代数几何讨论班备用稿 曲面叶层简明讲义 华东师范大学数学系 2016
前言本讲义是在Brul5|及其他参考文献基础上整理而成，仅供本专业学生在相关讨论班学习中参考由于撰稿时间仓促且本人理解所限，文中尚有不少错误.因此诚愿希望读者能在本讲义的使用过程中及时向本人指出错误并提出宝贵建议陆俊2016年8月30日于韩国高等研究所
目录目录第一章 基本概念71.1叶状结构的定义，1.2叶状结构的经典例子21.3不变曲线6第二章叶状结构的奇点102.1奇点重数.102.2奇点解消112.317相切指标2.418Gomez-Mont-Seade-Verjovsky 指标2.5变分指标212.622Camacho-Sad指标2.723Baum-Bott指标2.8分界线定理252.9非多临界点272.10绕异性.29第三章31有理首次积分3.1Darboux定理313.2对数叶状结构与有理首次积分32第四章叶状结构的双有理几何354.1相对极小模型与极小模型。354.2没有极小模型的叶状结构.364.338Miyaoka有理性判则4.440Mcquillan定理4.5小平维数44第五章46叶状结构的分类研究5.1全纯向量场诱导的叶状结构465.2小平维数为0的叶状结构.485.3小平维数为1的叶状结构。495.4正则叶状结构.515.5一般型叶状结构51-第六章叶状结构的形变.52本章习题5359参考文献-ii-
第一章基本概念第一章基本概念在这一章中，我们将讨论微分方程中的叶化结构与向量丛的关系，以下如无特别声明，X均假设为光滑复射影曲面，当然，实际上，许多概念和结论并不需要对X有如此强的条件，具体内容可以参看[Brul5]1.1、叶状结构的定义设Tx是X的全纯切丛，2x是余切丛，L-1Tx是Tx的极大子线丛，8EHo(X,TxL)是全纯截面：我们将s称为X上的叶状结构（Foliation)，通常记为F.L-1称为叶状结构F的切丛（Tangent bundle)，记为TF.L称为F的余切丛（Cotangent bundle)，记为Ty．今后它也经常被称为F的典范丛（Canonicalbundle)，记作KF叶状结构也可以从局部上来描述，考虑X的仿射开覆盖[Ua)aEI，U的局部坐标为(aa,ya)，8α=slu。是U上的全纯向量场（只有孤立零点）.8α在局部上表示为aaA(to,ya)ClaSa+B(ra, ya)yaaxo这里la是TY的局部基.有时我们用aa+B(ra, a)ya(1-1)Va = A(ra: a) 2ra简单地代替sa.此时，（ua}aeI在交集UnU上满足转换关系Va=ga3Up,这里gag是线丛T的转移函数（满足lα=9alp)由于Ox是TxL的极大子线丛（由s诱导），所以s的零点集Z(s）是零维子概型.我们通常记为Sing(F)，称为F的奇点集（Singular set)从局部上看，即Sing(F)nUa = Z(sa).奇点集以外的点称为F的正则点(Regularpoint).一个叶状结构F给出了正合列0TTxIz()(NF)0这里Iz(s)是Sing(F）上的理想层，N是线丛，称为F的法丛(Normalbundle）Ny称为F的余法丛，对上述正合列做对偶，即得(1-2)0NY￥2xIz(KF)0.由陈数公式，我们有KX=KFNY(1-3)-1-
第一章基本概念通过上面的正合列，F也可以对偶地理解为某个1-形式截面W = (wa ealael E H'(X,2x NF),这里e是N的局部基，(1-4)Wo=B(ra,Ya)dra-A(ra,Ya)dya注1.1.1设Pa3)是N的转移函数（ea=geg).我们可以把(walaeI看成N的一组基.NY视为2x的子层-本节最后，我们讨论同一个曲面上具有两个不同叶状结构的情形：设X是光滑代数曲面，F,9是两个不同的叶状结构.设Wa=Aadaa+Badya,wa=Aadaa+Badyo分别是F,9对应的1-形式.我们可以定义有效除子D =AαB%-ABα=0l.D被称为相切除子（Tangencydivisor)，它有明确的几何意义：对pED,F,g在p处不是横截交，根据引理？？