《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3-4 初等矩阵

矩阵的初等变换与线性方程组 第四节 初等矩阵 一、初等矩阵的概念 二、初等矩阵的应用 三、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、初等矩阵的概念矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵三种初等变换对应着三种初等方阵1.对调两行或两列：2.以数k≠0 乘某行或某列：3.以数k乘某行（列）加到另一行（列）上去页回下页

定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 一、初等矩阵的概念       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH1、对调两行或两列对调E中第ii两行，即(r r),得初等方阵←第i行E(i,j)=←第i行上页回下页

对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵 1、对调两行或两列                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH用m阶初等矩阵Em(i,i)左乘A=(aj)mxn，得auaina12←第i行inEm(i,j)A =←第i行Yamlam2mn相当于对矩阵A施行第一种初等行变换把A的第i行与第j行对调(r;r)上页国下页

用m 阶初等矩阵Em (i, j) 左乘 A = (aij)mn，得                       = m m mn i i in j j jn n m a a a a a a a a a a a a E i j A              1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( , )  第 i 行  第 j 行 ( ). i j A i j r r A 把 的第 行与第 行对调  相当于对矩阵 施行第一种初等行变换：

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH类似地，以n阶初等矩阵 E(i,i)右乘矩阵 A,0111a2112nAE,(i,j) =amlamnm相当于对矩阵A施行第一种初等列变换把 A的第i列与第j列对调(c;c,)顶国下质

以 阶初等矩阵 右乘矩阵 ， 类似地， n En (i, j) A               = m mj mi mn j i n j i n n a a a a a a a a a a a a AE i j              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ). i j A i j c c A 把 的第 列与第 列对调  相当于对矩阵 施行第一种初等列变换：

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2、以数k±0乘某行或某列以数k≠0乘单位矩阵的第行(r.×k)，得初等矩阵E(i(k))←第i行E(i(k)) =页国下页

2、以数 k  0 乘某行或某列 ( ( )). 0 ( ) E i k k i ri k 矩阵 以数  乘单位矩阵的第 行  ，得初等                       = 1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH以E(i(k))左乘矩阵A,aila12711Em(i(k)A =kai←第i行kainkai2amam2am相当于以数k乘A的第i行(r;×k)类似地，以E,i(k))右乘 矩阵 A，其结果相当于以数k乘 A的第i列(c,×k)上页回下页

相当于以数 k 乘 A的第 i 行 (ri  k)；                 = m m mn i i in n m a a a ka ka ka a a a E i k A          1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ( ))  第 i 行 类似地， 以 Em (i(k))左乘矩阵A， ( ). ( ( )) k A i c k E i k A i n 相当于以数 乘 的第 列  以 右乘 矩阵 ，其结果

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3、以数k±0乘某行(列)加到另一行列)上去以k乘E的第i行加到第i行上（r+kr,）[或以k 乘 E的第i列加到第j列上(c,+kc,)1k←第行E(ij(k)) =←第行1上页下页回

3、以数k  0乘某行(列)加到另一行(列)上 去 或以 乘 的第 列加到第 列上 ， 以 乘 的第 行加到第 行上 [ ( ) ( ) j i i j k E i j c kc k E j i r kr + +                       = 1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k  第i行  第j行

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH以E(ii(k))左乘矩阵A,a12alain.ain + ka;1ai2 + ka j2ain +a jinEm(j(k))A =ajiaj2ain......2am2amlmn把 A的第j行乘k加到第i行上（r;+kr)上页下页反回

以 Em (ij(k))左乘矩阵A，                       + + + = m m m n j j jn i j i j in jn n m a a a a a a a ka a ka a a a a a E ij k A              1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 ( ( )) ( ). i j 把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 r + kr

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH类似地，以 E,(ii(k)右乘矩阵 A，其结果相当于把 A的第列乘k 加到第 j列上(c;+kc,)AE,(ji(k))ailari + karjaan1azi + ka2ja21a2n2 ami + kamjamlamnamj上页国下页

( ). ( ( )) j i n A i k j c kc E ij k A 把 的第 列乘 加到第 列上 + 类似地，以 右乘矩阵 ，其结果相当于               + + + = m mi mj mj mn i j j n i j j n n a a ka a a a a ka a a a a ka a a AE ij k              1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( ))