第五章曲面的复几何前一章里，我们介绍了几种上同调.本章我们将引入Hermite度量并讨论黎曼曲面及全纯线丛的几何性质，内容包括线丛上第一陈类，Hodge定理及Serre对偶定理和消没定理，并给出Riemann-Roch公式的另外一个证明$5.1Hermite度量首先回顾一下Hermite内积的概念.设V为复线性空间，映射<>：V×V-C如果满足条件(1)(Ai +μU2,w)=X(Ui,w)+μp，并且任给全纯切丛的两个光滑截面Xi,X2,M上的函数h(X1,X2),P-(Xi(p),X2(p)>p为光滑函数，则称h为M(或Th(M))上的一个Hermite度量设h为Hermite度量，U为任意局部坐标邻域，坐标函数为=a+V-Iya记ha=h(，）则ha为Ua上正的光滑函数，在Uα上我们把h写为h=hadz@dza.(5.1)如果向量场X,Y分别有局部表示X=aa，Y=ba，则h(X,Y）=aahaba.特别地，如果UanU≠,则在UanU上，有aahg=h(azgOzpozaazaa= h(ozp 0 0zp 0zaozap.ha.(5.2)laze反之，如果存在一族正的光滑函数（h。）满足条件（5.2)，则利用（5.1）就定义了M上一个Hermite度量.我们把（ha）称为Hermite度量h的局部表示给定Hermite度量h及其局部表示，我们在U上定义（1,1）形式如下2a=Vl,hadzadza=hadaAdya2155
第五章 曲面的复几何 前一章里, 我们介绍了几种上同调. 本章我们将引入 Hermite 度量并讨论黎曼 曲面及全纯线丛的几何性质, 内容包括线丛上第一陈类, Hodge 定理及 Serre 对偶 定理和消没定理, 并给出 Riemann-Roch 公式的另外一个证明. §5.1 Hermite 度量 首先回顾一下 Hermite 内积的概念. 设 V 为复线性空间, 映射 x, y : V ˆV Ñ C 如果满足条件 p1q xλv1 ` µv2, wy “ λxv1, wy ` µxv2, wy, @ λ, µ P C, v1, v2, w P V ; p2q xv, wy “ xw, vy; p3q xv, vy ě 0, 等号成立当且仅当 v “ 0. 则称之为 V 上的一个 Hermite 内积. 此时, 在 V 的对偶空间 V ˚ 上有自然诱导的 Hermite 内积. 定义 5.1.1. 设 M 为黎曼曲面, ThpMq 为其全纯切丛. 如果在每个全纯切空 间 TphM 上都指定一个 Hermite 内积 hppq “ x, yp, 并且任给全纯切丛的两个光滑 截面 X1, X2, M 上的函数 hpX1, X2q, p ÞÑ xX1ppq, X2ppqyp 为光滑函数, 则称 h 为 M(或 ThpMq) 上的一个 Hermite 度量. 设 h 为 Hermite 度量, Uα 为任意局部坐标邻域, 坐标函数为 zα “ xα` ? ´1 yα. 记 hα “ hp B Bzα , B Bzα q 则 hα 为 Uα 上正的光滑函数, 在 Uα 上我们把 h 写为 h “ hαdzα b dz¯α. (5.1) 如果向量场 X, Y 分别有局部表示 X “ aα B Bzα , Y “ bα B Bzα , 则 hpX, Y q “ aαhα ¯bα. 特别地, 如果 Uα X Uβ ‰ H, 则在 Uα X Uβ 上, 有 hβ “ hp B Bzβ , B Bzβ q “ hp Bzα Bzβ B Bzα , Bzα Bzβ B Bzα q “ |Bzα Bzβ | 2 ¨ hα. (5.2) 反之, 如果存在一族正的光滑函数 thαu 满足条件 (5.2), 则利用 (5.1) 就定义了 M 上一个 Hermite 度量. 我们把 thαu 称为 Hermite 度量 h 的局部表示. 给定 Hermite 度量 h 及其局部表示, 我们在 Uα 上定义 p1, 1q 形式如下 Ωα “ ? ´1 2 hαdzα ^ dz¯α “ hαdxα ^ dyα. 155
