第五节泰勒(Taylor)公式问题的提出一二、 Pn和Rn的确定三、表泰勒中值定理四、简单应用五、小结思考题经济数学微积分
一、问题的提出 二、Pn和Rn的确定 四、简单应用 五、小结 思考题 三、泰勒中值定理 第五节 泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出1.设f(x)在x,处连续,则有[f(x)= f(x)+α]f(x) ~ f(x)2.设f(x)在x,处可导,则有f(x) ~ f(x.)+ f'(x.)(x-xo)[f(x) = f(x)+ f'(x)(x-x)+o(x-x)I例如，当x很小时，e＊～1+x ，In(1＋x)～x(如下图）品微积分经济数学
一、问题的提出 1.设 f (x)在x0处连续,则有 2.设 f (x)在 0 x 处可导,则有 例如, 当 x 很小时, e x x 1 + , ln(1 + x) x [ f (x) = f (x0 ) + ] [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 x0 x x0 o x x0 f x = f x + f − + − （如下图） ( ) ( ) 0 f x f x ( ) ( ) ( )( ) 0 x0 x x0 f x f x + f −
t2.5y=x0.8=et0.61.50.4y = In(1 + x)0.20.5N=1+x00.20.40.60.800.50.5经济数学微积分
x y = e y = 1+ x o x y = e o y = x y = ln(1 + x)
不足：1、精确度不高；2、误差不能估计问题：寻找函数P(x),使得f(x)~ P(x)误差 R(x)= f(x)-P(x) 可估计设函数,f(x)在含有x,的开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶导数P(x)为多项式函数P,(x)=a +a(x-x)+a,(x-x) +...+a,(x-x)误差R,(x)= f(x)-P,(x)如何确定P和R?经济数学微积分
不足: 问题: 寻找函数P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 1、精确度不高； 2、误差不能估计. ●设函数 f (x)在含有x0的开区间(a,b)内 具有直到(n + 1) 阶导数, ●P(x)为多项式函数 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − ●误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 如何确定 Pn 和 Rn ？
二、P,和R,的确定分析:1.若在X点相交V近似程度越来越好y= f(x)P,(x)= f(xo)2.若有相同的切线P'(x)= f'(x)3.若弯曲方向相同x0tP"(xo) = f"(xo)经济数学微积分
二、Pn和Rn的确定 0 x y = f (x) o x y 分析: ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1.若在 x0 点相交
假设P(k)(x) = f(k)(x,) k = 1,2,..-,na,= f(x,), 1.a, = f'(x,), 2!a, = f"(x,)n!a, = f("(x,)得(k = 0,1,2, ...,n)akk代入P,(x)中得f"(xo)P,(x) = f(xo)+ f'(x)(x - xo) -r-x..2!xo(x-x)n!微积分经济数学
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 x0 a = f 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( ) 0 ( ) n a f x n n =
三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒（Taylor）中值定理如果函数f(x）在含有x的某个开区间(a,b）内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为(x一x)的一个n次多项式与一个余项R，（）之和：()= f(x)+ F(x)(x- x0)+"((x- x,)2!f("(xo)(x - xo)" + R,(x)++..n!F(n+1)()(x-x)n+1 (在。与 之间).其中R,(x)=(n + 1)!经济数学微积分
三、泰勒( Taylor )中值定理 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有x0 的某个开区间(a,b) 内具有直到(n + 1) 阶的导数,则 当x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的一个 n次多项式与一个余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0 与x 之间)
证明：由假设,R.(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数且R,(x。) = R,(x。)= R"(xo)= ... = R(n)(x。) = 0两函数R,(x)及(x一x)n+在以x,及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R,(x)R,(x)- R,(x.)+(x - xo)n+1 -0(x - x)"R,(5)(在x,与x之间)(n +1)(5i - x,)"电微积分经济数学
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1) 阶导数, 且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在以x0及x为端点的区间上 满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 0 = = = = = R x R x R x R x n n n n n
两函数R,(x)及(n+1)(x一x)"在以x.及,为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R'(5)R'(5)-R,(x)(n+1)(i -x)"(n+1)( -x,)" - 0R(52)(5,在x,与,之间)n(n+ 1)(5, -x)"-1如此下去,经过(n+1)次后,得R(n+) (2)R,(x)(x-x,)n+(n +1)(在x,与弓,之间,也在x,与x之间)光经济数学微积分
如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以x0及 1 为端 点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n (在x0与 n之 间,也在 0 x 与x之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之 间 x n n x R n n − + − =
P(n+1)(x) = 0, :..R(n+1)(x) = f(n+1)(x)则由上式得f(n+1)(3)(x-x)+1R,(x)(在x,与x之间)(n + 1):(xoZP,(x) =x)k!k=0称为f(x)按(x一x.)的幂展开的 n 次近似多项式(k) (xo)fk(x-x,)* + R,(x)f(x)= Zk!k=0称为f(x)按(x一x)的幂展开的n阶泰勒公式L经济数学微积分
= = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 次近似多项式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 则由上式得( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + =