第二节洛必达法则0-一、x→a时的型未定式00二、当x→8时的型未定式及当x→l03型未定式或x→8时的三、0.8、80-80、0°、1℃、8°型未定式四、小结思考题经济数学微积分
四、小结 思考题 第二节 洛必达法则 一、x → a时的 0 0 型未定式 二、当x → 时的 0 0 型未定式及当x → a 或x → 时的 型未定式 三、0 、 − 、 0 0 、 1 、 0 型未定式
0一、x→a 时的型未定式解法：洛必达法则0（L'Hospital-Bernoullirule)定义如果当x→a(或x→)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那末f(x)极限lim可能存在、也可能不存在．通F(x)x-→a(x→00）08或一型未定式常把这种极限称为08In sin ax8tanxlimlim例如,x-→0 In sin bxx-→08x经济数学微积分
一 、 时 的 型未定式解法:洛必达法则 0 0 x → a 定义 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( ) ( L’Hospital-Bernoulli rule ) 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) F x f x f x F x x a x x x a → → → → . 0 0 常把这种极限称为 或 型未定式
定理设(I)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零(2)在a点的某去心邻域内f'(x)及F(x)都存在且 F(x)± 0;f'(x)= A(或为);(3) limF'(x)x-→af(x)f(x)那末limlimF(x)F(x)x→ax-a定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则经济数学微积分
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) , ( ) ( ) ; F x f x F x f x A F x f x F x a f x F x x a f x F x x a x a x a = = → → → → 那 末 或 为 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函 数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别 求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则
f(a)= 0, F(a)= 0证不妨设在Ua,)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上fi(x),F(x)满足柯西中值定理的条件f(x) - f(x)-f(a)_f()则有(在x与a之间)F(x) - F(x)-F(a)-F'()当x→a时,→a,f'(x)f'(): limA.:. limAF'(x)x-→aF'()5-→a f(x)f'()A:. limlimF'()F(x)5-→ax-→a经济数学微积分
证 不妨设 ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → → f (a) = 0,F(a) = 0
0f'(x)如果仍属型，且f'(x),F(x)满足0F(x)定理的条件，可以继续用洛必达法则，即f(x)f"(x)f'(x)limJinx-a F'(x)x→a F"(x)x-→a F(x)tanx例1 求 limx-→0x(tanx)"sec解原式=lim: lim1(x)x-→0x-0微积分经济数学
定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如 果 仍 属 型，且 ( ), ( ) 满 足 00 ( ) ( ) f x F x F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = = = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a 例 1 解 . tan lim0 x x x → 求 ( ) (tan ) lim0 = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x → = = 1 . ) 00 (
x3 -3x +2例2 求 limx3-x-x+13x2-336x解?原式=limlimx-13x2-2x-12x-1 6x - 26xlim注意：上式中的已不是未定式，不能x-1 6x -2再对它应用洛必达法则，否则会导致错误结果在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证是否满足条件经济数学微积分
例2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = ) 0 0 ( 6 2 6 lim →1 x − x 上式中的 x 已不是未定式，不能 再对它应用洛必达法则，否则会导致错误结果． 注意： 在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证 是否满足条件．
0二、当x→8时的型未定式及当x→a或0x→8时的型未定式8以及x→a,或x→80当x→8时的未定式00时的未定式，都有相应的洛必达法则88如x→a时的未定式型的洛必达法则为8经济数学微积分
二 、当x → 时 的 0 0 型未定式及当x → a 或 x → 时的 型未定式 如x → a时的未定式 型的洛必达法则为： , . , , 0 0 时的未定式 都有相应的洛必达法则 当 时的未定式 以及 或 x → x → a x →
如果(1) lim f (x) = lim F(x) = 00;x→axa(2)在a点的某去心邻域内f'(x)及 F'(x)都存在且F(x)0;f'(x)= A (或为);(3) limF(x)x-→af(x)(x)那末lim:limF'(x)F(x)x-→ax-→a经济数学微积分
. ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) lim ( ) lim ( ) ; F x f x F x f x A F x f x F x a f x F x f x F x x a x a x a x a x a = = = = → → → → → 那 末 或 为 都存在且 在 点的某去心邻域内 及 如 果
元arctanx2例3 求 lim1x→+0x12x1+ x解 原式= limlim11+xx→+x-→+8In sin ax求 lim例4 x->0 In sin bx8cos bxacos ax . sin bx解 原式=limlim1x-o bcos bx . sin axx-→0cos ax福C经济数学微积分
例 3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1 . 例 4 解 . lnsin lnsin lim0 bx ax x → 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim0 = → 原式 = 1 . ) 00 (( ) ax bx x cos cos lim→0 =
tanx求 lim例5 元tan3x8x-2123xcos"sec'x解 原式=limim22元3sec3x3元xcosx--22- 6cos3x sin3xsin 6xlimim3- 2cos xsin x元元sin 2xC226cos 6x=3.元2cos2xX-2经济数学微积分
例 5 解 . tan 3 tan lim2 xx x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 22 2 → 原式 = xx x 22 2 cos cos 3 lim 31 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 31 2 −− = → xx x sin 2 sin 6 lim2 → = xx x 2cos 2 6cos 6 lim2 → = = 3 . ( )