《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-5 二次型及其标准形

相似矩阵及二次型 第五节 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 > 四、化二次型为标准形 > 五、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、一次型及其标准形的概念定义1含有n个变量xi,x2,,x,的二次齐次函数f(xi,x2,..,x,)= ai1x + a2x2 +...+amx,+ 2a12xiX2 + 2a13xiX3 +..+ 2an-1,nxn-ixn称为一次型当a,是复数时，称为复二次型；当a,是实数时,称为实二次型+页国下质

一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 ,  , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH只含有平方项的二次型f =kyi +k,y? +...+kny称为二次型的标准形（或法式）：例如f(xi,x2,x3)= 2x +4x + 5x3 - 4xx3f(xi,x2,x,)= xix, + Xix + x,x3都为二次型；f(x1,x2,x3)= x + 4x2 + 4x为二次型的标准形上页下质回

只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、一次型的表示方法1.用和号表示对二次型f(xi,x2,...,xn)= a11x + a22x2 + ... + amx+ 2a12xiX2 + 2a13xix3 +... + 2an-1,nxn-ix.取aj=aj,则2ajxix,=ajxixj+ajxjxi,于是f = aiixi +ai2xix2 +..-+ ainxxn+ a21x2Xi + a22x2 +:.:+ a2nx2xn+... +anixnxi +an2xnx2 +...+annx1M二ajxixji,j=1上页下质回

1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j =  ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2.用矩阵表示f = aiix + ai2x,x2 +..+ainxixn+ a21x2xi + a22x2 +...+ a2nx2xn+.. +anxnx +anx,x, +.+ amx.nW= xi(a11 xi + ai2x, + ... + ainxn)+ x2(a21xi + a22x2 +... + a2nxn)+...+ Xn(aniXi +an2X, +...+ annxn)a11xi + ai2x2 +...+ ainxna21xi + a22x2 +..:+ a2nXn= (X1,x2,.",Xn)anixi + an2X2 +..+anmXn上页回下页

2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +                   + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHXiaa12ayrX2a22a21a2n= (x1,x2,,x.)·an2amnXn)anxiay1112ainX2a2122a2n记A=X：anlaan2nn则二次型可记作f = xTAx,其中A为对称矩阵上页这回下页

则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               =               = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A         记 ( )                             = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、一次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，一次型与对称矩阵之间存在一一一对应的关系对称矩阵A叫做二次型f的矩阵f叫做对称矩阵A的一次型对称矩阵A的秩叫做一次型f的秩2国下质

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1写出二次型f = x + 2x2 -3x3 + 4xx, -6x2x3的矩阵解 α =1, a22 =2, as3 = -3,a12 = a21 = 2, α3 = a31 = 0,23 = A32 = -3.(120A=2 2 -30-3-3上页下页友回

解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0   − −  A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH四、化一次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形X = Ciyi + Ci2y2 +..: + Cinyn'设X2 = C21Ji + C22J2 +:.: + C2nyn'Xn = CniJi + Cn2J2 +::+ Cnnyr记C =（ci),则上述可逆线性变换可记作x = Cy上页回下页

       = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH将其代入 f =xT Ax,有f = xT Ax= (Cy) A(Cy) = yT(CT AC)y定理1 任给可逆矩阵C,令B = CTAC,如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵且R(B)= R(A)证明 A为对称矩阵即有A= AT,于是BT = (CT AC)- CTA'C = CTAC = B,即B为对称矩阵:. R(B)≤ R(AC)≤ R(A): B = CT AC,又: A = (cT) BC-1,:. R(A)≤ R(BC-I)≤ R(B): R(A)= R(B)上页画下页

f x Ax T = 证明 A为对称矩阵,即有A = A T ,于是 ( ) T T T B = C AC 将其代入 f = x T Ax,有 y (C AC)y. T T (Cy) A(Cy) = T = , , ( ) ( ). 1 , , B R B R A C B C AC A T = = 矩 阵 则 也为对称矩阵且 定 理 任给可逆矩阵 令 如 果 为对称 C A C T T = C AC B, T = = B C AC, T  =  R(B)  R(AC)  R(A), ( ) , 1 1 − − A = C BC 又  T ( ) ( ) ( ). 1  R A  R BC  R B −  R(A) = R(B). 即 B 为对称矩阵