《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 求总量的问题——定积分 习题课

第六章求总量的问题一定积分习题课自的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题

第六章 求总量的问题—定积分 习题课 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题

目的要求☆理解定积分的概念及微积分基本定理☆熟练掌握定积分的性质,会用第一、第二换元法求定积分；☆了解反常积分的概念及意义；☆较熟练掌握定积分的几何应用

目的要求 ☆理解定积分的概念及微积分基本定理； ☆熟练掌握定积分的性质,会用第一、第二换 元法求定积分； ☆了解反常积分的概念及意义； ☆较熟练掌握定积分的几何应用

知识网络图

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引例定义概念可积条件性质常数倍、代数和、区间可加、保序性有界性、绝对值不等式定理、中值定理变上限积分定积分牛顿-莱布尼茨公式一般计算方法换元积分法f(x)dx=F(b)-F(a)分部积分法f(x)dx=J° f((t)p(t)dt拓展一非正常积分J. ()dw= lim". f(xdx-平面图形的面积微元法应用由截面面积求立体体积变力做功

应用 变力做功 平面图形的面积 定 积 分 概念 引例 定义 性质 一般计算方法 由截面面积求立体体积 常数倍、代数和、区间可加、保序性、 有界性、绝对值不等式定理、中值定理 变上限积分 可积条件 换元积分法 牛顿-莱布尼茨公式 分部积分法 拓展 —非正常积分 微 元 法 ( ) ( ) ( ) d b a f x x F b F a = −  ( ) ( ( )) ( ) d d b a f x x f t t t =        d d b b b a a a u v uv v u = −   ( ) lim ( ) d d A a a A f x x f x x + →+ =  

重点与难点重点、难点：用微积分基本定理计算定积分、变限定积分、反常积分敛散性的判断

重点、难点：用微积分基本定理计算 定积分、变限定积分、反常积分敛散 性的判断. 重点与难点

例题r4dx求定积分例101 + cos2x提示与分析：利用三角函数的倍角公式将分母去掉。元1144解 原式=dxsecxdx-Jo2Jo2cos° x八tan x22

例 题 例1 提示与分析：利用三角函数的倍角公式将分母 去掉. 解 原式 1 . 2 = 4 0 1 tan 2 = x π d 求定积分 4 0 . 1 cos 2 x + x  π d 4 2 0 1 2cos x x =  π d 4 2 0 1 sec 2 = x x  π

I' (1 - cos t)dt.例2求极限limx-→0 x J提示与分析：用洛必达法则求此极限问题(1-cost)dt0解　原式=limx-→00x~(1- cost)dt)= limx→0(x)= lim(1- cos x)x→0= 0

例2 求极限 d 0 0 1 lim (1 cos ) . x x t t → x −  原式 = 0. 0 lim(1 cos ) x x → = − 解 提示与分析：用洛必达法则求此极限问题. d 0 0 (1 cos ) lim x x t t → x − =  0 0 d 0 0 (1 cos ) lim x x t t → x − =  [ ] ( )

ret≤x2提示与分析：求分段函数的定积分问题，利用定积分的可加性解令x-1=则x = t +1,dx = dt,2二时,t=当x=;当x =2时,t =12分段函数口f(x -1)dx =f(t)dt2奇函数2[i(-1)dt = 0 -tli =-2totdt :+对称区22间

例3 提示与分析：求分段函数的定积分问题，利用定积 分的可加性. 解 令x t − =1 , ｅ d d 2 1 1 2 1 1 2 2 ( 1) t t t t − = + −   d 1 1 2 f t t ( ) − =  1 . 2 = − 1 1 2 = −0 t ｅ 设 求 d 2 2 1 2 1 1 , , 2 2 ( ) ( 1) . 1 1 , , 2 x x x f x f x x x  −    = −   −    则x t x t = + = 1, , d d d 2 1 2 f x x ( 1) −  当 时 1 , 2 x = 奇函 数 对称区 间 0 1 2 1 2 − t = ; 当x t = = 2 , 1. 时 分段函数

元24 sin/xdx.例4求定积分提示与分析：被积函数为无理函数和三角函数的复合,先去掉根号再利用分部积分公式。解 设t =x,则x=t,dx =2tdt2元t从0到x从0到2元2原式=22 t sintdt2 td(cost)-2一02= -(2t cos t) + 2(costdt0元12 =2= 2sint-

例4 提示与分析：被积函数为无理函数和三角函 数的复合,先去掉根号再利用分部积分公式. 解 设t x = , 则 d d 2 x t x t t = = , 2 原式 = 2 . 从 到 2 0 , 4 x π 从0 . 到 2 t π 2 ｄ 0 = 2 sin t t t  π d 2 0 = −2 (cos ) t t  π d 2 2 0 0 = − + (2 cos ) 2 cos t t t t  π π 2 0 = 2sint π 求定积分 d 2 4 0 sin . x x  π

例5求由抛物线(x-1)与直线y=x+3所围=B(5,8)y=x+3平面图形的面积-1解先画出草图A(-1,2)联立求交点：5x10V=--(x:= A(-1,2), B(5,8)1y=x+3,x e[-1, 5]选x为积分变量,则于是,所求的面积为 S={[(x+3)dx055x=18.r+2x+dx2622

解 先画出草图  − A B ( 1, 2), (5, 8). 选 x 为积分变量,则 x  −[ 1, 5] 1 2 ( 1) , 2 3, y x y x   = −    = + 求由抛物线 与直线 所围 平面图形的面积. 1 2 ( 1) 3 2 例5 y x y x = − = + y 联立求交点： o x A( 1, 2) − • • B(5,8) 于是,所求的面积为 d 2 5 1 [( ) 1 ] 1 ( 2 S x x 3 x ) − = − + −  d 2 5 1 5 ( 2 ) 2 2 x x x − = − + +  5 3 2 1 5 ( ) 6 2 x x x − = − + + = 18. −1 5 y x = + 3 1 2 ( 1) 2 y x = −