第三节无穷小与无穷大无穷小一、无穷大二、三、小结思考题经济数学微积分
一、无穷小 二、无穷大 三、小结 思考题 第三节 无穷小与无穷大
一、无穷小(infinitesimal)1. 定义：如果函数 f(x)当x→x(或x→)时的极限为零，那么称 f(x)为当x→x(或x→8)时的无穷小·f(x)为当x→x。（或x→o0）时的无穷小台>0,>0,当0<x-<时，有f(x)<8微积分经济数学
) . ( ) ( ( ) ( ) 0 0 时的无穷小 时的极限为零，那么称 为 当 或 如果函数 当 或 → → → → x f x x x f x x x x 一、无穷小(infinitesimal) 1. 定义: f ( x) 为 当 0 x → x ( 或 x → ) 时的无穷小 − ( ) 0 , 0 , 0 0 f x 当 x x 时， 有
例如,：limsinx=0，·函数sinx是当x→0时的无穷小x→01lim:0·函数(二是当x一→8时的无穷小x-→0 xx(-1)"-1)：0，·数列7是当n→8时的无穷小linn→nn注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆：（2）零是可以作为无穷小的唯一的数微积分经济数学
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数
2.无穷小与函数极限的关系：定理1lim f(x)= A台 f(x)= A+ α(x),x-→xo其中α(x)是当x→x,时的无穷小证 必要性 设 lim f(x)= A, 令α(x)=f(x)-A,x-→xo则有 lim α(x)=0, . f(x)= A+α(x).x-→xo充分性 设 f(x)= A+α(x),其中α(x)是当x→x,时的无穷小则 lim f(x) = lim(A+α(x) = A+ lim α(x) = A.x-→xoX-→xox-→xo2经济数学微积分
2. 无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+ (x). 充分性 设 f (x) = A+ (x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(2）给出了函数 f(x)在 x。附近的近似表达式 f(x) ~ A, 误差为 α(x).3.无穷小的运算性质：定理2在自变量的同一变化过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小，证设α及β是当x→8时的两个无穷小V >0,3X, >0,X, >0,使得经济数学微积分
意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为 （ ）给出了函数 在 附近的近似表达 3. 无穷小的运算性质: 定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, 0,X1 0, X2 0,使得
Y-当x>X,时恒有αX,时恒有[βX时,恒有8α±β≤α+βL12= &,+.2:.α±β→0(x→8)注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小例如,n→o时,=是无穷小，n但n个一之和为1不是无穷小.n经济数学微积分
; 2 1 当 x X 时恒有 ; 2 2 当 x X 时恒有 max{ , }, 取X = X1 X2 当 x X时,恒有 + 2 2 + = , → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小0证设函数u在U(xo,S)内有界,则3M>0,8,>0,使得当00,38,>0,使得当0<x-x<8,时8恒有αM经济数学微积分
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数 在 ( 0 , 1 )内有界， 0 u U x . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时 , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x − 恒 有 使得当 时
取=min[8,,8,,则当0<x-x<8时,恒有[u.α =|u] αl< M. 8= &,M.当x→x时，u?α为无穷小推论1在自变量的同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2宫常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小1例如,当x→0时,xsin=,x2arctan-都是无穷小xx经济数学微积分
推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量 与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. min{ , }, 1 2 取 = 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小 x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小
二、无穷大(infinite)绝对值无限增大的变量称为无穷大定义2设函数f(x)在x。某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数M（不论它多么大)，总存在正数（或正数X），使得对于适合不等式 0X）的一切x,对应的函数值 f(x)总满足不等式f(x)>M,则称函数 f(x)当x→x(或x→8)时为无穷大，记作(或lim f(x) = o0).lim f(x)= (x→xox→α华经济数学微积分
二、无穷大(infinite) 定义 2 设函数 f (x)在 x0 某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数 M (不论它多么大),总存在正数 (或正数 X ),使 得 对于适合不等式 − 0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值 f ( x)总满足不等式 f ( x) M , 则称函数 f ( x)当x → x0 (或x → )时为无穷大, 记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 或 绝对值无限增大的变量称为无穷大
特殊情形：正无穷大，负无穷大(或 lim f(x) =-)lim f(x)= +x-→xox→xo(x→00)(x-→0)注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆；(2) lim f(x)= 8o是极限不存在的一x-→>xo种特殊情形（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大经济数学微积分
特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = + = − → → → → f x f x x x x x x x 或 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. . (2) lim ( ) 0 种特殊情形 = 是极限不存在的一 → f x x x