第九章微分方程浅说习题课主要内容：目的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题
第九章 微分方程浅说 习 题 课 主要内容: 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
自的要求了解微分方程、微分方程的解、阶、初值条件等概念；求简单的可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的通解和特解知道微分方程在自然科学、人文社会科学中的广泛应用
了解微分方程、微分方程的解、阶、初值 条件等概念； 求简单的可分离变量微分方程和一阶线性 微分方程的通解和特解； 知道微分方程在自然科学、人文社会科学 中的广泛应用. 目的要求
知识网络图微分方程的形式 F(x,y,y,..",y(n)=0概念微分方程的阶初始条件、通解微分方程的解初值问题特解微分方程及其解的几何解释dyf(x)g(x)可分离变量的方程微分方程f(ax +by)=类型dyXf(齐次微分方程一dxp(x)y= 0+齐次一阶线性微分方程非齐次p(x)y=q(x)1应用举例
微 分 方 程 概念 微分方程及其解的几何解释 类型 应用举例 微分方程的形式 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y = 微分方程的阶 微分方程的解 通解 特解 初始条件、 初值问题 可分离变量的方程 d d ( ) ( ) y f x g x x = d d ( ) y f ax by x = + 齐次微分方程 d d ( ) y y f x x = 一阶线性微分方程 d d ( ) 0 y p x y x + = d d ( ) ( ) y p x y q x x + = 齐次 非齐次 知识网络图
例题2005年考研例1求微分方程xy'+=0满足初始条件y(1)=2的特解一阶线性齐提示与分析：将微分方程变形，米次1解?将微分方程变40C =-230C=2其中 p(x)=20C=1.5C =-1.510pC=-1一n想想还有没-10其它方法？水通解-20-30综上,所求初A054-1-0.50.51.501
例1 求微分方程xy y y + = = 0 (1) 2 满足初始条件 的特解. 解 将微分方程变形得 1 y y 0 x + = 2005年考研 提示与分析: 将微分方程变形，将其归类一阶线性齐 . 次 微分方程 其中 1 p x( ) , x = d e p x x ( ) y C − = d e 1 x x C − = e ln x C − = 所求通解为 . C y x = 代入公式得： . C x = 综上 所求初值问题的特解为 2 , . y x = 又y(1) 2 = ， 1 2 = C 2. . C y x = 想想还有没 其它方法？ C = 1 C = 2 C = −1.5 C = 1.5 C = −2 C = −1 例 题
cos ydx + (1+ e-*)sin ydy = 0例2求初值问题的特解.Vlx=0=4将微分方程变量分离，两边积分求出通解提示与分析再代入初始值确定C的值，求出特解解cos ydx +(1+ e-*)sin ydy = 0分离变量ot两端积分dx =tan ydy,1+e*In(1+e*)=Incosy|+C,(1+e*)secy =CTTl---, .. - 2/2,：通解为(1+e")seeⅡ=C，又yl综上，初值问题的解为(1+e*)secy=2/2
d d e 1 sin , 1 cos x y x y y − = − + 例2 提示与分析 将微分方程变量分离，两边积分求出通解， 再代入初始值确定C的值,求出特解. 解 分离变量 两端积分 e 1 ln(1 ) ln cos , x + = + y C e d d e tan , 1 x x x y y = − + e e 1 (1 )sec , x C + = y cos (1 )sin 0, d e d x y x y y − + + = C 通解为(1 )sec . e x + =y C 0 = C 2 2, 综上，初值问题的解为(1 )sec 2 2. e x + =y d e d 求初值问题 的特解. 0 cos (1 )sin 0, , 4 x x y x y y y − = + + = = π 又 0 , 4 x y = = π 4 π 通解为(1 )sec , e x + = y C
dy例3=-+解方程Y观察得该方程为齐次微分方程，采取设提示与分析：中间变量的方法齐次微分方dy程解/1-() +.dx矛盾转化法xXdzdy，则y=z,令z==z+x1dxdxxdz化简dz.方程化为+ z.xz+xdxdx变量分离dx,dz :=arcsinz+C, = In x,xV1-z
d 解方程 d 2 1 ( ) . y y y x x x 例3 = − + 解 d d 2 1() y y y x x x = − + 提示与分析: 观察得该方程为齐次微分方程，采取设 中间变量的方法. 齐次微分方 程 令 ， y z x = 则y zx = ， d d d d , y z z x x x = + 方程化为 d d 2 1 , z z x z z x + = − + 矛盾转化法 d d y x d d y x d d 2 1 , z x z x = − 化简 d d 2 1 1 , 1 z x z x = − 1 arcsin ln , z C x + =
反解xearcsinzarcsin z +C, = In xx=yarcsinyxxx=Cearcsin-综上,原微分方程的通解为x=Cex
1 arcsin ln , z C x + = 反解x e e 1 arcsin , C z x = C e arcsin . y x x C= y z x = 综上 原微分方程的通解为 e arcsin , . y x x C=
(s)dyI2dx例4()+2-2求解微分方程"y2 +2xy -2x表示成x的齐次方程，运算简便.提示与分析：dx=-2(一)解:1+2化为x的齐次方程dyy1dxdzx令Z=则x = zy,=Z+17dydyydz化简dz.1+z-2z2= 1+2z - 2z方程化为z+ydydy变量分离dz2dyJd2z+11-z(2z +1)(1- z)y
求解微分方程 的通解 2 2 2 . 2 2 y y y xy x = + − 例4 提示与分析: d d 2 2 ( ) ( ) 2 2 y y x x y y x x = + − 表示成x的齐次方程，运算简便. 解 2 2 2 dx y xy x 2 2 dy y + − = 令 ， x z y = 则x zy = ， d d d d , y z z y x y = + 方程化为 化为x的齐次方程 d d x y d d 2 1 2 , z y z z y = + − 化简 d d 2 1 2 2( ) , x x x y y y = + − d d x y d d 2 1 2 2 , z z y z z y + = + − d d , (2 1)(1 ) z y z z y = + − 变量分离 d d 1 2 1 ( ) 3 2 1 1 y z z z y + = + −
反解y2z+12z +1n= ln y+C1C. y3,1-71-zx2x+ yy: Cy'(y-x)2x + y综上，原微分方程的通解为Cy'(y-x)
1 1 2 1 ln ln , 3 1 z y C z + = + − 反解y e 1 2 1 3 3 , 1 z C y z + = − C 3 2 . ( ) x y C y y x + = − x z y = 综上 原微分方程的通解为 3 2 , . ( ) x y C y y x + = −
52x+y=3y3(y-x)3210-1-20462x+ y=-5yp(y-x)-2-10213-4-313210-1-2-3-4SS-3-2023-4-1146
3 2 3 ( ) x y y y x + = − 3 2 5 ( ) x y y y x + = − −