及其证明，实际上我们有命题1.1.1（[Bru97b],引理4)Ox(D)=NrKg=NgKF-注1.1.2D实际上可以直接从引理？？得到1.2叶状结构的经典例子下面两个例子是最常见的叶状结构例1.2.1 (纤维化)设f：X→B是代数曲面纤维化.令D(f) :=(F - Fred),F这里F跑遍所有奇异纤维，Fred是F的既约部分，我们有叶状结构KF = Kx/BOx(-D(f),NF = f*TB Ox(-D(f))它来自于微分场afdr+ afddf=ardda+%dy为了让奇点集是零维的，还需要除以某个公共因子，这个公共因子对应了除子D(F).特别地，当f是椭圆纤维化时，KF=f*(fwx/B)Ox((Fred -Fprime)-这里Fprime=F，m是F中分支重数的最大公因子.- 2 -
第一章基本概念例1.2.2（射影平面上的叶状结构）设F是P2上的叶状结构.考虑标准投影元 : C3 _ [0) → IP2, (Xo, X1, X2) → [Xo, X1, X2] = (1, r1, r2)那么F对应的微分场拉回到C3-{0]上，可写为2w - A;(Xo, Xi, X2)dXi,i=0这里A，都是v次齐次多项式，没有公共因子且满足亡X,A,=0.我们定义degw=V.F对应i=0的微分场在仿射坐标卡上可写为wo := Ai(1,1,2)d1 + A2(1,1, 2)d2wi := Ao(yo, 1, y2)dyo + A2(yo, 1, y2)dy2,w2:= Ao(z0,z1,1)dz0 +Ai(20,z1,1)dz1计算转移函数wj1因此NF=Orpa2(u+1)，从而KF=Op2(u-2).我们定义F的次数(Degree)为degF：=-1w在仿射坐标卡上也可以写成如下形式（参见[GMOB89])ade H(X,Tx(d - 1),(1-5)(P(a,y) +rR(a, y)) +(Q(r,y) +yR(a,y))aOy这里d=degF，R是d次齐次多项式，PQ是次数不超过d的多项式.当degF=0时，通过选取合适的坐标，F可以写为标准形式aaor+yoy我们可以直接将式1-5)延拓到无穷远直线Lα上，即考虑坐标变换1ry=3心于是F在无穷远直线U=0附近表达为(o() - up()-(u+p()+ R(1,n)1类似地，我们也可以给出有理曲面上的叶状结构表达式（习题6.21).■此外，我们可以通过对曲面光滑点的爆发，从已知的叶状结构诱导出新的叶状结构，这是研究叶状结构的一种常用方法.例1.2.3(通过爆发得到的叶状结构）设pEX，α：(X,E）→(X,p)是关于p点的爆发，E是例外曲线.设F是X上的叶状结构.我们希望这个结构能够搬到X上考虑拉回a*w：={α*wa}ael.但此时a*w的零点集可能包含E.不妨设l(p)=ordeo*w.从上述拉回中去掉1(p)E后，就可构造出×上的叶状结构：0EH (X,Qx0*NF8Ox(-I(p)E))-3-
第一章基本概念此时(1-6)N=*NFOx(-I(p)E), K=*KFOx((1-l(p))E),因此，如果从切丛的角度看，相当于从拉回*=[α*uα)αel中去除(1(p)-1)E得到今后为了方便，我们也常常将于记为α*F.■例1.2.4(Riccati叶状结构）设：X一→C是一个直纹面（未必相对极小)，F是X上的叶状结构，使得F与β的一般纤维横截相交.我们称这样的F为Riccati叶状结构.有时也说F关于是Riccati的，或适配于F由F的横截性，F限制在一般纤维F上，自然诱导了F的法丛OF(F)，局部上看，就是把[ua}理解成法丛的基（横截性保证了基的非退化性)，它们满足关系α=9α3Ug.因此F的法丛同构于TFF.这就推出TrF=0,即KF=0.因而NF=2不妨假设是相对极小的（即几何直纹面）.设Fo是的一条纤维，它不是F-横截的.考虑F的管状邻域△×Pl,这里△是圆盘，F是其圆心的拉回，（z,w）是局部坐标.设P=(O,O)是F的奇点后面将证明F可在△×Pl上写为w = (a(z)w2 +b(z)w +zc(z))dz +zd(z)dw,(1-7)这里a,b,c,d皆为△上的全纯函数.F在w=o处的表达式可以由坐标变换w=1得到，即w= (a(z)+b(z)u+zc(z)u2)dz-zd(z)du-（见例2.4.3的讨论.）