《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-1 预备知识——向量的内积

相似矩阵及二次型 第一节 预备知识：向量的内积 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH内积的定义及性质一、P定义1设有n维向量XIX2Vx=V一XYn令 [x,y]= xiyi + x2y2 +...+xnyn称[x,y为向量x与y的内积页国下质

定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1               =               = n n y y y y x x x x     n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、内积的定义及性质

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH说明1 n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义2 内积是向量的一种运算,如果x，y都是列向量，内积可用矩阵记号表示为：[x, y] = xT y.页国下页

说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n  4)  ,  . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH内积的运算性质(其中x,y,z为n维向量,a为实数)(1)[x,y] =[y,x];(2) [ax,y]= a[x,y](3)[x + y,z] =[x,z]+[y,z];(4)[x,x]≥0,且当x ± 0时有[x,x] > 0.上页下质回

内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y =  y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x]  0,且当x  0时有[x, x]  0

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、向量的长度及性质2令定义2x= ~[x,x] = x + x +...+x?称|x为n维向量x的长度(或范数）向量的长度具有下述性质：1.非负性当x±0时,x>0;当x=0时，=0;2.齐次性[2x=2x|;3.三角不等式x+y≤x+y上页下页回

定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 ,  , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x  0时, x  0;当x = 0时, x = 0; x =  x ; x + y  x + y . 二、向量的长度及性质

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH单位向量及n维向量间的夹角()当x=1时,称x为单位向量[x,y](2)当x±0,y± 0时,0 = arccosxlly称为n维向量x与y的夹角例 求向量α = (1,2,2,3)与β = (3,1,5,1)的夹角N218a·B：coso解23~2.6αB元:.04上页下质回

单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解       cos = 2 2 3 2 6 18 =  = . 4   = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( )   x y x y x y , 2 当  0,  0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、正交向量组的概念及求法1正交的概念当x，以=0时称向量x与正交由定义知若x=0则x与任何向量都正交2正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组页回下页

１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH3正交向量组的性质定理1若n维向量α.α.….,α是一组两两正交的非零向量，则αα2..…α线性无关证明设有,,,,使α, + 2,α, + ..+ α, = 0以a左乘上式两端得 αα,=0由α ± 0 = α, α, =[αi~ ± 0, 从而有, =0 .同理可得, =.….= ,=0.故α1,α2,……,α,线性无关页回下页

0 0, 2 1   1 1 = 1  T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1  2   r线性无关 证明 设有 1 ,2 ,  ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r         1 2 1 2 1

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH4向量空间的正交基若α,α2,…,α,是向量空间V的一个基,且αi,α2,…,α,是两两正交的非零向量组,则称αj,α2,……,α,是向量空间V的正交基例1已知三维向量空间中两个向量1111-2αi =α2 =1正交，试求α,使α,,α,,α,构成三维空间的一个正交基.页回下质

例1 已知三维向量空间中两个向量           = −           = 1 2 1 , 1 1 1 1  2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基.  3 1  2  3 , , ４ 向量空间的正交基 . , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 向量空间 的正交基 是两两正交的非零向量组 则 称 是 若 是向量空间 的一个基 且 V V r r r            

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH解 设α =(xi,x2,x) ±0,且分别与αj,α,正交则有[α1,α3] =[α2,α3] = 0[α1,α3 = x + x, + x3 = 0即[α2,α3I = x, - 2x2 + x3 = 0解之得Xi = -x3, x2 = 0.8xi0若令 x, =1,则有α3 = x2 /=X3)由上可知α,α,α,构成三维空间的一个正交基上页回下页

即    = − + = = + + = [ , ] 2 0 [ , ] 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x     解之得 , 0. x1 = −x3 x2 = 若令 x3 = 1,则有           − =           = 1 0 1 3 2 1 3 x x x  由上可知 1  2  3 构成三维空间的一个正交基. , , 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0 解 ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3  且分别与1  2正交 T x x x