119 5.1 多元正态分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 大数律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3 中心极限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 第六章 描述性统计 131 6.1 总体和参数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2 抽样调查方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3 用样本估计总体分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.4 众数和中位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.5 随机对照试验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 第七章 参数估计 159 7.1 点估计和矩估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2 最大似然估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.1 离散型随机变量的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.2 连续型随机变量的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.3 抽样分布及其上 α 分位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.3.1 抽样分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.3.2 抽样分布的上 α 分位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.4 正态总体的区间估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.4.1 已知 σ 时, µ 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.4.2 未知 σ 时 µ 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
目录7.4.3方差的置信区间.1877.4.4均值差μ1-的置信区间.1897.4.5方差比/的置信区间.191..1917.4.6单侧置信区间：.1927.5非正态总体和比例P的置信区间7.5.1正态逼近法.1927.5.2比例p的置信区间.194第八章假设检验1978.1假设检验的概念.1978.2正态均值的假设检验.201:.2018.2.1已知时，H的正态检验法8.2.2p值检验法:.2038.2.3未知时，均值μ的t检验法.2048.2.4未知时，μ的单边检验法:.2058.2.5正态近似法.208样本量的选择.2098.38.4均值比较的检验.210已知，时，μ,2的检验8.4.1:.211...2138.4.2未知,,但已知=时，一μ的检验成对数据的假设检验2148.4.3J8.4.4未知,时,μ1,μ2 的检验.2168.5方差的假设检验：.217比例的假设检验：2198.6小样本情况下的假设检验：.2198.6.1.8.6.2大样本情况下单个比例的假设检验.2218.6.3大样本情况下两个总体比例的比较.2248.7总体分布的假设检验.227233第九章线性回归分析数据的相关性.2339.19.1.1样本相关系数.2349.1.2相关性检验.2369.2回归直线2389.3一元线性回归.242最大似然估计和最小二乘估计.2439.3.19.3.2平方和分解公式.247
目录 7.4.3 方差 σ 2 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.4.4 均值差 µ1 − µ2 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.4.5 方差比 σ 2 1/σ 2 2 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4.6 单侧置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.5 非正态总体和比例 p 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.5.1 正态逼近法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.5.2 比例 p 的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 第八章 假设检验 197 8.1 假设检验的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.2 正态均值的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.1 已知 σ 时, µ 的正态检验法 . