《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-2 方阵的特征值与特征向量

相似矩阵及二次型 第二节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH特征值与特征向量的概念一、定义1设A是n阶矩阵，如果数a和n维非零列向量x使关系式Ax = Ax成立，那末，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(A－2E)x=0有非零解的值,即满足方程A－aE0的入都是矩阵A的特征值回顶下质

说明 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A     = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A Ax x A n n x =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3.A-2E=0air -aa12aina22 - 2a21a2n=0amm-aanan2称以a为未知数的一元n次方程A－2E=0为A的特征方程记f(a)=A-aE，它是的n次多项式称其为方阵A的特征多项式上页下页回

3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH4.设n阶方阵A=(a)的特征值为,2,…元,,则有(1) a, + 2 +...+ an = ai1 +a22 +...+am;(2)2,22 .. 2, =A页回下页

( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3-1例1求A二的特征值和特征向量-13解A的特征多项式为3-元-12=(3-) - 1-13-=8-6+ 2=(4-)(2—)所以A的特征值为α1 = 2,α2 = 4.当α,=2时,对应的特征向量应满足(3-2 -1 (x)20-1 3-2八x2)0上页画下页

解例 1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量   − − A = A的特征多项式为  − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 00 1 3 2 3 2 1 2 , 21 1    =   − − − − = xx 当 时 对应的特征向量应满足

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHX1 - x2 = 0,即-x1 + x2 = 0.解得xi= x2，所以对应的特征向量可取为P1当2 = 4时,由3-401-1X,即0153102解得x1=－x2,所以对应的特征向量可取为-1P2 =上页回下页

   − + = − = 0. 0, 1 2 1 2 x x x x 即 , 解得x1 = x2 . 1 1 1       所以对应的特征向量可取为 p = , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2        =            − − − −        =            − − − − = x x x x 即 当 时 由 . 1 1 , 2 1 2       − = = − p 解得 x x 所以对应的特征向量可取为

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH-111例2 求矩阵A=-430 的特征值和特征向量102解A的特征多项式为0-1-1=(2-2)(1-2)A-E=-43-0102-所以A的特征值为i = 2,2 = 3 = 1.当2 = 2时,解方程(A-2E)x = 0.由上页回下页

例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量   −− A = 解 (2 )(1 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 2       = − − − − − − − A− E = A的特征多项式为2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHA-2E=0得基础解系piT2的全部特征值所以kpi(k ± 0)是对应于 i=2当 αz= α3 =1时,解方程(A- E)x = 0.由A-E=1口下质

, 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 2 ~                     − − A − E = , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 所以k p1 k  是对应于1 = 的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A − E =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH得基础解系/Pz =所以k p,(k 0)是对应于 2= =1的全部特征值页回下页

, 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = ( 0) 1 . 所以k p2 k  是对应于 2 =  3 = 的全部特征值

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH-210201,求A的特征值与特征向量例3 设A=-413解-2-100A—2E=2--4１3-= -(a +1)(a - 2) ,令 -(α +1)(-2) =0得A的特征值为2 = -1,2 = 3 = 2.上页回下页

例３ 设 , 4 1 3 0 2 0 2 1 1           − − A = 求A的特征值与特征向量． 解     − − − − − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A E ( 1)( 2) , 2 = −  +  − ( 1)( 2) 0 2 令 −  +  − = 1, 2. 得A的特征值为1 = − 2 = 3 =