第五章曲面的复几何156由（5.2）易见，在UanU3上2a=2,因此2）定义了M上一个整体（1,1)形式，记为，这是一个处处非零的实的2形式，称为M关于度量h的体积（面积)形式.此时Vol(M,h)=Jr>0,称为M关于度量h的体积(面积)下面我们来考虑另一个重要的（1,1）形式.在U上令α=aalogha：在U。nUg上，利用（5.2）得0g=0a1oghg=81og(l%12.ha)aza + 0alog OzpOza= 0alog ha + 0olog azp=alogha这说明(e。也定义了M上一个整体的(1,1)形式，记为,称为M关于度量h的曲率形式.因为体积形式处处非零，故e可表示为K=52V-1其中K为M上的实值光滑函数.称为M关于度量h的Gauss曲率，在U。上可写为22210oghaK=-haazaza通过单位分解和局部表示我们容易知道，黎曼曲面上总是存在许多的Hermite度量.令人惊奇的是，对于紧致黎曼曲面，任给一个Hermite度量，我们总有如下积分公式定理5.1.1（Gauss-Bonnet).设h为紧致黎曼曲面M上任一Hermite度量，则1( Kn=x(M).2元证明.在M上任取非零亚纯微分w，记w的零点和极点全体为《pi).在局部坐标邻域Uα内，w有局部表示w=fadza.当UanUの时，fo=fa，因此[fe[2 = Ifa]2 a2由（5.2）及上式得Ifa12h=1=1fa12h-1.这说明存在M-(pi)上定义的光滑函数f，使得在每个U上均有Ifa?= f.ha(5.3)
156 第五章 曲面的复几何 由 (5.2) 易见, 在 Uα X Uβ 上 Ωα “ Ωβ, 因此 tΩαu 定义了 M 上一个整体 p1, 1q 形 式, 记为 Ω, 这是一个处处非零的实的 2 形式, 称为 M 关于度量 h 的体积 (面积) 形式. 此时 VolpM, hq “ ş M Ω ą 0, 称为 M 关于度量 h 的体积 (面积). 下面我们来考虑另一个重要的 p1, 1q 形式. 在 Uα 上令 Θα “ ¯BB log hα. 在 Uα X Uβ 上, 利用 (5.2) 得 Θβ “ ¯BB log hβ “ ¯BB logp|Bzα Bzβ | 2 ¨ hαq “ ¯BB log hα ` ¯BB log Bzα Bzβ ` ¯BB log Bzα Bzβ “ ¯BB log hα. 这说明 tΘαu 也定义了 M 上一个整体的 p1, 1q 形式, 记为 Θ, 称为 M 关于度量 h 的曲率形式. 因为体积形式处处非零, 故 Θ 可表示为 Θ “ K ? ´1 Ω. 其中 K 为 M 上的实值光滑函数, 称为 M 关于度量 h 的 Gauss 曲率, 在 Uα 上可 写为 K “ ´ 2 hα B 2 log hα BzαBz¯α . 通过单位分解和局部表示我们容易知道, 黎曼曲面上总是存在许多的 Hermite 度 量. 令人惊奇的是, 对于紧致黎曼曲面, 任给一个 Hermite 度量, 我们总有如下积分 公式 定理 5.1.1 (Gauss-Bonnet). 设 h 为紧致黎曼曲面 M 上任一 Hermite 度量, 则 1 2π ż M KΩ “ χpMq. 证明. 在 M 上任取非零亚纯微分 ω, 记 ω 的零点和极点全体为 tpiu. 在局部 坐标邻域 Uα 内, ω 有局部表示 ω “ fαdzα. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, fβ “ fα ¨ Bzα Bzβ , 因此 |fβ| 2 “ |fα| 2 ¨ |Bzα Bzβ | 2 . 由 (5.2) 及上式得 |fβ| 2h ´1 β “ |fα| 2h ´1 α . 这说明存在 M ´ tpiu 上定义的光滑函数 f, 使得在每个 Uα 上均有 |fα| 2 “ f ¨ hα. (5.3)
$5.1Hermite度量157现在我们在每个点pi处选取一个坐标圆盘Di，Φi：D;→C为坐标映射，Φi(pi）=0,;(D)=D.我们可以假设这些坐标圆盘互不相交.对0<r<1，令D;(r)= (pe D;/b;(p)/ <r)我们有V-C1eK2=2元JM2元JMV-1eJ-()V-1= limaalogha02元JM-uD:(r)V-1= lim(aa log lfa - aalog f)102元JM-uDi(r)V-1-aalog f o2元JM-UD:(r)V-1= lim-dalog f2元r0JM-D:(r)V-1-2lmalogf2元JaD:(r)V-1Zlima(log fi + log f: - log hi)2元0JaD(r)V-1-Z limalog fi.2元0JaD:(r)其中，w在D,中的局部表示为w=fidzi，h在D,中的局部表示为h=h;dzi?dzi.亚纯函数fi在D;中可以表示为fi=zn·gi，其中gi为pi附近处处非零的全纯函数.此时limalog fi = limalogzn-2元V-Inz0JaD:(r)0JaD:(r)这说明1K2=V-12元V-1ni = -ni = -d(w) = 2- 2g = x(M).2元起2元i口其中9为M的亏格设Φ：M→N为黎曼曲面之间非退化的全纯映射.如果h为N上的Hermite度量，则在M上可以如下定义一个Hermite度量*h：0*h(X,Y)=h(ΦX,0Y)
