第四章导数的应用问题洛必达法则、函数的性质和图像
第四章 导数的应用问题—— 洛必达法则、函数的性质 和图像
著名美国数学家、哲学家、数理逻辑学家怀特黑德（Whitehead,18611947)曾说过：“只有将数学应用于社会科学的研究之后，才能使得文明社会的发展成为可控制的现实.，第三章介绍的“导数是函数的变化率”在研究函数变化的形态中有着十分重要的意义，因而在自然科学、工程技术及社会科学领域中得到广泛的应用，第四章在介绍中值定理的基础上，以导数为工具，解决一类特殊极限的计算、函数的增减性、极值与最值等问题
著名美国数学家、哲学家、数理逻辑学家怀 特黑德（Whitehead,1861—1947)曾说过： “只有将数学应用于社会科学的研究之后，才 能使得文明社会的发展成为可控制的现实.” 第三章介绍的“导数是函数的变化率”在研究 函数变化的形态中有着十分重要的意义，因而 在自然科学、工程技术及社会科学领域中得到 广泛的应用. 第四章在介绍中值定理的基础上，以导数为 工具，解决一类特殊极限的计算、函数的增减 性、极值与最值等问题
第一节联结局部与整体的纽带一中值定理主要内容：一、费马定理二、中值定理
第一节 联结局部与整体的纽带 中值定理 一、费马定理 主要内容: 二、中值定理
局部概念费马定理定义设函数y= f(x)在点x,的某邻域有定义，如果对于该邻域内任意异于x,的x值，都有 f(x)≤ f(x) (或f(x)≥ f(x)，则称函数f(x)在点x,处取得极大值（或极小值）f(x）而x.称为函数f(x)的极大点（或极小点）极大值和极小值统称为函数的极值极大点和极小点统称为函数的极值点
0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , ( ) . ( ) ( ) ) ( y f x x f x x f x f x f x f x f x x x f x x= 设函数 在 点 的 某 邻 域有 定 义，如 果 对 于 该 邻 域 内 任 意 异 于 的 值，都 有 或 ，则 称 函 数 在 点 处 取 得 （ 或 极 定 义 ） 而 称 为 函 数 的 （ 大 或极 小 值 极 值 极 大 点 小 点 ） 一 、费马定理 极 大 值 极 大 点 和 统 称 为 函 数 的 . 和 统称为 极小 函数 值 极小 极值 点 的极值点. 局部概念
例如,在[0,2T]上,V=1+sinx的极大值为2，极小值为0极大值点8在极值点处的P切线是水平的，0.40.2这是一种偶然吗?-0.2-0.4-0.6-0.8极小值点
例如 , 极 大 值 点 极 小 值 点 在极值点处的 切线是水平的， 这是一种偶然 吗？ 在[0,2 ] , 1 sin π 上 y x = + 的 极大值为2，极小 值为0
费马定理如果x,是函数f(x)的极值点并且f(x)在该点可导,那么f(x)=0.驻点极大值点平行于x轴0.80.6f(x)=0=→在x,点f(x)的切线与Ox轴平行-0.2-0.4-0.6-0.8平行于x轴极小值点
如果 是函数 的极值点 并且 在该点 费马 可导 定理 那么 0 0 ( ) , ( ) , ( ) 0. x f x f x f x = 极大值点 极小值点 平行于x轴 平行于x轴 f x x f x Ox ( ) 0 ( ) . 0 0 = 在 点 的切线与 轴平行 驻点
注：已知条件中f(x)在该点可导是重要的x=0是极小值点但在该点不可导在(0,0)右侧的切线斜率k=1.x在(0,0)点不光在(0,0)左侧的滑，出现尖点切线斜率k=一1
在(0,0)左侧的 切线斜率k=－1. o x y y x = 注：已知条件中f x( )在该点可导是重要的. x = 0是 ， 但在该点 极小值点 不可导. 在(0,0)右侧的 切线斜率k=1. 在(0,0)点不光 滑，出现尖点
(0,0)点是驻驻点可导点二点极值点?不可导点但驻点不一定是极值点0x.2x3)= 0,3xx=0x=0但是 f(x)= x3在(-0,+)上是单增函数x=0并不是f(x)的极值点
(0,0)点是 驻 点 3 0 ( ) = x x 可 导 点 驻 点 极 值 点 不 可 导 点 但 驻 点 不 一 定 是 极 值 点. 但是 在 上是单增函数 并不是 的极值点 3 ( ) ( , ) , 0 ( ) . f x x x f x = − + = 3 y = x oy x 2 0 3 = = x x = 0
中值定理二、y= f(x)观察右图在函数y=f(x)的曲线b x上总有一点P,使曲线oaS在该点的切线与连接A、B两点的直线平行由此我们可以得到拉格朗日中值定理i
( ) , . P y f x A B 在函数 = 的曲线 上总有一点 使曲线 在该点的切线与连接 、 两点的直线平行 y = f (x) 二、中值定理 o y b x 观察右图 P 由此我们可以得到拉格朗日中值定理. a
中值定理 (拉格朗日)如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2) 在开区间(a,b)上可导那么在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f(b)一f(a)f()=( E (a,b).b-a此公式称为拉格朗日公式f(x)在[a,b]上整体变化的平均变化率f(b)一f(a)=f'()·(b一a)中值定理是联结局部与整体的纽带
在 上整体 变化的平均变化率 f x a b ( ) [ , ] 点 处函数的局部变化率 中值定理是联结局部与整体的纽带. 中值定理(拉格朗日) f b f a f b a ( ) ( ) ( ) ( ) － ＝ － ( ) (1) [ , ] (2) ( , ) , ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ( , )). . f x a b a b a b f b f a f a b b a = 如果函数 满足 在闭区间 上连续； 在开区间 上可导 那么在开区间 内至少存在一点 ，使得 － － 此公式称为拉格朗日公式