第八节闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理与有界性一二、零零点定理与介值定理三、均衡价格的存在性四、小结思考题经济数学微积分
一、最大值最小值定理与有界性 二、零点定理与介值定理 四、小结 思考题 第八节 闭区间上连续 函数的性质 三、均衡价格的存在性
一、最大值和最小值定理与有界性定义：对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有xEI使得对于任一x EI都有f(x)≤ f(x)(f(x)≥ f(x)则称f(x)是函数f(x)在区间I上的最大(小)值例如, =1+sinX,在[0,2元]上,Jmx = 2, Jmin = 0;y= sgnx,在(-o0,+0)上, Jmx = 1, min = -1;在(0,+o0)上, Ymax = Ymin =1.华经济数学微积分
一、最大值和最小值定理与有界性 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则 称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都 有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = sgn x,在(−,+)上, 2, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin = y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 0; ymin = 1, ymax =
在闭区间定理1（有界性和最大值和最小值定理）上连续的函数有界且一定有最大值和最小值若 f(x) E C[a,b]Jy= f(x)则35,,5, E[a,b],使得VxE[a,b];有 f(5)≥ f(x),:a520S1bxf(5,) ≤ f(x)注意：1.若区间是开区间，定理不一定成立；2.若区间内有间断点，定理不一定成立经济数学微积分
定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. a b 2 1 x y o y = f (x) ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
例如，函数J=tonx 在开区间(-号3) 内是连续的，但L它在开区间内既无最大值也无最小值：22又如,函数-x+1. 0≤x<lf(x)=1 , x=l-x+3, 1<x≤2yy= f(x)在闭区间[0,2]上有间断点x=1，这1函数f(x)在闭区间[0,2]虽然有界;....但是既无最大值也无最小值x012C微积分经济数学
x y o y = f (x) 1 2 1 例如，函数 y tan x = 在开区间 2 2 , − 内是连续的，但 它在开区间 2 2 , − 内既无最大值也无最小值； 在闭区间0 2, 上有间断点 x = 1，这 函数 f x( )在闭区间0 2, 虽然有界， 但是既无最大值也无最小值. 又如,函数
二、零点定理与介值定理定义：如果 x。使 f(x)=0，则 x。称为函数f(x)的零点.设函数f(x)在闭区间[a,b]上定理2（零点定理）连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0),那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a<<b)，使f()=0.即方程,f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根.经济数学微积分
二、零点定理与介值定理 定 理 2(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上 连续，且 f (a)与 f (b)异 号(即 f (a) f (b) 0) ,那 末 在开区间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零点,即 至 少有一点(a b)， 使 f () = 0. 定义: . ( 0 0 0 , ( ) ) 0 的零点 如果 使 则 称为函数 f x x f x = x 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根
几何解释：V连续曲线弧y=f(x)的两个X--端点位于x轴的不同侧,则曲a0b x-线弧与x轴至少有一个交点-设函数f(x)在闭区间[a,b]定理3（介值定理上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()=C (a<<b),经济数学微积分
几何解释: . , ( ) 线弧与 轴至少有一个交点 端点位于 轴的不同侧 则曲 连续曲线弧 的两个 x x y = f x 定理 3(介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B, 那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间 (a,b)内至少有一点，使得 f ( ) = C (a b). x y a b y = f (x) O
y证 设β(x)= f(x)-C,M则β(x)在[a,b|上连续By=f(x)C且p(a)= f(a) -Ca0S152 3 x2 b七x=A-C,Ap(b) = f(b)-C= B-C,m:. Φ(a)·(b)< 0, 由零点定理， 日(a,b),使β() = 0, 即 β() = f()-C = 0, :: f()=C.几何意义：在[a,b]上的连续曲线=f(αx)与水平直线y=C（C介于f(a)和f(b)之间）至少相交一点经济数学微积分
MBCAm a x 1 1 2 3 x 2 b x yo y = f (x ) 证 设(x) = f (x) − C, 则(x)在[a,b]上连续, 且(a) = f (a) − C = A − C , ( b ) = f ( b ) − C = B − C , (a)(b) 0, 由零点定理 , ( a,b), 使 ( ) = 0 , 即 ( ) = f ( ) − C = 0, f ( ) = C. 几何意义： 在 a,b 上的连续曲线 y f x = ( )与水平直线 y C= （C 介于 f a( ) 和 f b( )之间）至少相交一点
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值例1证明方程xs-3x+1=0在开区间(0,1)内至少有一个实根证 令 f(x)=x-3x+1，则f(x)在[0,1]上连续又f(0)=1>0,f(1)=-1<0，由零点定理(a,b), 使f()=0, 即-3+1=0,:方程x5-3x+1=0在(0,1)上至少有一根.华经济数学微积分
例1 证 5 令 f x x x ( ) 3 1, = − + 则f (x)在[0,1]上连续, 又 f (0) = 1 0, f (1) 1 0, = − 由零点定理, (a,b), 使 f ( ) = 0, 5 即 − + = 3 1 0, 5 − + = 方程x x3 1 0 (0,1) . 在 上至少有一根 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m 之间的任何值. 证明方程 5 x x − + = 3 1 0 在开区间 (0 1, ) 内至少 有一个实根
例2设函数f(x)在[a,b]上连续，xi,x2,",x,为[a,b]上的 n个点，证明：在[a,b]上至少存在一个点，使I(5)-=((x)+(x)+.+(x.)证f(x)在[a,b]上连续，则函数f(x)在[a,b]上有最大值M与最小值m，显然有m≤f(x,)≤M, i=1,2,.n,于是nm≤Zf(x,)≤nM,i微积分经济数学
证 例 2 设函数 f x( )在a,b上连续， 1 2 n x , x , , x 为a,b上的 n 个点，证明：在a,b上至少存在一个点 ，使 ( ) ( ( 1 2 ) ( ) ( )) 1 n f f x f x f x . n = + + + 大值M与最小值m，显然有 f x( ) 在 a,b 上连续，则函数 f x( ) 在 a,b 上有最 ( ) 1 2 m f x M , i , , n, = i 于是 ( ) 1 n i i nm f x nM , =
即m≤-Zf(x,)≤M,ni=l(i）若(a)=(x)或(b)=(x)，则可n i=lni=l取=a或=b:1(x)与(a),J(b)不同，由介值定理(i)若ni=l可知，在(a,b)至少存在一点，使f(5)==(f(x)+(x)+.+ f(x.)综合（i），（i）可知，原命题得证。微积分经济数学
即 ( ) 1 1 n i i m f x M , n = （i）若 ( ) ( ) 或 ，则可 1 1 n i i f a f x n = = ( ) ( ) 1 1 n i i f b f x n = = 取 = a 或 = b ； （ii）若 ( ) 与 不同，由介值定理 1 1 n i i f x n = f a , f b ( ) ( ) 可知，在 (a,b) 至少存在一点 ， 使 ( ) ( ( 1 2 ) ( ) ( )) 1 n f f x f x f x . n = + + + 综合（i），（ii）可知，原命题得证．