第六节多元函数的极值及其求法二元函数的极值一二、二元函数的最值三、条件极值拉格朗日乘数法四、小结思考题经济数学微积分
一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值 拉格朗日乘数法 四、小结 思考题 第六节 多元函数的极值 及其求法
问题的提出某商店卖两种品牌的果汁，本地品牌每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元店主估计，如果本地品牌的每瓶卖，外地品牌的每瓶卖元！则每天可卖出70-5x瓶4外地品本地品牌的果汁牌的果汁80+6瓶.7 y问：店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大收益？经济数学微积分
某商店卖两种品牌的果汁，本地品牌 每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元， 店主估计，如果本地品牌的每瓶卖 元， 外地品牌的每瓶卖 元，则每天可卖出 本地品牌的果汁 瓶，外地品 牌的果汁 瓶. x y 70 − 5x + 4 y 80 + 6x − 7 y 问题的提出 问：店主每天以什么价格卖两种品 牌的果汁可取得最大收益？
问题的分析每天的收益为f(x,y) =(x -1)(70 -5x +4y) + (y -1.2)(80 + 6x - 7y)求最大收益即为求二元函数的最大值本节我们讨论与多元函数的最值有关的最简单的优化问题经济数学微积分
每天的收益为 f (x, y) = 求最大收益即为求二元函数的最大值. (x −1)(70 − 5x + 4y) + ( y −1.2)(80 + 6x − 7 y) 问题的分析 本节我们讨论与多元函数的最值有关的 最简单的优化问题
一、二元函数的极值xy的图形观察二元函数z=播放微积分经济数学
一、二元函数的极值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 播放
1.二元函数极值(extreme value)定义设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x,J)的点(x,y)：若满足不等式f(x,)f(xo,Jo)，则称函数在(xo,Jo)有极小值；极值极大值、极小值统称为使函数取得极值的点称为极值点。经济数学微积分
1.二元函数极值(extreme value)定义 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某邻域 内有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的 点 (x, y)：若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则 称函数在( , ) 0 0 x y 有 ；若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ， 则 称 函 数 在 ( , ) 0 0 x y 有 ； 极大值 极小值 极大值、极小值统称为 。 使函数取得极值的点称为 。 极值 极值点 极大值、极小值统称为 。 使函数取得极值的点称为
例1 函数z=3x2+4y(1)在(0,0)处有极小值。例2 函数z=-/x2+(2)在(0,0)处有极大值。函数 z= xy例 3 (3)在(0,0)处无极值。经济数学微积分
(1) (2) (3) 例 1 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 例２ 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 例３ 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy
2.二元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)具有偏导数，且在点(xo,Jo)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：f,(xo,yo)=0.f.(xo,yo) = 0,证 不妨设z=f(x,J)在点(xo,Jo)处有极大值,则对于(xo，J)的某邻域内任意(x,y) ±(xo,yo) 都有 f(x, y)<f(xo,yo)经济数学微积分
定理 1（必要条件） 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在 点( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x (x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 f y x0 y0 = . 2.二元函数取得极值的条件 不妨设z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 证
故当y= yo,x≠x,时,有f(x,yo)<f(xo,Jo),说明一元函数f(x,yo)在x=x.处有极大值必有f.(xo,yo) = 0;f,(xo,yo)= 0.类似地可证推广如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(xo,Jo,zo)具有偏导数，则它在P(xo,Jo,z)有极值的必要条件为f,(xo,yo,zo) = 0,fx(xo,yo,zo) = O,f,(xo, o,zo) = 0.微积分经济数学
故当 0 y = y ，x x0时，有 f (x, y0 ) ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x = x0处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数u = f ( x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点注意：驻点极值点例如，点(0,0)是函数z=xy的驻点，但不是极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内连续有一阶及二阶连续偏导数，经济数学微积分
例如, 点(0,0)是函数z = xy的驻点，但不是极值点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 注意：
又 fr(xo,yo)= 0,f,(xo,yo) = 0,令 frr(xo,yo)= A,fxy(xo,Jo) = B,fw(xo,yo) =C,则f(x,y)在点(xo,yo)处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B2>0时具有极值，当A<0时有极大值，当A0时有极小值；（2）AC-B2<0时没有极值;（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论，福经济数学微积分
又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0， 令 f x x ( x0 , y0 ) = A， f xy (x0 , y0 ) = B， f yy (x0 , y0 ) = C， 则 f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， 当A 0时有极大值， 当A 0时有极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．