代数几何讨论班备用稿 曲面纤维化简明讲义 华东师范大学数学系 2010
前言本讲义在肖刚《代数曲面纤维化》以及陈志杰和谈胜利的《代数曲面讲义》等文献基础上进行了补充和整理.若千章节之间并非完全按照教学顺序展开。读者可以根据各自情况作适当调整，为方便读者查阅相关概念或结论等，书后附有索引及参考文献此外，每一章节末尾配有若千习题作者在这里要感谢陈志杰、谈胜利教授所提供的指导与建议，此外作者特别感谢TAshikaga教授在伪周期映射理论方面给予的指点，并感谢他提供了诸多重要的参考文献，作者同时要感谢左康教授在相关研究中所给予的指导。最后作者也非常感谢以下各位师弟为本讲义提供了诸多重要的修改建议
目录目录第一章纤维化基础知识11.1基本概念和性质，11.2相对典范层与不变量61.3基变换与稳定约化101.4Albanese映射13本章习题17第二章整体不变量性质182.1相对不变量的非负性182.2基变换不等式，212.3Arakelov不等式，232.4典范类不等式，272.5肖刚不等式292.6相对不规则性估计36本章习题37第三章局部不变量性质383.1纤维模型与局部不变量383.2奇异纤维陈数403.3局部Arakelov型不等式443.447局部典范类不等式..3.5局部Miyaoka-Yau型不等式51本章习题53第四章54纤维化拓扑性质4.1基本群与垂直部分544.2映射类群与伪周期映射594.365拓扑单值与分裂形变4.4超椭圆曲线族的拓扑(I)694.5超椭圆曲线族的拓扑(II)74本章习题80第五章特殊纤维化研究815.1几何直纹面。815.2椭圆纤维化.845.3超椭圆纤维化875.4亏格3非超椭圆纤维化955.5Pl上的纤维化.100一些例子5.6.104本章习题107-ii -
目录第六章相对典范代数1096.1除子上的可逆层..1096.2除子上的典范代数.1156.3小亏格纤维的典范代数..1196.41-2-3猜想与Green猜想..124本章习题...130第七章Mordell-Weil格.1327.1格的预备知识：..1327.2基础性质....1337.3具体例子...136本章习题....138第八章其他专题选讲..1398.1高维纤维化，.1398.2特征p纤维化，.1418.3曲线模空间..143本章习题......145参考文献.146-ili-
第一章纤维化基础知识第一章纤维化基础知识1.1基本概念和性质设S是光滑射影曲面，C是亏格为b的光滑代数曲线.曲面S上的纤维化（Fibration）就是从S到C的全纯满态射f：S一→C，使得每个点pEC)在f下的原像F是连通曲线.C称为f的底曲线(Basecurve)我们称Fp为于在点p处的纤维（Fiber)：如果一条纤维F是光滑既约曲线，那么我们就称之为光滑纤维；反之，则称为奇异纤维（Singularfiber），并将其像点p称为临界点.S上的一条不可约曲线T如果其像f(T）是一个点，则称为垂直的：否则称为水平的.如果水平曲线r与一般纤维相交数为1，则称之为f的截面(Section).显见截面T兰C.命题1.1.1设f：S→C是纤维化，则(1）是平坦态射，且任何纤维都有相同的算术亏格：(2)至多只有有限条奇异纤维证明(1)参看[Hat77,III9.10/1IIex10.9](2)来自于Bertini定理。这里我们给出另一种较为直观的局部计算性证明，设pEC,Fp是对应的纤维.任取一点qEFp，考虑q附近局部坐标（t,y）以及pEC附近的局部坐标t.此时，纤维化f在α附近的局部方程可写为f(a,g)=t.(F.q)是曲线奇点当且仅当q满足(df)α=0,即f(a,y)=t,1%== 0.我们令是曲面S上所有上述奇点构成的集合的闭包.显见是解析子集，且dim≤1.如果存在不可约曲线ICZ，则我们可以断言T是垂直分支若不然，f：F一→C诱导一个有限覆盖.因此我们可取T的一个光滑点及其局部邻域V，使得f：TIv→△是局部同构，此处△是C中相应的像邻域.换言之，存在局部全纯函数g(t),h(t)，使得t=f(g(t),h(t)),Vte△两边求导得到1=%-0(0+%+af.h(t).但由T的选取可知，在「Iv上恒有%=%=0,这与上式导致矛盾！这样我们可将之写为Z-U...UT,UEo-这里诸I，是垂直分支，Z。为有限点集.因此f只有有限条奇异纤维对一般纤维F，记其亏格为9=g(F)：由于9不依赖于F的选取，因此我们也称之为纤维化f的亏格；f也常称为亏格g纤维化(Fibrationofgenusg).当g=0时，f：S→C亦称为几何-1-
