矩阵的初等变换与线性方程组 第三节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、线性方程组有解的判定条件问题：如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩讨论线性方程组 Ax=b的解定理1 n元齐次线性方程组Amxx=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩RA)<n证必要性． 设方程组 Ax =0 有非零解，设R(A)= n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而D,所对应的n个方程只有零解（根据克拉默定理物福回下质
( ) . 1 0 R A n n Am n x = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH这与原方程组有非零解相矛盾即 R(A)< n.R(A)=n 不能成立.充分性。 设 R(A)=r< n,则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行从而知其有n一r个自由未知量任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0 即可得方程组的一个非零解福画页下页
这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理2n元非齐次线性方程组Amxx=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵 B=(A,b)的秩证必要性.设方程组 Ax=b有解，设R(A)< R(B)则的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程01，这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)页回下页
证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b = = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH充分性. 设 R(A)= R(B)设 R(A)= R(B)= r(r ≤ n)则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行把这r行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量其余n一r个作为自由未知量并令n一r个自由未知量全取0即可得方程组的一个解证毕页回下页
并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH小结 R(A)= R(B)= n Ax=b有唯一解R(A)= R(B)<n Ax =b有无穷多解定义：含有个参数的方程组的任一一解，称为线性方程组的通解齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵便可写出其通解：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；正页回下质
小结 R(A)= R(B)= n Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、线性方程组的解法例1求解齐次线性方程组Xi + 2x2 + x, + x4 = 02x + x2 - 2x - 2x4 = 0 Xi-x2 -4x3 -3x4 = 0解对系数矩阵A施行初等行变换1221122r -2rA=21-2 -2-3-6-4r-r-4-3-3-6-4页国下页
例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 - - - = + - - = + + + = x x x x x x x x x x x x 解 - - - = - - 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A - - - - - - 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 二、线性方程组的解法 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r - -
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH5-342r.A3-2013r2 -(-3)0即得与原方程组同解的方程组5= 0.2X3X342 + 2x, + x4 = 0,X3页国下质
0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2 - - r r r 1 2 2 r - r - - 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组 + + = - - = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2xxi =+大由此即得X2 = -2x3(x,x 可任意取值)C令x,=c1,x4=C2，把它写成通常的参数形式55xi = 22c2+2xI34-2X2-2cC2X2== C1+C2313X310X3 = C1,X4(X4 = C2’上页返回下页
= = = - - = + , , , 3 4 2 , 3 5 2 4 2 3 1 2 2 2 1 2 2 x c x c x c c x c c ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得 = - - = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式 . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1 + - - = c c x x x x
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例2求解非齐次线性方程组X - 2x2 + 3x - x4 = 1,3x - x2 + 5x - 3x4 = 2,2x + x2 + 2x3 - 2x4 = 3.解对增广矩阵B进行初等变换(1 -2 3 -1 1) -2r(1 -2 3 -1 1)B=3-15-3 2-r0 5-4￥0-113122-23062114显然，R(A)= 2, R(B)=3, 故方程组无解2国质质
例２ 求解非齐次线性方程组 + + - = - + - = - + - = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换， - - - - - = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 2 1 r r r r - - - - - - - 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 3 2 r - r - - - - 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．