第五章不定积分习题课主要内容典型例题经济数学微积分
主要内容 典型例题 第五章 不定积分 习 题 课
一、主要内容原函数不定积分选择u有效方法分部直接基本积分表积分法积分法积分法第一换元法几种特殊类型第二换元法函数的积分经济数学微积分
积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容
1.原函数定义 如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即VxEI，都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)或f(x)dx在区间I内原函数原函数存在定理如果函数f(x)在区间I 内连续，那么在区间I内存在可导函数F(x)，使VxEI, 都有F'(x)=f(x)即：连续函数一定有原函数经济数学微积分
1. 原函数 如果在区间I 内，可导函数F(x)的导函数 为 f (x) ， 即 x I ，都有 F(x) = f (x) 或 d ( ) ( )d F x f x x = ，那么函数F(x)就称为 f (x) 或 f x x ( )d 在区间I 内原函数. 定义 原函数存在定理 如果函数 f ( x)在区间I 内 连 续，那么在区间I 内存在可导函数F(x) ，使 x I ，都有F(x) = f (x). 即：连续函数一定有原函数．
2．不定积分(1) 定义在区间I内，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为[ f(x)dx.[ f(x)dx = F(x)+ C函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线经济数学微积分
2. 不定积分 (1) 定义 在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f (x) 在区间I 内 的不定积分，记 为 f (x)dx． f x x F x C ( )d ( ) = + 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线
(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的[J (x)d = (x) l] (x)dl= ()dx[dF(x) = F(x)+C[ F'(x)dx = F(x)+C(3)不定积分的性质1°[Lf(x)±g(x)]dx=J f(x)dx± J g(x)dx2°「 kf(x)dx= kJ f(x)dx(k 是常数, k 0)华经济数学微积分
0 1 [ ( ) ( )]d f x g x x = f x x g x x ( )d ( )d (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 0 2 ( )d kf x x = k f x x ( )d （k是常数，k 0) (3) 不定积分的性质 d ( )d ( ) d f x x f x x = d[ ( )d ] ( )d f x x f x x = F x x F x C ( )d ( ) = + d ( ) ( ) F x F x C = +
3．基本积分表sinxdx= -cosx+C(7)(1)[kdx=kx+C (k 是常数)dxxu+!2-=1[ sec' xdx = tanx +C：Ix"dx(2)(μ±-1)+Ccosxμ+1dxd(9)[ csc’ xdx = -cot x +C(3)sin’xX:(4):arctanx+C(10) fsecxtanxdx = secx+C(5)dx = arcsinx +C(11) escxcotxdx = -csex+Cr(12) Je'dx= e*+C[cosxdx = sinx+C(6)华经济数学微积分
3. 基本积分表 (1) d ( k x kx C k = + 是常数) 1 (2) d ( 1) 1 x x x C + = + − + d (3) ln x x C x = + 2 1 (4) d 1 x x = + arctan x +C 2 1 (5) d 1 x x = − arcsin x +C (6) cos dx x = sin x +C (7) sin dx x = − cos x +C (10) sec tan d x x x = sec x +C (11) csc cot d x x x = − csc x +C (12) dx e x = e C x + 2 d (8) cos x x = 2 sec dx x = tan x +C 2 d (9) sin x x = 2 csc dx x = − cot x +C
(13)Ja'dx =+CCIna2ax+a(14)J tan xdx = -ln|cos x|+ Ca+xC202aa-x(15) J cot xdx =In|sin x +C(16) f secxdx =ln|secx+tanx|+C (21)=arcsin=+Cra(17) [cscxdx =In|cscx -cotx|+C (22)Yta= In(x+ /x? ±a)+C+CarctanCa经济数学微积分
(13) dx a x = C a a x + ln (14) tan d ln cos x x x C = − + (15) cot d ln sin x x x C = + (16) sec d ln sec tan x x x x C = + + (17) csc d ln csc cot x x x x C = − + 2 2 1 1 (18) d arctan x x C a x a a = + + 2 2 1 1 (20) d ln 2 a x x C a x a a x + = + − − 2 2 1 (21) d arcsin x x C a x a = + − 2 2 2 2 1 (22) d ln( ) x x a x x a C = + + 2 2 1 1 (19) d ln 2 x a x C x a a x a − = + − +
4.直接积分法由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法5．第一类换元法定理 1设f(u)具有原函数，u=@(x)可导，则有换元公式[ f[p(x)]p'(x)dx =[f f(u)dulu=e(x)第一类换元公式（凑微分法）经济数学微积分
5. 第一类换元法 4. 直接积分法 定理 1 设 f (u)具有原函数，u = (x)可导， 则有换元公式 f x x x [ ( )] ( )d = ( ) [ ( )d ] u x f u u = 第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法
常见类型：f(Vx)(2):dx;(1) f(xn+1)x"dx;xf(l)f(lnx)x(3)(4)dx;dx;3x(5) f(sin x) cos xdx;(6) f(a*)a*dx;f (arctanx)(8)() f(tan x) sec* xdx;dx;1+x?化微积分经济数学
( ) 1 1 ( ) d ; n n f x x x + ( ) ( ) 2 d ; f x x x ( ) (ln ) 3 d ; f x x x ( ) 2 1 ( ) 4 d ; f x x x (5 (sin )cos d ; ) f x x x (6 ( ) d ; ) x x f a a x 常见类型: ( ) 2 7 (tan )sec d ; f x x x ( ) 2 (arctan ) 8 d ; 1 f x x + x
6.第二类换元法定理 2设x=(t)是单调的、可导的函数，并且y'(t)≠0，又设f[y(t)ly'(t)具有原函数，则有换元公式[ f(x)dx = [ F[y(t)y'(t)dtIt=(x)第二类换元公式其中y(x)是x=y(t)的反函数经济数学微积分
6. 第二类换元法 定理 2 设x = (t)是单调的、可导的函数，并 且(t) 0，又设 f [ (t)](t)具有原函数，则 有换元公式 ( ) ( )d [ ( )] ( )d t x f x x f t t t = = 其中(x)是x = (t)的反函数. 第二类换元公式