第一章纤维化基础知识直纹面（Ruledsurface）.当g=1时，f称为椭圆纤维化（Ellipticfibration)，而S除了少数情形之外都是椭圆曲面，当9≥2时，如果一般纤维F都是超椭圆曲线，即到射影直线P1上有二次覆盖，那么我们就称f是超椭圆纤维化（Hyperellipticfibration）：否则就称为非超椭圆纤维化（Nonhyperellipticfibration).类似地，如果一般纤维F到射影直线Pl上都有三次覆盖，则称f是三点式纤维化(Trigonalfibration）.亏格2纤维化必定是超椭圆纤维化亏格3非超椭圆纤维化则必定是三点式纤维化，命题1.1.2设F,F是两条纤维，则(1) OF(F) = OF, F2 = 0;(2）若F光滑，则wF=Or(ws)，特别地，我们有2g-2=KsF;(3)F与F数值等价。证明月设pECF,=f*(p）是相应纤维.由Moving引理，可设p=Hi一H2，这里H是C上不含p的非常丰富除子.于是Fp = f*(p) = f*Hi - f*H2 = Fa - FbaEHbeH2由此立得F2=F( Fa- Fb)= 0.EH,beHa同样地，OF(F*H)=OF.因此OF(F)兰OF(f*H1)OF(-f*H2)兰OF进一步，由相伴公式可得WF=OF（wgOs（F)）=Or（ws）下面我们证明(3).回顾如下正合列0Z0s00它诱导了上同调正合列Hi(S,Os) s H'(s,Os) 1, H2(s,Z),这里H(S,O）=Pic(S)是Picard群，Imci=NS(S)是由陈类诱导的Neron-Severi群，其数值等价类的集合即构成数值等价类群Num(S).同样地，我们也有正合列H'(C, Oc) ac Pic(C) deg H2(C,Z)这里deg可视为求曲线C上除子的次数。我们记Pico(S）=Imas，Pic(C)=Imac,设F=f*(p),F"=f*(p).我们有以下交换图Hi(S, Os) -s- Pic(S) --NS(S)rt8H1(C, Oc) - Pic(C) → H2(C,Z)因为p-pEPico(C),所以ci(F-F)=ci(f*(p-p))=β(deg(p-p))=0,即ci(F)=ci(F')图亦即F与F'数值等价-2-
第一章纤维化基础知识由上述结论，我们可以再次证明纤维的算术亏格都是9≥mC:是奇异纤维，这里诸C 是互不相同的不可约设Fo=推论1.1.1(Zariski引理）台既约分支，分支重数ni>0(1)对任何纤维F，我们有FCi=0,i=1,.,r.(2)设D=)亡m;C，miEZ.那么必有D2≤0.进一步，D2=0当且仅当D=F，这里是某个有理数，换言之，Fo是半负定曲线证明（1)显然(2)的证明可参考[Art62]，具体如下由(1)知,C? =-12nCaC.ikti又因为D2=mC?+2mimjCiCji=1i1，那么这样的F就称为多重纤维（Multiplefiber)，此时n称为F的重数作为Zariski引理的一个简单应用，我们给出以下推论，后面将会用到它推论1.1.2设F是奇异纤维,D,D'是支集落在F中的除子，且D2=D/2=-1,则(1)要么D≥0,要么D≤0(2)假设D≥0D≥0，且它们的支集相交非空，则以下情形之一必定成立（EQ)(a) D≥D',或D'≥D,(b) D + D= F,(c)DΛD'=F,这里DΛD'指不超过D和D'的最大有效除子，(d) D+ D'-DAD'=F.特别地，如果D+D'的支集是负定曲线，那么只有情形（a)出现；且当D≠D'时，恒有DD'= 0.证明（1)设D=D1-D2,这里Di≥0，D2≥0，且两者没有公共分支.今假设D1D2≠0.若D=0,则D1=F，EQ.这就推出D2=0,与假设矛盾！故D≤-1,同理有D3≤-1.于是-1 = (D1 - D2)2≤D+ D2 - 2DD2 ≤ D + D2≤-2-3-
第一章纤维化基础知识矛盾！综上可知要么D≥0，要么D≤0.(2)注意-2±2DD'=(D±D)2≤0,从而-1≤DD≤1.如果(D-D)2=0,则D-D'=F,EQ.于是D≥D,或者D≥D.如果(D+D')2=0,则D+D=FEQ，即情形(b).如果(D1ΛD2)2=0,那么立得情形(c).以下不妨假设(D±D)20时，相对极小模型是唯一的;(3)若b=g(C)>0，那么相对极小当且仅当S是极小曲面-4-
