《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 2-4 矩阵分块法

矩阵及其运算 第四节 矩阵分块法 一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH矩阵的分块一、对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算．具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵福国庆质

一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH0a-BBB000a例A=0b0aBBB000a即A=b011601上页国下质

, 321   = BBB   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例   A = a 1 0 0b a 0 1 1 0 0 0 0 1 1 b   = B 1 B 2 B 3 即

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH1C1CC.C3C1C即C3 C页画下页

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2       = C C C C       =               A = a 1 C1 0 0 C2 0 1 1 0 0 a C3 b b 1 1 0 0 C4 即

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH02其中国BE=(A A, A, A),其中A =Y国下质

,      = E B A O ( ), = A1 A2 A3 A4               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0       = a a A 0 1 其中       = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O               = 0 1 0 1 a 其中A               = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH二、分块矩阵的运算规则(1)设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用相同的分块法，有B11BAB=B...B其中A,与B,的行数相同列数相同那末Al1 + B,Ar + BA+B=1+BA+BA上页国下页

( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B     二、分块矩阵的运算规则           =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 1 1 1 1 1 1 1

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHAuA(2)设 A =，几为数，那未As1A.-(2A112A1r...2A =2As12A.sr上页下页友回

(2)设 , 为数,那末 1 1 1 1            = s sr r A A A A A     . 1 1 1 1           = s sr r A A A A A         

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH213例元=2,A=3 125461 ×22×23 ×22×2 1 ×22A=3×24×25×26×244146二12810上页发回下页

例           = 4 5 6 3 2 1 1 2 3  = 2, A 2 2 2 2 2 2 2 2 2                    = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 2 A . 8 10 12 6 4 2 4 4 6           =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH③)设A为m×矩阵,B为l×n矩阵,分块成Bil..Bi,A:.: .·B=A=.B...Bt.···As1其中A1, Ai2,…, A,的列数分别等于Btj,B2j,B,的行数,那末Cn.CuAB =Cs1...Csr.其中C, =ZAuB (i- l,.,s; j- l,.,r).k=1上页发回下页

(3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1           =           = t tr r s st t B B B B B A A A A A         的行数 那 末 其 中 的列数分别等于 , , , , , , , Ai1 Ai 2  Ai t B1 j B2 j  Bi j           = s sr r C C C C AB     1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j =  i k =  =  = 其 中

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHAA ... Ar4.(4)设A =：，厕A=..As1AA.A.Ar..5)设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵.即A0AA=0顶国下页

( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A , 2 1               = As A A A  O O (4) , 1 1           = Asr A A     设 A1r As1 . 11           = T sr T T A A A     则 T As1 T A1r T As1 T A1r . 11           = T sr T T A A A     则