
第七节定积分的几何应用定积分的元素法一、平面图形的面积四、平行截面面积已知的立体的体积五、小结经济数学微积分
一、定积分的元素法 二、平面图形的面积 第七节 定积分的几何应用 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的 立体的体积 五、小结

一、定积分的元素法回顾曲边梯形求面积的问题yt曲边梯形由连续曲线y= f(x)y= f(x)(f(x)≥0) x轴与两条直线x=a、0ab xx=b所围成。A= f(x)dx经济数学微积分
回顾 曲边梯形求面积的问题 ( )d b a A f x x = 一、定积分的元素法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) 0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)

面积表示为定积分的步骤如下(1)把区间[a,bl分成n个长度为△x,的小区间,相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i个小窄曲边梯形的面积为△A,则A=△A.i=1(2)计算△A,的近似值 △A, ~ f(,)Ax;, E△x;直 A~Zf(5)Ax;(3)求和,得A的近似值i=1(4)求极限,得A的精确值nZ f(5)Ax; = (~ f(x)dxA= lim2-0i=1华经济数学微积分
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b]分成n个长度为 i x 的小区间, 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i个 小窄曲边梯形的面积为Ai,则 = = n i A Ai 1 . (2)计算Ai 的近似值 i i i A f ( )x i xi (3)求和,得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = (4)求极限,得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 ( )d b a = f x x

面积元素提示若用△A 表示任一小区间dAV4[x,x+△x]上的窄曲边梯形的面积yt f(x)ZA,并取A~则A=f(x)dxEf(x)dx于是A~Ef(x)dxA= limoax x+dxbxf" f(x)dx.经济数学微积分
a b x yo y = f ( x ) 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x ]上的窄曲边梯形的面积, 则A = A,并取 A f x x ( )d , 于是A f x x ( )d A f x x = lim ( )d ( )d . ba = f x x x x x + d dA 面积元素

当所求量U符合下列条件:(1)U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量:(2)U对于区间a,b具有可加性,就是说,如果把区间a,b分成许多部分区间,则U相应地分成许多部分量,而U等于所有部分量之和:(3)部分量△U,的近似值可表示为f()△x;就可以考虑用定积分来表达这个量U经济数学微积分
当所求量U 符合下列条件: (1)U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量; (2)U 对于区间a,b具有可加性,就是说,如 果把区间a,b分成许多部分区间,则U 相应地分 成许多部分量,而U等于所有部分量之和; (3)部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ; 就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤:1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为积分变量,并确定它的变化区间[a,b];2)设想把区间[a,bl分成n个小区间,取其中任一小区间并记为[x,x+dxl,求出相应于这小区间的部分量AU的近似值.如果AU能近似地表示为[a,bl上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的元素且记作dU,即dU=f(x)dx;经济数学微积分
元素法的一般步骤: 1) 根据问题的具体情况,选取一个变量例如x 为积分变量,并确定它的变化区间[a,b]; 2) 设想把区间[a,b]分成 n 个小区间,取其中任 一小区间并记为[ , d ] x x x + ,求出相应于这 小区间的部分量U的近似值.如果U 能近 似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的 值 f (x)与dx的乘积,就把 f x x ( )d 称为量U 的元素且记作dU,即d ( )d U f x x = ;

3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式,在{" f(x)dx,即区间[a,b]上作定积分,得U=为所求量U的积分表达式这个方法通常叫做元素法应用方向:平面图形的面积,体积经济应用。其他应用。经济数学微积分
3) 以所求量U的元素 f x x ( )d 为被积表达式,在 区间[a,b]上作定积分,得 ( )d b a U f x x = ,即 为所求量U的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法. 应用方向: 平面图形的面积,体积。 经济应用。其他应用

平面图形的面积第一步:取其中任Vy= f(x)一小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量A的近似值记作dA;xx+<xxb0adA=?如何用元素法分析?经济数学微积分
x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 第一步:取其中任 一小区间并记为 [ , d ] x x x + ,求出 相应于这小区间的 部分量A的近似 值记作dA; 如何用元素法分析? dA=?

平面图形的面积第一步:取其中任Vy= f(x)一小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量AA的近似值,记作dA;xX+Axxb0aA ~ f(x)Ar如何用元素法分析?经济数学微积分
x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 如何用元素法分析? A f (x)x 第一步:取其中任 一小区间并记为 [ , d ] x x x + ,求出 相应于这小区间的 部分量A的近似 值,记作dA;

平面图形的面积第一步:取其中任Vy= f(x)一小区间并记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量AA的近似值,记作dA;x+zxxb0adA=f(x)dx如何用元素法分析?经济数学微积分
x y o y = f (x) a b 二、平面图形的面积 x x + x 如何用元素法分析? d d A f x x = ( ) 第一步:取其中任 一小区间并记为 [ , d ] x x x + ,求出 相应于这小区间的 部分量A的近似 值,记作dA;