§5.1 Hermite 度量 157 现在我们在每个点 pi 处选取一个坐标圆盘 Di , ϕi : Di Ñ C 为坐标映射, ϕippiq “ 0, ϕipDiq “ D. 我们可以假设这些坐标圆盘互不相交. 对 0 ă r ă 1, 令 Diprq “ tp P Di ˇ ˇ |ϕippq| ă ru. 我们有 1 2π ż M KΩ “ ? ´1 2π ż M Θ “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq Θ “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq ¯BB log hα “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq p ¯BB log |fα| 2 ´ ¯BB log fq “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq ´¯BB log f “ limrÑ0 ? ´1 2π ż M´Yi Diprq ´dB log f “ ÿ i limrÑ0 ? ´1 2π ż BDiprq B log f “ ÿ i limrÑ0 ? ´1 2π ż BDiprq Bplog fi ` log ¯fi ´ log hiq “ ÿ i limrÑ0 ? ´1 2π ż BDiprq B log fi . 其中, ω 在 Di 中的局部表示为 ω “ fidzi , h 在 Di 中的局部表示为 h “ hidzi b dz¯i . 亚纯函数 fi 在 Di 中可以表示为 fi “ z ni i ¨ gi , 其中 gi 为 pi 附近处处非零的全纯 函数. 此时 limrÑ0 ż BDiprq B log fi “ limrÑ0 ż BDiprq B log z ni i “ 2π ? ´1 ni . 这说明 1 2π ż M KΩ “ ÿ i ? ´1 2π 2π ? ´1 ni “ ´ÿ i ni “ ´dppωqq “ 2 ´ 2g “ χpMq. 其中 g 为 M 的亏格. 设 ϕ : M Ñ N 为黎曼曲面之间非退化的全纯映射, 如果 h 为 N 上的 Hermite 度量, 则在 M 上可以如下定义一个 Hermite 度量 ϕ ˚h: ϕ ˚hpX, Y q “ hpϕ˚X, ϕ˚Y q.
158第五章曲面的复几何其中中为切映射，Φ*h称为拉回度量.如果h为M上Hermite度量，Φ为双全纯映射，且h'=*h，则称为全纯等距.黎曼曲面之间的全纯复迭映射是处处非退化的，因此可以把黎曼曲面上的Hermite度量通过复迭映射拉回到复迭空间上；反之，给定复迭空间上的一个Hermite度量，如果复迭变换都是该度量的全纯等距则这个度量可以“下降”为曲面上的Hermite度量，即此度量拉回后就是复送空间上给定的Hermite度量.给定黎曼曲面M上的Hermite度量h，在每一点pEM的切空间T,M上都有一个诱导内积9p:9p可如下定义：设=+V-Iα为p附近的局部复坐标，h有局部表示h=hadza?dz.则规定aaaaaa)=0, gp(raOra)= ha, 9p(ya Oya") = hagparaCya由（5.2）易见这样定义的内积9，和局部坐标的选取无关，在坐标邻域内我们可以记为ga=ha(dradra+dyadya)9a实际上组成M上的一个二阶正定对称张量g，称为由Hermite度量h诱导的Riemann度量。我们也可以表示为g=Reh(h的实部)。有了Riemann度量，我们可以定义曲线的长度.设g：I→M为黎曼曲面M上的连续可微曲线，令Vg(o,0)ds,L(o) =称为α的长度，其中是α的切向量场.任给P,qeM，令d(p,q)=inf(L(o)α为连接p和q的曲线)称为p,q的距离.不难证明，这样定义的映射d()：M×M→R+的确为M上的一个距离，即(1)d(p,g)≥0,等号成立当且仅当p=q(2) d(p,q) = d(q,p);(3) d(p,q) ≤ d(p,r) + d(r,q), V r E M如果为全纯等距,则显然d(p,q)=d((p),d(g)).如果是连接p,q的曲线，且L(o)=d(p,q),，则称α为连接p,q的最短测地线.如果光滑曲线在其每一点附近均为最短测地线，则称之为测地线如果作为距离空间（M,d）是完备的，则称度量g或h为完备度量.度量的完备性有一些等价的描述，例如，任意固定一点p，对p>0，令B(p) = (qE M Id(q,p)<p)