例1.2.5（流叶状结构）设β：X→C是椭圆纤维化（未必相对极小)，F是X上的叶状结构，使得F与β的一般纤维横截相交我们称这样的F为端流叶状结构（TurbulentFoliation)与Riccati叶状结构类似的讨论，此时KF=0.反过来，若一个叶状结构g满足KgF=0,则g要么是端流叶状结构，要么与9一致.-例1.2.6(非常特殊叶状结构[Bru15]）考虑X=P2上的群作用G : [X,Y, Z] → [Z, X,Y]以及线性叶状结构Ca0=+这里（a,9)=（）是仿射坐标（C可以通过齐次化延拓到整个平面上).G在C上的诱导作用为aaGu= A2 + (A2 - A1)u%如果C能保持ΛGu=0处处成立，我们就说C是G-不变的.由直接计算可知，G-不变的充要条件是入1/入2=(1±V-3).因此G不变的叶状结构L即为010(1±V-3)%"+2实际上这两种叶状结构只相差一个坐标变换（,y）一→(y,a).从这个角度说，它是唯一的现在考虑商簇Yo=P2/G.G在IP2上有三个不动点(-1 + V-3), (1 -V-3)], 92 = [1, (-1 - V-3), (1 + V-3)], q3 =[1, 1,1].1 = [1,-4-
第一章基本概念它们对应了Yo上的三个A2型有理奇点Q1,Q2,Q3.考虑它们的极小解消p：Y→Yo，例外集p-1(Q）=D;+E是两条（-2)-曲线组成的链。另一方面，C有三个奇点P1 =[0,0,1],P2=[1,0,0], P3=[0,1,0]它们都映到Y上一点P.过p中两点的直线共有三条，它们也都映到Y中的曲线C.C2=3且有唯一结点PC自然诱导了Yo上的叶状结构Fo，拉回到Y上，则得叶状结构F，称之为非常特殊叶状结构（Veryspecialfoliation)。根据[Per05]的计算结果，非常叶状结构双有理于平面上的如下二次叶状结构w =Xi(XoX1+XX2-2X2)dXo +Xo(2XiX2-X2-XoX)dXi+3XiXo(X2-X1)dX2. (1-8)群作用诱导的三次覆盖双有理于如下三次有理映射Φ: P2 --+ P2,[L, LoLiL2, L2]这里L;=Xo+>X1+入-X2,^=-1+V-3例1.2.7(Kronecker叶状结构）设X=C2/^是Abel曲面.此时Tx=2xOxOx因此存在两个整体的全纯切向量场U1，U2，它们处处线性无关.任何整体全纯切向量场都可以写成c1u1+C22（c;EC).这样的叶状结构也可以看成由C2上具有相同斜率的直线诱导（取适当的U1,2可使=）当0是有理数时，这些直线在X上的像是椭圆曲线，因而F由椭圆纤维丛诱导，当θ不是有理数时，这些直线的投影像不是X上的紧曲线，而且在X中是稠密的.此.时F被称为Kronecker叶状结构，例1.2.8(Lins Neto叶状结构[Mov15])设F（>EPl）是P2上的叶状结构，由如下微分场得到w)=(X-X2)(x-XiX2)dXo+(2-X)(x?-XoX2)dXi+(x-X)(ax2-XoXi)dXo■这是4次叶状结构例1.2.9（Jouanolou叶状结构[MoVio9]）设F是P2上由如下微分场w=(XiXg-X2+1)dXo+(X2Xd-Xg)dXi+(XoX2-X*)dX2生成的d次叶状结构.考虑循环群G=gkk=0.1.....d2+d)（这里9是d2+d+1次本原单位根）在P2上的群作用g : P2 P2, [Xo, Xi, X2] -→[Xo,gd+1X1,gX2]这个群作用下的不动点恰好是p1=[1,0,0],p2=[0,1,0],p3=[0,0,1]因为g*w=g+1w,所以F在G作用下不变，它的奇点集是Sing(F) = {[1, g", g-dk]k = 0, .., d2 + d].1G可迁地作用在该奇点集上-5-
