第二节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法3三、小结思考题经济数学微积分
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题 第二节 换元积分法
一、第一类换元法cos2xdx =(?)sin2x +C问题解决方法利用复合函数，设置中间变量过程令t=2x=dxdt.=2sin2x + Ccos 2xdx =cos tdt=sint222经济数学微积分
问题 cos d 2x x = ( )sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x 1 2 = d d , x t cos d 2x x 1 2 = cos dt t = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下：设 F'(u)= f(u), 则 (f(u)du= F(u)+C.如果u=(x)（可微）dF[p(x)] = f[p(x)lp'(x)dx( f[p(x)lp(x)dx = F[p(x)]+C=[J f(u)dulu=(x)由此可得换元法定理微积分经济数学
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 f u u F u C ( )d ( ) . = + 如果 u = (x) （可微） d [ ( )] [ ( )] ( )d F x f x x x = = + f x x x F x C [ ( )] ( )d [ ( )] ( ) [ ( )d ] u x = f u u = 由此可得换元法定理
设f(u)具有原函数，u=Φ(x)可导，定理1定理则有换元公式[ [p(x)]p'(x)dx = [] f(u)dulu=@(x)第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ [p(x)lp'(x)dx.注意：观察点不同，所得结论不同考虑「sin2xdx如何求解？经济数学微积分
设 f (u)具有原函数， f x x x [ ( )] ( )d = ( ) [ ( )d ] u x f u u = 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g x x ( )d 化为 f x x x [ ( )] ( )d . 注意：观察点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理 定理1 考虑 sin2xdx如何求解？
解法1sin2xdx t = 2x,dx = -dt1sin tdtcost + Ccos2x + C:222解法2sin 2xdx2sin xcos xdx t = sinx,dt = cosxdx2tdt = t +c= (sinx) +C;sin2xdx t = cosx,dt = -sinxdx解法32sinxcosxdx二-2[ tdt = -t +C = -(cosx) +C.微积分经济数学
解法1 sin d 2x x 1 1 2 2 = = − + sin d cos t t t C cos2 ; 2 1 = − x +C 解法2 sin d 2x x = 2 sin cos d x x x 2 = = + 2 t t t c d (sin ) ; 2 = x + C 1 2 2 t x x t = = ,d d t x t x x = = sin ,d cos d 解法3 sin d 2x x = 2 sin cos d x x x 2 = − = − + 2 t t t C d (cos ) . 2 = − x + C t x t x x = = − cos ,d sin d
7dx.求例1dx = In|x+ c3+2xx111解(3 + 2x)3+2x3+2x21dx(3 + 2x)'dx u=3+2x3+2x2J3+2x=lnu+C:du==In(3 + 2x) + C.2O2注：第一类换元法的中间变量可以不设出来，即直接令 f((x)p'(x)dx = [ f((x)dg(x),体现凑微分的思想微积分经济数学
例1 求 1 3 2 d . x + x 解 (3 2 ) , 3 2 1 2 1 3 2 1 + + = + x x x 1 3 2 dx + x 1 1 3 2 2 3 2 ( ) d x x x = + + 1 1 2 du u = = lnu + C 2 1 ln(3 2 ) . 2 1 = + x + C u = 3+ 2x 1 d ln x x c x = + ( ( )) ( ) ( ( )) ( )，体现凑微分的思想. 注：第一类换元法的中间变量可以不设出来，即直接令 f x x dx = f x d x
/dx.dx = In|x|+ C求例1 3+2xx1又解dx(3+2xdx3+2x23+2x1dl3-+2x涛微分253+2x=In |3+2x|+C2( f(ax + b)dx =f(ax + b)d(ax + b)一般地-经济数学微积分
1 3 2 dx + x 1 ln | 3 2 | . 2 = + + x C f ax b x ( )d + ( ) 1 f ax b ax b ( )d a = + + 一般地 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = ( x) dx 3 + 2 d( x) x 3 2 3 2 1 2 1 + + = d(3+ 2x) 例1 求 1 3 2 d . x + x 又解 1 d ln x x C x = + 凑 微 分
x求例2dx.0xx+l解dxdr0x11Jd(1 +x+x)(1 +x)11+C2(1 + x)1+x11+C1+x2(1 + x)经济数学微积分
例2 求 3 1 d . ( ) x x + x 解 3 1 d ( ) x x + x 3 1 1 1 d ( ) x x x + − = + 2 3 1 1 1 1 1 [ ]d( ) ( ) ( ) x x x = − + + + C x x + + + + = − 2 2(1 ) 1 1 1 . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −
1dx.求例3x(1 + 2ln x)11解dxd(lnx)x(1+ 2ln x)1 + 2lnx1d(1 + 2 ln x)1+2lnx2.=In|1+2In x|+C.2微积分经济数学
例3 求 1 1 2 d . ( ln ) x x x + 解 1 1 2 d ( ln ) x x x + 1 1 2 d(ln ) ln x x = + 1 1 1 2 2 1 2 d( ln ) ln x x = + + 1 ln |1 2ln | . 2 = + + x C
例4求xcosx'dx;dx:dx:dx:te+Inxdx.dx:x微分f[p(x)lp'(x)dx =( f[p(x)]dp(x)微积分经济数学
例4 求 2 2 1 1 1 1 1 1 d ; cos d ; d ; d ; ln ; . x x x x x x e x x x x x e x x e e e x dx dx e x − + + + + f[(x)](x)dx = f[(x)]d(x) 凑微分