第一章纤维化基础知识证明(1)(3是显然的.下面证明(2)。假设fi：S;→C（i=1,2)是两个不同构的相对极小模型.我们可构造曲面S、使得p：S一S（i=1.2）是一系列爆发，且有交换图S'-2- S2piSi--C设E是S'上的（-1)-曲线，且被p1收缩。不失一般性，我们可以假设E不被p2收缩(否则我们可以用收缩掉E后的新曲面代替S).这样，P2(E)是曲线，记为E2E落在f1P1：S"→C的某个纤维F'中，因此我们可设F'在S,中的像纤维为F(i=1,2)由于S2相对极小且E2F2,所以E2不是(-1)-曲线.因此由p2的定义可知，E>E2=-1.另一方面，由Zariski引理，E≤0,故得E=0,即F2=E2，对某个有理数成立.注意到E是有理曲线，所以E2兰P1由简单计算可知Ks,F2=KsE2=-2，即g=g(F2)=1-从而=1,9=0,与假-设矛盾！从上述证明也可看出，几何直纹面的极小模型不唯一本节最后，我们给出如下结论命题1.1.4设f:S一→C是亏格9纤维化，F是任意纤维，则有h(F,OP)=1, hl(F,Or)=g为证明命题1.1.4，我们需要下面一些关于除子技巧的引理（更多内容可参看[Men88]引理1.1.2设是曲面S上有效除子，是T上的可逆层，且它在的任何不可约分支上的限制都是零次的.假设有非零截面sEH°()，且T=F1+F2，使得1≤是满足8r=0的极大除子，那么我们有IiI2≤0证明考虑正合列08O-LOr8我们得到上同调正合列0 H(T2,(-Ii) Ir) Res H(T,) H(T1, Ir).由T2定义知，sEH(T2.(-Ti)lr)故s诱导单态射s:Or一Or(-Ti).考虑相应正合列0→Or24 0Or(-)→Q→0它诱导了0→Or,(T1) Or→QOr(T1)0.由于Ii是满足slr,=0的极大除子，所以s在I2上的零点集是有限集，从而Supp(Q）≤Diu(s）是有限支集，这样我们有x(± Or2) - x(Or,(T1)) = x(Q Or,(T1)) = h(Q αOr,(T1))-5-
第一章纤维化基础知识另一方面，由Riemann-Roch定理，我们有x(Or2)=x(Or2)+deg±lr,=x(Or2)x(Or,(T1) = x(Or2) + deg Or,(T1) = x(Or,) + Ti2.■因此iT2=-h(Q@Or,(T1))≤ 0.引理1.1.3设T和±满足引理1.1.2的条件，且「是1-连通除子，则h(）≤1.进一步，h（±）=1当且仅当=Or.特别地，我们有h(Or)=1.证明假设存在非零截面sEH°()，考虑I=1+I2同引理1.1.2.由于8≠0,所以T2≠0.引理1.1.2及I的1-连通性迫使I1=0即T2=.又因为4在I的任何不可约分支-上次数为零，所以Q=0（见引理1.1.2).这就推出4Or，从而h°（）=1命题1.1.4的证明.由正合列0Os(-F)OsOF0以及Riemann-Roch定理，我们得到x(OF) = x(Os) -x(Os(-F) =1 - g因此，只需证h(O）=1.假设n是最大整数，使得Fo=F是整除子，我们先证明Fo是1-连通除子，若不然，可设Fo=A+B,A.B≥0,AB≤0.由Zariski引理,2AB=-A2-B2≥0.因此AB=0,A2=B2=0,从而A,B都有Fo的形式.这将推出Fo仍是可除的，即与n的最大性矛盾！因此Fo是1-连通除子，这样，由引理1.1.3知，h°（OF）=1.特别地，对非重纤维来说，该结论成立.因此以下只需考虑重纤维情形对正整数<n,考虑正合列0OF(-kFo)O(k+1)FOkF 0.由于OF(Fo）是n阶挠层(引理1.1.1)，所以h°(OF（-kFo))=0.因此ho(O(h+1)F) ≤ho(OkFo), 1 ≤ k ≤ n - 1.这就推出ho(Or）=h(OF）=1一1.2相对典范层与不变量设f：S→C是相对极小亏格g纤维化，b=g(C).我们可以定义的相对典范层(Relativecanonical sheaf）ws/c=wsf*w，它有时也称为相对对偶层（Relativedualising sheaf).对应ws/c的除子Ks/c=Ks一f*Kc称为相对典范除子(Relativecanonicaldivisor).类似地，也可以定义相对 v-典范层wg/c.利用以下正合列还可定义层2s/C:0f*2c→2sQs/c→0.一般来说，s/C≠ws/c，它甚至不是局部自由的.-6-