行列式 第七节 克拉默法则 一、克拉默法则 二、重要定理 三、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH非齐次与齐次线性方程组的概念aiix + a12x, +.- + ainxn = ba21Xi +a22X2 +...+ a2nxn = b设线性方程组anixi +an2X2 +..-+amxn = b,若常数项bj,bz,……,b,不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；若常数项br,b,,,b，全为零此时称方程组为齐次线性方程组2回下页
+ + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2 bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2 bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH克拉默法则一、克如果线性方程组a1ix +ai2x, +...+ainx, = ba21xi + a22X2 +... + a2nxn = b2(1)aniXi +an2x2 +..:+amnxn = bnaua12aina21 a22...2n±0的系数行列式不等于零，即D=anaan2nn上页发回下页
一、克拉默法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH那么线性方程组1)有解，并且解是唯一的，解可以表为DD,DDx, =x, :X3二DDDD其中D,是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即ba1 ..:a.,-1al.j+1...ainD,=b.aaan:.an,j-1n,j+1nn上页国下质
. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1)
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH证明用D中第列元素的代数余子式Aj,A2j,A依次乘方程组(1的n个方程,得(ax, +a2x, +...+anx.)A, = b,A)(a2x, + anx, +...+ a2nx.)A2, = b, A,(a.x, +anx, +...+amx.)A., = b,A.在把 n个方程依次相加，得上页回下质
证明 ( ) ( ) ( ) + + + = + + + = + + + = n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组( )的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j Anj 在把 n 个方程依次相加，得
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHn2 j.+(2aA/+(2.Zk=nZbkAkjk=1由代数余子式的性质可知，上式中x.的系数等于D而其余x(ii)的系数均为0；又等式右端为D(2)于是Dx, = D,(j = 1,2,..,n).当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解DDD2D2x.X2X3DDDD上页下页反回
, 1 1 1 1 1 1 = = = = = + + + + n k k k j n n k j k n k j n k k j k j n k k k j b A a A x a A x a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D ( j 1,2, ,n). j = j = . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x (i j)的系数均为0; i . 又等式右端为Dj 于是 (2) 当 D 0 时,方程组 (2) 有唯一的一个解
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH1(1)等价，故由于方程组(2)与方程组D,D,DDXXX3DDDD也是方程组的(1)解上页国下质
由于方程组 (2) 与方程组 (1) 等价, 故 . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = = n = 2 3 2 2 1 1 也是方程组的 (1) 解
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、重要定理定理1如果线性方程组1 的系数行列式 D0,则（1)一定有解，且解是唯一的门定理2如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零2国下质质
二、重要定理 定理1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 . (1) (1) D 0, 定理2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. (1)
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH齐次线性方程组的相关定理aux, +a2x, +..+anx, = 0a2ix +a22x, +..+a2nx, = 0(2)anx +anx, +...+ax, =0定理如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D≠0则齐次线性方程组（2）没有非零解上页回下页
齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 没有非零解. (2) (2)
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理如果齐次线性方程组（2）有非零解，则它的系数行列式必为零系数行列式 D = 0airxi + ai2x2 + ..- +ainxn = 021Xi + a22X2 + .. + a2nxn = 0anx +an2x2 +...+amx, = 0有非零解页国下质
定理 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它 的系数行列式必为零. + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 有非零解. 系数行列式 D = 0