第六节无穷小的比较经济数学微积分
第六节 无穷小的比较
一、无穷小的比较例如，当x→0时,x,x2,sinx都是无穷小x比3x要快得多：lim= 0,观察各极限x-03xsin xsinx与x大致相同：1limx-→0xsin xsinxlimlim=8x-→0x-0xx0型)0sinx比x2要慢极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同,经济数学微积分
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 0 sin lim x x x→ 0 , , ,sin . 当x → 时 x x 2 x 都是无穷小 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; = 0, = 1, = = → ) sin 1 lim( 0 x x x x 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0 sin . x比 x 2 要慢
定义：设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α≠0(I) 如果 lim B,=0，就说β是比α高阶的无穷小α记作β= 0(α);β(2) 如果lim=80，就说β是比α低阶的无穷小，αβ(3) 如果 lim=C≠0,就说β与α是同阶的无穷小α特殊地,如果 limB2=1,则称β与α是等价的无穷小α记作α～β;经济数学微积分
记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 , = = o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (3) 如果 lim = 0,就说 与 是同阶的无穷小; C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说 是比 低阶的无穷小． ( ) lim
β(4) 如果 limC≠0,k>0,就说β是α的k阶的kα无穷小例如，lim0即 x2 = 0(3x) (x→ 0)x→03x当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小sin xlim1即 sinx ~x (x →0)x-→0x当x→0时,sinx与x是等价无穷小经济数学微积分
. (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C k 就说 是 的 k 阶的 0， 3 lim 2 0 = → x x x 1， sin lim 0 = → x x x 0 3 ; 当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x → 当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即sin x ~ x (x → 0). 例如
例1 证明：当x→0时,tanx一sinx为x的三阶无穷小tan x -sin x解 : limtsx-→0sin x1-cosx=lim-x→0xcos x1sin x1cosxlim= limlim2’x-→0x-→0x-→o cosxx:tanx一sinx为x的三阶无穷小&经济数学微积分
例 1 证明:当x → 0时,tan x − sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x − = → → →
定理1β与α是等价无穷小的的充分必要条件为β=α+o(α).称α是β 的主要部分.证必要性设α~β,ββ-α=0Timααβ-α=o(α),即β=α+o(α),充分性设β= α+o(α)βα+ o(α)= lim( 1 +0(α))inlimαααα~β.经济数学微积分
为 称 是 的主要部分． 定 理 与 是等价无穷小的的充分必要条件 = + ( ). 1 o 证 必要性 设 ~ ， lim lim − 1 = − = 0， − = o()，即 = + o()． 充分性 设 = + o()． + = ( ) lim lim o （１＋ ） = ( ) lim o = 1， ~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如，当x→0时,sinx ~ x,1-cosx2sin x = x + o(x)2x21-cosx=2y=1cosx常用等价无穷小：当x→0时x ~ sin x ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln(1+ x)1x ~ex-1, 1-cosx(1+x)" -1 ~ ax (a± 0)2经济数学微积分
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x 当x → 0时, y = 1 − cos x 2 2 1 y = x 常用等价无穷小: 当x → 0时, , (1 ) 1 ~ ( 0) 2 1 ~ 1, 1 cos ~ ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) 2 − − + − + x e x x x ax a x x x x x x x a . 2 1 sin ~ , 1 cos ~ 2 x x − x x
等价无穷小代换二、定理2（等价无穷小代换定理）β'β'β存在,则 lim设α~ α,β~β且limαααB3βα证limβ'αααβ'βα'β'limlimimβ'ααα微积分经济数学
二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存 在 则 证 lim lim( ) = = lim lim lim lim . =
tan° 2x例3求 limx-→>01-cosx解 当x→0时，1-cosx~tan2x ~ 2x.2(2x)原式=lim8.1x-→>02t2若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限，经济数学微积分
例３ . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − 求 → 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
(x + 1)sin x例 4求 limx-→0arcsin x解主当x→0时,sinx～x,arcsinx ~ x.(x +1)x = lim(x + 1) = 1.原式= limx-0x-→0x注意不能滥用等价无穷小代换切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换对于代数和中各无穷小不能分别代换经济数学微积分
不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例４ . arcsin ( 1)sin lim 0 x x x x + → 求 解 当x → 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x. x x x x ( 1) lim 0 + = → 原式 lim( 1) = 1. 0 = + → x x