相似矩阵及二次型 第四节 对称矩阵的相似矩阵 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 三、小结 思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵定理1对称矩阵的特征值为实数证明设复数a为对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量即Ax = 2x, x ± 0.用入表示的共轭复数，x表示x的共轭复向量则Ax = Ax =(Ax)=(ax)= ax正页下页回
定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x 0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH于是有xT Ax = xT(Ax) = xT ax = ax x及 x Ax =(/ A =(Ax) x =(ax) x- x x两式相减，得(a-)xx = 0.但因为x±0,所以 xx=x,x,=x, →0, →(a-)=0,i1i1即=，由此可得是实数上页回下页
于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T = x x, T = (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T = x x. T = 两式相减，得 ( − )x x = 0. T 但因为x 0, ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 = = = = n i i n i i i T 所以 x x x x x
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理1的意义由于对称矩阵A的特征值a,为实数,所以齐次线性方程组(A- a,E)x =0是实系数方程组,由A-α;E =0知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量页回下页
定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理2设a，2，是对称矩阵A的两个特征值，PiP,是对应的特征向量若, ± 2,则p,与p,正交证明 ,P, = Ap1, 2P2 = Ap2, ± 22: A对称,A= AT,. 2 PT =(αP) =(Ap)= PTAT = PTA于是 2 PT P2 = PT Ap2 = P,T(2P2) = 22 PT P2.(a, - a,)pr Pz = 0.: ± 2, : PP2 = 0. 即p,与p,正交页回下页
, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理3 设 A为n阶对称矩阵入是A的特征方程的1重根,则矩阵 A- 2E 的秩 R(A- αE)= n-r,从而对应特征值入恰有r个线性无关的特征向量定理4设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阵P,使P-lAP= Λ,其中Λ是以A的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵证明设A的互不相等的特征值为,2…,,，它们的重数依次为ri,r2，.,r,(r +r2+..+r=n).根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：回不质
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH对应特征值 a;(i=1,2,.…,s),恰有 r;个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得r；个单位正交的特征向量.由r +r2 ＋.….+r,= n知,这样的特征向量共可得n个由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交故这n个单位特征向量两两正交以它们为列向量构成正交矩阵P，则P-1AP = P-IP△ = △其中对角矩阵Λ的对角元素含r个,….,r，个,,恰是A的n个特征值上页画下质
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：1.．求A的特征值；2. 由(A-2,E)x=0,求出A的特征向量;3．将特征向量正交化：4将特征向量单位化A页国下质
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值;
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例，对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P，使 P-1AP为对角阵2—20(1)A=-2 1 -2,03(2)A =0-20福解(1)第一步求A 的特征值2--20A-E= -2 1- -2=(4--1(+2)= 00-2-得 = 4, 2 =1, =-2.上页下页回
解 − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (4 − )( −1)( + 2) = 0 4, 1, 2. 得 1 = 2 = 3 = − , 0 2 0 2 1 2 2 2 0 (1) − − − − A = = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 (2) A 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 P AP 为对角阵. −1 P (1)第一步 求 A 的特征值
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH第二步 由(A－,E)x=0,求出A的特征向量对 2, = 4,由(A - 4E)x = 0,得2x + 2x2 = 02x +3x2+2x=0解之得基础解系51=22x2 + 4x3 = 0对 2 = 1,由(A-E)x =0,得- x + 2x2 = 022xi +2x3 = 0解之得基础解系 5,=1 2x2 + xs = 02-上页返回下页
第二步 由(A− iE)x = 0,求出A的特征向量 对 1 = 4,由(A− 4E)x = 0,得 + = + + = + = 2 4 0 2 3 2 0 2 2 0 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x 解之得基础解系 . 1 2 2 1 − − = 对 2 = 1,由(A− E)x = 0,得 + = + = − + = 2 0 2 2 0 2 0 2 3 1 3 1 2 x x x x x x 解之得基础解系 . 2 1 2 2 − =