第一章基本概念1.3不变曲线定义1.3.1设F是叶状结构，C是不可约曲线.如果对任一点PEC,F在P处的向量恰好与C相切，我们就称C是F-不变的(F-invariant).F在一点p处的分界线(Separatrix）是指p的某小邻域内的全纯定义的不可约曲线C（允许奇异)，使得C经过p且是F-不变的若有无数条分界线通过p，我们就称p是多临界点(Dicritical singularity).利用局部表示（1-1）和（1-4)，我们也可以给出F_不变曲线的其他描述命题1.3.1设是不可约曲线，以下条件彼此等价：(1)C是F不变的.(2)设 fα=0 是 C 在 U。上的局部方程,它满足 fa/ Ua(fα).(3）fα是微分方程wα=0的解.(4）存在全纯函数ga,ha及全纯1-形式nα，满足gcd(ha,fa）=gcd(gα,fa）=1以及(1-9)gawa=hadfa+ fala.(5）df^wa=faa，这里是全纯2-形式证明(1)一→2)我们只需要证明，对一般点pEC,都有of1af+ B(p)= 0.A(p)aralayalp设C的p=(0,0)处的局部参数方程Ta=ta(t),Ya=ya(t)于是C在p=(rα(t),ya(t)处的切方向为(r(t),ya(t).因此(1-10)A/c%(t) = B/yc(t)再结合0= (a(0(0) =(0%()+(0%(.(1-11)(taoya即得所需.(2）一→(3）此时已知afafA(aa(t), Ya(t))(t)+B(ra(t), ya(t)(t) 三 0.(1-12)Oaoaya结合式(1-11)可得式(1-10)由此推出dyadra=0A(ra(t),ya(t)(1-13)B(ra(t),Ya(t))dtdt即f是微分方程wα=0的解.-6-
第一章基本概念(3)→ (4)设Aa+BaWafa此时已知式(1-13)成立，因而结合式（1-11)可知式（1-12)成立，即wa是全纯的。令[ ga = ua - kal.ha=-UaAa-kaBana=wa(uadaa+kadya),这里ua,ka是全纯函数取适当的ua,ka，可使gcd(ha,fa）=gcd(ga,fa）=1.(4)→(5)此时dfa^wa=fag.注意到左边是全纯的，gcd(fa,ga）=1,因而ia：=e是全纯2-形式.(5) → (1)对 p= (0, 0) C, w(p) ^dflp= f(p)= 0, 因此 B(p)/器l,= -A(p)/lp, 由■式(1-11)，可知C在p=(0,0)处的切向量(a(0),y(0))与A是+B%方向一致，例1.3.1(1)w=ydr-ardy（相应地，u=r+y）在p=(0,0)处的分界线有无数条，它们定义为f(a,y)=y-入r=o(Pl).此时(f)=f.(2)w=2ydr-3rdy（相应地，u=3a量+2y最）在p=（0,0）处也有无数条分界线，它们定义为 f(α,y):= a?-入y3 = 0 (>E Pl). 此时 (f) = 6f.(3)w=nyda+mady（n,m是正整数）仅有两条分界线过p=(0,0)，即r=0及y=0..例1.3.2在例1.2.2中，无穷远直线Lo=[Xo=0)是F-不变当且仅当R=0.例1.3.3设m,n是正整数.考虑1次平面叶状结构F：-(n+m)XiX2dXo+nXoX2dXi+mXoXidX2=0.所有的F-不变曲线可表为Xrxm-axn+m=o,AePl.其中包含三条F-不变的直线X,=0（i=0,1,2)例1.3.4（非常特殊叶状结构的不变曲线）在例1.2.6的记号下，DE，和C都是F-不变曲线.除此之外，没有其他F-不变曲线（因为C仅有三条直线是F-不变的).此外，P是F在C上唯一的奇点，如果我们采用表达式（1-8)，那么F在P2上的不变曲线仅有直线X=0与Z=0,以及三次曲线F=0,这里F:=XZ2+X?Z+y3-3XYZ.-由计算可知，在仿射坐标下，w^df=f(6-3y)da^dy，这里f(r,y)=F(r,y,1)例1.3.5（叶状结构的拉回）设F是X上的叶状结构，π：Y一→X是一般有限态射.设w是F对应的微分场，那么元*给出了Y上的叶状结构9，通常记为元*F，现在我们分析元*F的典范丛和法丛，设C是分歧轨迹，我们取一般点PEC.考虑p附近的小邻域U，不妨设C的局部方程为=0.-7-