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.2 p 值检验法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.2.3 未知 σ 时, 均值 µ 的 t 检验法 . . . . . . . . . . . . . . 204 8.2.4 未知 σ 时, µ 的单边检验法 . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2.5 正态近似法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3 样本量的选择 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.4 均值比较的检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.4.1 已知 σ 2 1 , σ 2 2 时, µ1, µ2 的检验 . . . . . . . . . . . . . . 211 8.4.2 未知 σ 2 1 , σ2 2 , 但已知 σ 2 1 = σ 2 2 时, µ1 − µ2 的检验 . . . . 213 8.4.3 成对数据的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.4.4 未知 σ 2 1 , σ2 2 时, µ1, µ2 的检验 . . . . . . . . . . . . . . 216 8.5 方差的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.6 比例的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.6.1 小样本情况下的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.6.2 大样本情况下单个比例的假设检验 . . . . . . . . . . . 221 8.6.3 大样本情况下两个总体比例的比较 . . . . . . . . . . . 224 8.7 总体分布的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 第九章 线性回归分析 233 9.1 数据的相关性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.1.1 样本相关系数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.1.2 相关性检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.2 回归直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.3 一元线性回归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.3.1 最大似然估计和最小二乘估计 . . . . . . . . . . . . . . 243 9.3.2 平方和分解公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
目录斜率b的检验9.3.3.2489.3.4预测的置信区间-249中9.4多元线性回归.251...9.4.1最小二乘估计.2529.4.2回归显著性检验·.253单个系数的显著性检验9.4.3254残差诊断9.4.4.255
目录 9.3.3 斜率 b 的检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.3.4 预测的置信区间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.4 多元线性回归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.4.1 最小二乘估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 9.4.2 回归显著性检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.4.3 单个系数的显著性检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.4.4 残差诊断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
1目录介绍课程介绍·掌握概率论和数理统计的基本数学知识。·训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力。·学会解决常见的统计分析问题。·是应用型很强的学科。参考书·教材：何书元：《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2006·陈家鼎、刘婉如、汪仁官：《概率统计讲义》（第三版），高等教育出版社，2004.·何书元《概率论》，北京大学出版社，2005·李贤平，《概率论基础》第三版，高等教育出版社，2010；李贤平，陈子毅，《概率论基础学习指导书》，高等教育出版社，2011·SheldonM.Ross，《概率论基础教程》（AFirstCourseinProbability），人民邮电出版社，2006，郑忠国、詹从赞翻译·陈家鼎，郑忠国，《概率与统计》，北京大学出版社，2007：程士宏，《测度论与概率论基础》，北京大学出版社，2004·SheldonM.Ross，《应用随机过程-概率模型导论》（IntroductiontoProbabilityModels），人民邮电出版社，2011，龚光鲁翻译·陈家鼎、孙山泽、李东风、刘力平，《数理统计学讲义》，高等教育出版社，第三版，2015年。. Robert V.Hogg, Joseph W. McKean and Allen T. Craig, IntroductiontoMathematicalStatistics(7thed.），机械工业出版社，2012
