第三节分部积分法基本内容三、禁本内三、思考题经济数学微积分
一、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法
基本内容I xe*dx =?问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u=u(x)和v= v(x)具有连续导数(uv) = u'v+ uv',uv'=(uv) -u'v,uv'dx = uv-fu'vdx, [udy= uv-f vdu.分部积分(integrationbyparts)公式经济数学微积分
问题 d ? x xe x = 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv , uv (uv) − uv, = uv x uv u v x d d , = − u v uv v u d d . = − 分部积分(integration by parts)公式 一、基本内容
例1求积分「xcosxdx。解 (一)令u=cosx,xdxd22[ xcosxdxsin xdxcosx22显然，u,v选择不当，积分更难进行解 (二)令 u= x, cosxdx =dsinx =dy[ xcosxdx ={ xdsinx = xsinx -sinxdx=xsinx+cosx+C.经济数学微积分
例1 求积分 x x x cos d . 解（一） 令 u = cos x, ( ) 1 2 d d d 2 x x x v = = x x x cos d 2 2 cos sin d 2 2 x x = + x x x 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos d dsin d x x x v = = x x x cos d = x x dsin = − x x x x sin sin d = xsin x + cos x +C
(x'e*dx.例2求积分解e*dx = dex = dv,u=xx’e*dx = x'e* -2[ xe*dx（再次使用分部积分法）u=x，e*dx=dyx’e* -2(xe* -e*)+C总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)经济数学微积分
例2 求积分 2 d . x x e x 解 , 2 u = x d d d , x x e x e v = = 2 d x x e x 2 2 d x x = − x e xe x 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, d d x e x v = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3求积分xarctan xdx解 令u=arctanx, xdx =duEd2x arctanxdxd(arctan x)arctanx2221?dxarcta221+x1dxarctanx2--arctanx) + C.arctanx22电经济数学微积分
例3 求积分 x x x arctan d . 解 令 u = arctan x , 2 d d d 2 x x x v = = x x x arctan d 2 2 arctan d(arctan ) 2 2 x x = − x x 2 2 2 1 arctan d 2 2 1 x x x x x = − + 2 2 1 1 arctan (1 )d 2 2 1 x x x x = − − + ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +
x' In xdx例4求积分解u = Inx, x'dx =dy[ x' In xdxdxX116总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u微积分经济数学
例4 求积分 3 x x x ln d . 解 u = ln x, 4 3 d d d , 4 x x x v = = 3 x x x ln d 1 1 4 3 ln d 4 4 = − x x x x . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u.
例5求积分sin(ln x)dx.解sin(Inx)dx= x sin(lnx) - [xd[sin(ln x)]J xcos(ln x).二 dx= xsin(lnx)- lx= xsin(Inx) - xcos(lnx) + ( xd[cos(Inx))sin(ln x)dx= x[sin(ln x) - cos(lnx)lsin(ln x)dx-[sin(In x) - cos(ln x)I + C.2经济数学微积分
例5 求积分 sin(ln )d . x x 解 sin(ln )d x x = − x x x x sin(ln ) d[sin(ln )] 1 x x x x x sin(ln ) cos(ln ) d x = − = − + x x x x x x sin(ln ) cos(ln ) d[cos(ln )] = − − x x x x x [sin(ln ) cos(ln )] sin(ln )d sin(ln )d x x [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x = − + x x C
e" sin xdx.例6求积分=J sinxd(e*)e" sin xdx解= e* sinx - [e*d(sinx)= e* sinx -Je* cosxdx = e* sinx - fcosxd(e*)= e* sinx -(e* cosx - [e'dcosx)= e*(sin x - cosx) -e* sinxdx注意循环形式et(sin x -cos x) + C.sin xdx =2微积分经济数学
例6 求积分 sin d . x e x x 解 sin d x e x x sin d( ) x = x e sin d(sin ) x x = − e x e x sin cos d x x = − e x e x x sin cos d( ) x x = − e x x e sin ( cos dcos ) x x x = − − e x e x e x (sin cos ) sin d x x = − − e x x e x x sin d x e x x (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式
xarctanx例7dx.求积分Vx解·+rxarctanxdx = (arctanxd(+xX/1+ x’ arctanx - ( /1+ x’d(arctanx)1/1+x? arctanx -{/1+ xdx1+x经济数学微积分
例7 求积分 2 arctan d . 1 x x x + x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + = + 2 arctan d 1 x x x x + ( ) 2 = + arctan d 1 x x 2 2 = + − + 1 arctan 1 d(arctan ) x x x x 2 2 2 1 1 arctan 1 d 1 x x x x x = + − + +
dx令x=tant1+xarctanxXsec’ tdtI sectdi-+ tan't= In(sect +tant)+C = In(x + /1+ x?)+C xarctanxdx2+x1+ x arctanx-In(x + /1+x)+C.微积分经济数学
2 2 1 1 arctan d 1 x x x x = + − + 令 x = tant 2 1 d 1 x + x 2 2 1 sec d 1 tan t t t = + = sec dt t = ln(sec t + tant) +C = ln( x + 1+ x ) + C 2 2 arctan d 1 x x x x + 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x + C