《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-6 用配方法化二次型成标准形

相似矩阵及二次型 第六节 用配方法化二次型成标准形 一、拉格朗日配方法的具体步骤 二、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH拉格朗日配方法的具体步骤一、用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法一一拉格朗日配方法2页国下质

一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH拉格朗日配方法的步骤1.若一次型含有x的平方项，则先把含有x;的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；2．若二次型中不含有平方项，但是a；≠0(i≠ i),则先作可逆线性变换x, = yi - yi(k = 1,2,...,n且k ±i,j)Xi = Yi + yiXk = yk化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方2国不质庆

1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; i x xi      = = + = − k k j i j i i j x y x y y x y y (k = 1,2,  ,n且k  i, j) 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 aij  0 (i  j), 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1化二次型f = x? + 2x2 + 5x3 +2x,x + 2xx +6x2x3为标准形.并求所用的变换矩阵含有x的项配方解含有平方项x+ 2x +5x +2x5 +2xix +6x2x3f =x + 2xx2 +2xx3+ 2x2 +5x3 + 6x,x3=(x, +x, + x,)去掉配方后多出来的项--x-2xx+ 2x, + 5xs + 6x,x3上页回下页

解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x , . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例1 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH=(x +x, +x,)+x +4x, +4x,x=(x +x2 +x) +(x + 2x,)yi = Xi + X2 +X3Xi = yi - y2 + 3令J2 = x2 + 2x3=3 X2 = y2 - 2y3(y3 =X3X3= J315-1xyi-2y20↑X2X3上页回下页

( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x      = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令      = = − = − +  3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y                     − − =            3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 y y y x x x

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH.. f = x +2x2 + 5x + 2xx, + 2xx, +6x2x3=yi+y2.所用变换矩阵为二-2， (C=1±0)-页下页回

1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2  f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x . 2 2 2 1 = y + y 所用变换矩阵为 , ( 1 0). 0 0 1 0 1 2 1 1 1 =            − − C = C

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2化二次型f = 2xx, +2x,x -6x2x3成标准形，并求所用的变换矩阵解由于所给二次型中无平方项，所以(11)Xr = i + y21XV令X2 = J1 - 2,即 x2=2[X3 = J3一X3代入 f = 2xx, + 2xx - 6x,x3,得f = 2y? - 2y2 - 4yiy3 + 8y2J3上页画下页

, 3 3 2 1 2 1 1 2      = = − = + x y x y y x y y 令 解 2 2 6 , x1 x2 x1 x3 x2 x3 代入 f = + − 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 得 f = y − y − y y + y y , . 2 2 6 1 2 1 3 2 3 成标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x x + x x − x x 例2 由于所给二次型中无平方项，所以                               = −           y y y x x x 3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 即

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH再配方，得f = 2(y1 - y3) - 2(y2 - 2y3) +6y3zi = yi - y3令32 = y2 - 2y3LZ3 = Y3Z1y1 = z1 + z3即 y2 021 y2 = z2 + 273,一=7.2茶(J3 = 313发得f =2z1-2z2 + 6z3上页下页发回

再配方，得 2( ) 2( 2 ) 6 . 2 3 2 2 3 2 1 3 f = y − y − y − y + y      = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 z y z y y z y y 令 2 , 3 3 2 2 3 1 1 3      = = + = +  y z y z z y z z 2 2 6 . 2 3 2 2 2 1 得 f = z − z + z                               =           z z z y y y 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 即

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH所用变换矩阵为(C = -2 # 0)一1国下质

所用变换矩阵为                     = − 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C . 0 0 1 1 1 1 1 1 3           = − − (C = −2  0)

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法：如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大：如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给一次型的秩国顶下质

二、小结 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．