目录 1 介绍 课程介绍 • 掌握概率论和数理统计的基本数学知识。 • 训练用概率论和数理统计方法对实际问题进行数学建模的能力。 • 学会解决常见的统计分析问题。 • 是应用型很强的学科。 参考书 • 教材：何书元：《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2006. • 陈家鼎、刘婉如、汪仁官：《概率统计讲义》（第三版）, 高等教育出版 社，2004. • 何书元《概率论》，北京大学出版社，2005. • 李贤平，《概率论基础》第三版，高等教育出版社, 2010; 李贤平，陈子 毅, 《概率论基础学习指导书》，高等教育出版社，2011 • Sheldon M. Ross,《概率论基础教程》（A First Course in Probability）， 人民邮电出版社，2006, 郑忠国、詹从赞翻译 • 陈家鼎，郑忠国，《概率与统计》，北京大学出版社，2007 • 程士宏，《测度论与概率论基础》，北京大学出版社，2004 • Sheldon M. Ross, 《应用随机过程–概率模型导论》（Introduction to Probability Models），人民邮电出版社，2011，龚光鲁翻译 • 陈家鼎、孙山泽、李东风、刘力平，《数理统计学讲义》，高等教育出 版社，第三版，2015 年。 • Robert V. Hogg, Joseph W. McKean and Allen T. Craig, Introduction to Mathematical Statistics(7th ed.), 机械工业出版社，2012
2目录概率论的内容随机事件与概率；.随机变量及其概率分布；.·多维随机变量及其概率分布；·随机变量的数字特征；·大数定律及中心极限定理。数理统计的内容·描述统计：·参数估计；假设检验；.·回归分析.课程安排：时间地点：周二（双周）1-2，周四3-4，理教209：答疑：周二10:00-11:30，15:00-16:30，理科1号楼1425E。教材：何书元：《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2006.·成绩评定（暂定）：期末60+作业20+期中20·作业：每周四交作业，发上周作业。教学要求·认真预习：·完成作业；·自己学习一种统计数据分析软件，建议学习R，见李东风主页
2 目录 概率论的内容 • 随机事件与概率； • 随机变量及其概率分布； • 多维随机变量及其概率分布； • 随机变量的数字特征； • 大数定律及中心极限定理。 数理统计的内容 • 描述统计； • 参数估计； • 假设检验； • 回归分析. 课程安排 • 时间地点：周二（双周）1-2，周四 3-4，理教 209 • 答疑: 周二 10:00-11:30, 15:00–16:30, 理科 1 号楼 1425E • 教材：何书元：《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2006. • 成绩评定（暂定）：期末 60 + 作业 20 + 期中 20. • 作业：每周四交作业，发上周作业。 教学要求 • 认真预习； • 完成作业； • 自己学习一种统计数据分析软件，建议学习 R，见李东风主页
第一章古典概型和概率空间1.1试验与事件第一章介绍·在考虑一个（未来）事件是否会发生的时候，人们常关心该事件发生的可能性的大小·就像用尺子测量物体的长度、我们用概率测量一个未来事件发生的可能性大小·将概率作用于被测事件就得到该事件发生的可能性大小的测量值·为了介绍概率，需要先介绍试验和事件.试验。我们把按照一定的想法去作的事情称为随机试验，随机试验的简称是试验(experiment)·下面都是试验的例子·掷一个硬币，观察是否正面朝上·掷两枚般子，观察掷出的点数之和。在一副扑克牌中随机抽取两张，观察是否得到数字相同的一对，·有7个运动员参加100米短跑比赛，观测比赛结果的名次排列·乘电梯从一楼上到9楼，观测电梯一共停了几次；·观测放学回家的路上所用的时间；·观测航天器发射的成功与否3
第一章 古典概型和概率空间 1.1 试验与事件 第一章介绍 • 在考虑一个 (未来) 事件是否会发生的时候, 人们常关心该事件发生的 可能性的大小. • 就像用尺子测量物体的长度、我们用概率测量一个未来事件发生的可 能性大小. • 将概率作用于被测事件就得到该事件发生的可能性大小的测量值. • 为了介绍概率, 需要先介绍试验和事件. 试验 • 我们把按照一定的想法去作的事情称为随机试验. 随机试验的简称是 试验 (experiment). • 下面都是试验的例子. • 掷一个硬币, 观察是否正面朝上, • 掷两枚骰子, 观察掷出的点数之和, • 在一副扑克牌中随机抽取两张, 观察是否得到数字相同的一对, • 有 7 个运动员参加 100 米短跑比赛, 观测比赛结果的名次排列, • 乘电梯从一楼上到 9 楼, 观测电梯一共停了几次; • 观测放学回家的路上所用的时间; • 观测航天器发射的成功与否; 3
