《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 定积分及其应用 6-6 广义积分

第六节广义积分Γ-函数 一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、Γ-函数 经济数学微积分

一、无穷限的广义积分 第六节 广义积分  -函数 三、  -函数 二、无界函数的广义积分

一、无穷限的广义积分定义1设函数f(x)在[a,+]上连续,极限lim " f(x)dx存在，就称此极限为在区间[a,+]上的广义积分。记作f+° f(x)dx = lim f' f(x)dx此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在，则称广义积分发散。经济数学微积分

设函数 f ( x) 在 [a,+] 上连续,极限 lim ( )d b b a f x x →+  存在，就称此极限为在区间[a,+]上的广义积分。记作 ( )d lim ( )d b a a b f x x f x x + →+ =   此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在，则称广义 积分发散。 定义1 一、无穷限的广义积分

定义2设函数f(x)在(一8o,b)上连续，极限lim ( f(x)dx-存在，称此极限为在区间（一8o,bl上的广义积分记作f(x)dx = limf(x)dx此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在,则称广义积分发散。经济数学微积分

设函数 f ( x) 在 (−,b] 上连续，极限 lim ( )d b a a f x x →−  存在，称此极限为在区间(−,b]上的广义积分, 记作 ( )d lim ( )d b b a a f x x f x x − →− =   此时也称广义积分收敛，若上述极限不存在,则称 广义积分发散。 定义2

定义3设函数f(x)在(一0,十80)上连续，如果「~f(x)dx与(+ f(x)dx』-f(x)dx收敛，且定义都存在，则称广义积分[- f(x)dx = J" f(x)dx + t° f(x)dx否则称为发散经济数学微积分

设函数 f ( x) 在(−,+)上连续，如果 0 f x x ( )d − 与 0 f x x ( )d +  都存在，则称广义积分 f x x ( )d + − 收敛，且定义 0 0 f x x f x x f x x ( )d ( )d ( )d + + − − = +    否则称为发散. 定义3

S.例 1 计算te-tdtF8解te-tdt = limte-tdt0b+8c= limil-te-t J + f' e-tdtb→+8= lim(-be-b -e-b +1)b→+80=若广义积分收敛可以直接用经济数学微积分

例１ 计算 0 d t te t + −  解 0 0 d lim d b t t b te t te t + − − →+ =   lim{[ ] } te 0 0 e dt t b b t b = − +  − − →+  = lim(− − + 1) − − →+  b b b be e = 1. 若广义积分收敛可以直接用“=

例2 计算}sin xdx.0解sin xdx = cosaasin xdx = lim cosa 不存在lima-→-8aa→-80sinxdx发散微积分经济数学

解 0 sin d cos a x x a =  0 lim sin d lim cos a a a x x a →− →− =  不存在  − 0 sin xdx 发散. 2 sin . 0 例 计算− xdx

例3 计算J-sin xdx.1cosa-cos(-a))= 0sinxdx = lim解：lima-→+o-aa→+8+0sinxdx = 0.-8:"sin xdx 发散:. J-" sin xdx发散。广义积分发散就严格按照定义经济数学微积分

解 sin d 0. x x + −  =  lim sin d lim cos cos 0 ( ( )) a a a a x x a a →+ →+ − = − − =  广义积分发散就严格按照定义. 3  sin . + 例 计算 − xdx − 0 Q sin xdx 发散  + − sin xdx 发散

1+8例4计算dr1+.0X111+8+8解Tdxdxdxr+2201?-X-dxdxlim1+1+xb>+oo.82a1+xa→-= lim(-arctan a)+ lim arctan bb→+oa元元元。22华经济数学微积分

例4 计算 解 0 2 2 2 0 1 1 1 d d d 1 1 1 x x x x x x + + − − = + + + +    0 2 2 0 d d lim lim 1 1 b a b a x x →− →+ x x = + + +   a b a b lim( arctan ) lim arctan →−  →+  = − + . 2 ) 2 (    = − − + = 2 1 d . 1 x x + − + 

x+8例5 计算[dx.1+x解x+8x0x+8dxdrdx01+1+880xxhdx=limdxlim+1b-→+oo J01+x1+xa-00alim In(1+a')+lim In(1+b)212 a-=88经济数学微积分

( ) ( ) 0 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 d d d 1 1 1 lim d lim d 1 1 1 1 lim ln 1 lim ln 1 2 2 . b a b a a b x x x x x x x x x x x x x x x a b + + − − →− →+ →− →+ = + + + + = + + + = + + + =  +  =       解 . 1 5 2  + + − dx x x 例 计算

x+8例5 计算[dx.or1+xxto0Xdxdxdx201+xXX6默认了收敛性x0解：dx发散9Xx-0dx发散.o2X经济数学微积分

解 . 1 5 2  + + − dx x x 例 计算 . 1 1 2 0 2 发散 发散 dx x x dx x x  +   + + − − Q