第六节边际与弹性边际概念一、二、经济学中常见的边际函数三、弹性的概念四、经济学中常见的弹性函数五、小结思考题经济数学微积分
一、边际概念 二、经济学中常见的边际函数 五、小结 思考题 三、弹性的概念 第六节 边际与弹性 四、经济学中常见的弹性函数
边际概念如果函数y=f(x)在x处可导，则在，在x=x处的瞬(xo,x。+△x)内的平均变化率为Ax时变化率为f(xo +△x) - f(xo)limf(x)AxAr-→>0经济学中称它为f(x)在x= x.处的边际函数值经济数学微积分
一、 边际概念 如果函数 y = f (x) 在 0 x 处可导，则在 ( , ) 0 0 x x + x 内的平均变化率为 x y ；在 0 x = x 处的瞬 时变化率为 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x x f x x f x x = + − → ， 经济学中称它为 f (x)在 0 x = x 处的边际函数值
设在点x=x处，x从x.改变一个单位时y的增量△)的准确值为Ay=，当x改变量很小时，则由微分的应用知道，△y的近似值为Ay ~dy = f(x)A = f(x0)当△x=－1时，标志着x从x.减小一个单位这表明f(x)在点x= xo处，当x产生一个单位的改变时，y近似改变f(x。)个单位．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字。华经济数学微积分
设在点 0 x = x 处 ，x从 0 x 改变一个单位时 y的增量y 的准确值为 0 1 x x x y = = ，当x改变量很小时，则由微分的应用 知道，y的近似值为 d ( ) ( ) 1 1 0 0 0 y y f x x f x x x x x x x = = = = = = 当x = −1时，标志着x从 0 x 减小一个单位. 这表明 f (x)在点 0 x = x 处，当x产生一个单位的 改变时，y近似改变 ( )0 f x 个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．
定义1 设函数y=f(αx)在x处可导，则称导数f(x)为f(x)的边际函数．f(x)在x.处的值,f'(x。)为边际函数值．即当x=x.时，x改变一个单位，y改变f'(x)个单位。例1设函数y=2x2，试求y在x=5时的边际函数值解 因为'= 4x，所以l=s=20.该值表明：当x=5时，x改变1个单位（增加或减少1个单位），y改变20个单位（增加或减少20个单位）华经济数学微积分
定义1 设函数 y = f (x)在x处可导，则称导数 f (x) 为 f (x)的边际函数．f (x)在 0 x 处的值 ( )0 f x 为边 际函数值．即当 0 x = x 时，x改变一个单位，y改 变 ( )0 f x 个单位． 例1 设函数 2 y x = 2 ，试求y在x = 5时的边际函数值． 解 因为 y x = 4 ，所以 5 20 x y = = ． 该值表明：当 x = 5时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位），y 改变 20 个单位（增加或 减少 20 个单位）．
经济学中常见的边际函数1.边际成本1)边际成本总成本函数C(Q)的导数ACC(Q + △Q) - C(Q)C'(Q) = LimLimAQAQ->0△Q40-02)边际平均成本：平均成本C(O)的导数C(Q)QC'(Q)-C(Q)c'(Q) :称为平均边际成本Q?Q经济数学微积分
1. 边际成本 Q C Q Q C Q Lim Q C C Q Lim C Q Q Q + − = = → → ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 总成本函数 的导数 1)边际成本 二、 经济学中常见的边际函数 2)边际平均成本： . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 称为平均边际成本 平均成本 的导数 Q QC Q C Q Q C Q C Q C Q − = =
总成本C(Q)等于固定成本C.与可变成本C,(Q)之和，即: C(Q)= Co +Ci(Q)而边际成本则为：C'(Q) =[C。 + C(Q)} = C)(Q)这样可以看出，边际成本与固定成本无关经济数学微积分
( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 C Q C C Q C Q C C Q 即 ： = + 总成本 等于固定成本 与可变成本 之和， 而边际成本则为： ( ) [ ( )] ( ) C Q = C0 + C1 Q = C1 Q 这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例2设某产品生产Q单位的总成本为QC(Q) = 1100 +1200求：（1)生产900个单位的总成本和平均成本(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率：(3)生产900个单位的边际成本，并解释其经济意义。解(1)生产900个单位时的总成本为9002C(Q)la=900 =:1775:1100+1200L微积分经济数学
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为 1200 ( ) 1100 2 Q C Q = + ， 求 ：(1)生 产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生 产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生 产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义. 解 (1)生产900个单位时的总成本为 1775 1200 900 ( ) 1100 2 900 = + = Q= C Q
平均成本为1775c(Q)1.990=900900（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为△C(Q)1993-1775C(1000) -C(900):1.58100AQ1000-900Q2Q当Q=900(3)边际成本函数C'(Q)6001200= 1.5时的边际成本C'(Q)0=900福经济数学微积分
平均成本为 1.99 900 1775 ( ) 900 = = Q= C Q （2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为 1.58 100 1993 1775 1000 900 ( ) (1000) (900) = − = − − = C C Q C Q ( ) 1.5 , 900 1200 600 2 (3) ( ) 900 = = = = Q= C Q Q Q Q C Q 时的边际成本 边际成本函数 当
2.边际收益定义：总收益函数R(Q)的导数ARR(O + △Q) - R(Q)R'(Q) = LimLim4Q40-0 4Q→0称为边际收益函数设P为价格，P=P(Q)，因此R(Q) = PQ = Q P(Q), R'(Q) = P(Q)+ QP'(Q)微积分经济数学
2. 边际收益 定义： . ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 称为边际收益函数 总收益函数 的导数 Q R Q Q R Q Lim Q R R Q Lim R Q Q Q + − = = → → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R Q PQ Q P Q R Q P Q QP Q P P P Q = = = + = ， 设 为价格， ，因此
设某产品的需求函数为P=20_,其中P为例3讠二价格，0为销售量，求销售量为15个单位时的总收益，平均收益与边际收益：并求销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率，Q解总收益为R=QP(Q)=20Q- 5销售15个单位时2Q总收益R= 255=(200Q=155Q=15R(Q)255平均收益R17Q=15Q15Q=15AA华经济数学微积分
例3 设某产品的需求函数为 5 20 Q P = − ，其中P为 价格，Q为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率． 解 5 ( ) 20 2 Q 总收益为R = QP Q = Q − 1 7 1 5 ( ) 255 1 5 1 5 = = = = = Q Q Q R Q 平均收益R ) 255 5 (20 15 1 5 2 1 5 = − = = = Q Q Q 总收益R Q 销 售 个单位时