4第一章古典概型和概率空间·观察明天的最高气温；·考察某商场在一天内来到的顾客数量；·观测下次概率统计课有多少同学迟到·观察2003年爆发的非典型肺炎案例首次下降到零的日期。在概率论的语言中，试验还是指对试验的一次观测或试验结果的测量过程.样本空间·投掷一枚硬币，用w+表示硬币正面朝上，用w-表示硬币反面朝上，则试验有两个可能的结果：w+和w_.我们称w+和w=是样本点，称样本点的集合=(w+,w-为试验的样本空间·投掷一枚般子，用1表示掷出点数1，用2表示掷出点数2，，用6表示掷出点数6.试验的可能结果是1，2，3，4，5，6.我们称这6个数是试验的样本点.称样本点的集合2= (w|w=1,2,...,6]是试验的样本空间.·为了叙述的方便和明确，下面把一个特定的试验称为试验S.·样本点（samplepoint)：称试验S的可能结果为样本点，用w表示·样本空间（sample space)：称试验S的样本点构成的集合为样本空间，用2表示.于是n=(w|w是试验S的样本点]事件·投掷一枚般子的样本空间是2= [w[w=1,2, --,6]·用集合A={3)表示掷出3点，则A是2的子集.我们称A是事件·掷出3点，就称事件A发生，否则称事件A不发生
4 第一章 古典概型和概率空间 • 观察明天的最高气温; • 考察某商场在一天内来到的顾客数量; • 观测下次概率统计课有多少同学迟到. • 观察 2003 年爆发的非典型肺炎案例首次下降到零的日期. • 在概率论的语言中, 试验还是指对试验的一次观测或试验结果的测量 过程. 样本空间 • 投掷一枚硬币, 用 ω+ 表示硬币正面朝上, 用 ω− 表示硬币反面朝上, 则试验有两个可能的结果：ω+ 和 ω−. 我们称 ω+ 和 ω− 是样本点, 称 样本点的集合 Ω = {ω+, ω−} 为试验的样本空间. • 投掷一枚骰子, 用 1 表示掷出点数 1, 用 2 表示掷出点数 2, · · · , 用 6 表示掷出点数 6. 试验的可能结果是 1, 2, 3, 4, 5, 6. 我们称这 6 个数 是试验的样本点. 称样本点的集合 Ω = {ω | ω = 1, 2, · · · , 6} 是试验的样本空间. • 为了叙述的方便和明确, 下面把一个特定的试验称为试验 S. • 样本点 (sample point): 称试验 S 的可能结果为样本点, 用 ω 表示. • 样本空间 (sample space): 称试验 S 的样本点构成的集合为样本空间, 用 Ω 表示. 于是 Ω = {ω | ω 是试验 S 的样本点}. 事件 • 投掷一枚骰子的样本空间是 Ω = {ω | ω = 1, 2, · · · , 6}. • 用集合 A = {3} 表示掷出 3 点, 则 A 是 Ω 的子集. 我们称 A 是事件. • 掷出 3 点, 就称事件 A 发生, 否则称事件 A 不发生
51.1试验与事件·用集合B=[2,4,6]表示掷出偶数点，B是2的子集，我们也称B是事件.·当掷出偶数点，称事件B发生，否则称事件B不发生事件B发生和掷出偶数点是等价的，·事件（event)：设2是试验S的样本空间.当2中只有有限个样本点时，称的子集为事件当试验的样本点（试验结果）落在A中，称事件A发生，否则称A不发生.·按照上述约定，子集符号AC2表示A是事件：通常用大写字母A,B,C,D或A1,A2,,B,B2,等表示事件·用A=-A表示集合A的余集.则事件A发生和样本点wEA是等价的，事件A不发生和样本点wEA是等价的·空集中是的子集由于中没有样本点，永远不会发生，所以称中是不可能事件，2也是样本空间的子集，包含了所有的样本点，因而总会发生.我们称2是必然事件例1.1：投掷两枚硬币·投掷两枚硬币，写出试验的样本点和样本空间·解用H(head）表示硬币正面朝上，用T(tail)表示硬币反面朝上，·试验一共有4个样本点，他们是- HH- HT- TH- TT·样本空间是2={HH，HT,TH,TT)·注意，HT和TH是不同的样本点例1.2：播音员选择·例1.2某电视台要招聘播音员，现在有三位符合条件的女士和两位符合条件的男士前来应聘（1）写出招聘男女播音员各一名的样本空间和样本点
1.1 试验与事件 5 • 用集合 B = {2, 4, 6} 表示掷出偶数点, B 是 Ω 的子集, 我们也称 B 是 事件. • 当掷出偶数点, 称事件 B 发生, 否则称事件 B 不发生. 事件 B 发生和 掷出偶数点是等价的. • 事件 (event): 设 Ω 是试验 S 的样本空间. 当 Ω 中只有有限个样本点 时, 称 Ω 的子集为事件. 当试验的样本点 (试验结果) ω 落在 A 中, 称 事件 A 发生, 否则称 A 不发生. • 按照上述约定, 子集符号 A ⊂ Ω 表示 A 是事件. 通常用大写字母 A, B, C, D 或 A1, A2, · · · , B1, B2, · · · 等表示事件. • 用 A = Ω − A 表示集合 A 的余集. 则事件 A 发生和样本点 ω ∈ A 是 等价的, 事件 A 不发生和样本点 ω ∈ A 是等价的. • 空集 ϕ 是 Ω 的子集. 由于 ϕ 中没有样本点, 永远不会发生, 所以称 ϕ 是不可能事件. Ω 也是样本空间 Ω 的子集, 包含了所有的样本点, 因而 总会发生. 我们称 Ω 是必然事件. 例 1.1: 投掷两枚硬币 • 投掷两枚硬币, 写出试验的样本点和样本空间. • 解 用 H(head) 表示硬币正面朝上, 用 T(tail) 表示硬币反面朝上, • 试验一共有 4 个样本点, 他们是 – HH – HT – TH – TT • 样本空间是 Ω = {HH, HT, TH, TT}. • 注意, HT 和 TH 是不同的样本点. 例 1.2: 播音员选择 • 例 1.2 某电视台要招聘播音员, 现在有三位符合条件的女士和两位符 合条件的男士前来应聘. (1) 写出招聘男女播音员各一名的样本空间和样本点