第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、P隐函数的导数二、 日由参数方程所确定的函数的导数三、小结思考题经济数学微积分
一、隐函数的导数 三、小结 思考题 二、由参数方程所确定的 函数的导数 第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
隐函数的导数一(differentiation of functions represented implicitly)定义:由方程F(x,)=O所确定的函数 =(x)称为隐函数y=f(x)形式称为显函数F(x,y)= → y=f(x)隐函数的显化问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导，经济数学微积分
一、隐函数的导数 定义: . ( , ) 0 ( ) 称为隐函数 由方程F x y = 所确定的函数 y = y x y = f (x) 形式称为显函数. F(x, y) = 0 y = f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. (differentiation of functions represented implicitly)
例1求由方程 xy-e+e=0所确定的隐函数dy dyy的导数/x=0dx' dx解?方程两边对x求导,dydy=0y+xdxdxe*-ydy解得由原方程知x=0,V=0.x+ey'dxLYdyetJ=1.x=0=0x+eydxy=0微积分经济数学
例1 . d d , d d 0 =0 − + = x x y x y x y y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, 0 d d d d + − + = x y e e x y y x x y 解得 , d d y x x e e y x y + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 d d = = = + − = y y x x x x e e y x y = 1
例2设曲线C的方程为x3+3=3xy,求过C上33的切线方程，,并证明曲线C在该点的法点(线通过原点解方程两边对x求导，3x2+3yy'=3y+3xyy-x3元-133Y2233即x+y-3=0所求切线方程为,2233法线方程为」即y=x,显然通过原点22经济数学微积分
例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求 过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对x求导, 3x + 3 y y = 3 y + 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y − − = = −1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
例3设x4-xy+y4=1,求y"在点(0,1)处的值。解方程两边对x求导得(1)4x - y-xy'+4yy= 0代入x=0,y=1得Vx=0 = y=l将方程(1)两边再对x求导得12x2-2y'-xy" +12y"(y")2 + 4y"y" = 01代入x=0,y=l,得x=0x=0164y=1y=1福微积分经济数学
例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1 得 ; 41 1 0 = == yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 得41 1 0 = ==yx 代入 x = 0, y = 1, y . 161 1 0 = − == yx y
对数求导法(x +1)/x -1sin观察函数y：(x+4)e*方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数对数求导法适用范围：多个函数相乘除或幂指函数u(x)(x)的情形经济数学微积分
★ 对数求导法 观察函数 , . ( 4) ( 1) 1 sin 2 3 x x y x x e x x y = + + − = 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘除或幂指函数u x v( x)的情形
(x+1)/x-1例4设y=,求y.(x + 4)°e*解等式两边取对数得In y = In(x +1)+=In(x -1)- 2 ln(x + 4) - x3上式两边对x求导得2173(x-1)x+1x+4L21(x +1)/x -(x + 4)e*3(x -1)x+4x+1微积分经济数学
例4 解 1] 4 2 3( 1) 1 1 1 [ ( 4) ( 1) 1 2 3 − + − − + + + + − = x e x x x x x y x 等式两边取对数得 y = x + + ln( x − 1) − 2ln( x + 4) − x 3 1 ln ln( 1) 上式两边对x求导得 1 4 2 3( 1) 1 1 1 − + − − + + = y x x x y , . ( 4) ( 1) 1 2 3 y x e x x y x + + − 设 = 求
例5 设 y= xsinx (x > 0), 求y.解今等式两边取对数得 lny=sinx·Inx上式两边对x求导得1= cosx.In x+ sin x.xV:. y' = y(cos x . In x + sin x .xsinx= x sinx(cos x · In x +x微积分经济数学
例5 解 ( 0), . sin y x x y x 设 = 求 等式两边取对数得 ln y = sin x ln x 上式两边对x求导得x y x x x y 1 cos ln sin 1 = + ) 1 (cos ln sin x y = y x x + x ) sin (cos ln sin x x x x x x = +
一般地f(x)=u(x)"(x) (u(x)>0): In f(x) = v(x)·lnu(x)1dd文fxn(xf(x)dxdxdIn f(x): f'(x)= f(x).dxv(x)u'(x):. f'(x) = u(x)"(x)[v'(x). Inu(x)+u(x)经济数学微积分
一般地 ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x = u x u x v x ( ) d d ( ) 1 ln ( ) d d f x f x x f x x 又 = ln ( ) d d ( ) ( ) f x x f x = f x ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x f x u x v x u x v x = + ln f (x) = v(x)lnu(x)
※二、由参数方程所确定的函数的导数(differentiation offunctions represented parametricallyx =(t)若参数方程确定与x间的函数关系(y=y(t)称此为由参数方程所确定的函数x = 2t,x例如消去参数tT：V=t22.t2()242问题：消参困难或无法消参如何求导？经济数学微积分
※二、由参数方程所确定的函数的导数 . , ( ) ( ) 称此为由参数方程所确定的函数 若参数方程 确 定 y与x间的函数关系 y t x t = = 例如 = = , 2 , 2 y t x t 2 x t = 2 2 ) 2 ( x y = t = 4 2 x = y x 2 1 = 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? t (differentiation of functions represented parametrically)