158 第五章 曲面的复几何 其中 ϕ˚ 为切映射. ϕ ˚h 称为拉回度量. 如果 h 1 为 M 上 Hermite 度量, ϕ 为双全 纯映射, 且 h 1 “ ϕ ˚h, 则称 ϕ 为全纯等距. 黎曼曲面之间的全纯复迭映射是处处非 退化的, 因此可以把黎曼曲面上的 Hermite 度量通过复迭映射拉回到复迭空间上; 反之, 给定复迭空间上的一个 Hermite 度量, 如果复迭变换都是该度量的全纯等距, 则这个度量可以 “下降” 为曲面上的 Hermite 度量, 即此度量拉回后就是复迭空间 上给定的 Hermite 度量. 给定黎曼曲面 M 上的 Hermite 度量 h, 在每一点 p P M 的切空间 TpM 上都 有一个诱导内积 gp. gp 可如下定义: 设 zα “ xα ` ? ´1 yα 为 p 附近的局部复坐 标, h 有局部表示 h “ hαdzα b dz¯α. 则规定 gpp B Bxα , B Byα q “ 0, gpp B Bxα , B Bxα q “ hα, gpp B Byα , B Byα q “ hα. 由 (5.2) 易见这样定义的内积 gp 和局部坐标的选取无关, 在坐标邻域内我们可以 记为 gα “ hαpdxα b dxα ` dyα b dyαq. gα 实际上组成 M 上的一个二阶正定对称张量 g, 称为由 Hermite 度量 h 诱导的 Riemann 度量. 我们也可以表示为 g “ Reh (h 的实部). 有了 Riemann 度量, 我们可以定义曲线的长度. 设 σ : I Ñ M 为黎曼曲面 M 上的连续可微曲线, 令 Lpσq “ ż I a gpσ, ˙ σ˙qds, 称为 σ 的长度, 其中 σ˙ 是 σ 的切向量场. 任给 p, q P M, 令 dpp, qq “ inftLpσq | σ 为连接 p 和 q 的曲线u, 称为 p, q 的距离. 不难证明, 这样定义的映射 dp¨, ¨q : M ˆ M Ñ R ` 的确为 M 上的 一个距离, 即 p1q dpp, qq ě 0, 等号成立当且仅当 p “ q; p2q dpp, qq “ dpq, pq; p3q dpp, qq ď dpp, rq ` dpr, qq, @ r P M. 如果 ϕ 为全纯等距, 则显然 dpp, qq “ dpϕppq, ϕpqqq. 如果 σ 是连接 p, q 的曲线, 且 Lpσq “ dpp, qq, 则称 σ 为连接 p, q 的最短测地线. 如果光滑曲线在其每一点附近均 为最短测地线, 则称之为测地线. 如果作为距离空间 pM, dq 是完备的, 则称度量 g 或 h 为完备度量. 度量的完 备性有一些等价的描述, 例如, 任意固定一点 p, 对 ρ ą 0, 令 Bρppq “ tq P M | dpq, pq ă ρu
$5.1Hermite度量159称为以p为半径,p为中心的测地球，其闭包B(p)=(gEM|d(q,p)≤p)称为闭测地球.度量是完备的当且仅当每一个闭测地球均为紧致集合，显然，紧致黎曼曲面上的度量都是完备的.下面我们来研究几个具体的例子例5.1.1.复平面C设z=+V-1y为C上的标准复坐标，则h=dzdz显然为C上的Hermite度量.其曲率K三0.曲率为零的度量一般称为平坦度量.h诱导的Riemann度量为g=dr?da+dy?dy，在每一点的切空间上，这个Riemann度量定义的内积和C中的欧氏内积完全相同.下面我们说明，9诱导的距离和C中的欧氏距离也完全相同.首先注意到,C的全纯自同构(2)=az+b为h的全纯等距当且仅当a=eii=V-I,eR.即C中的平移和旋转都是全纯等距。因此，为了说明d(p,q)=p-ql,我们可以假设p,qR.设:[0,1]→C是连接p,q的曲线，(t)=(t)+V-1y(t).由曲线长度的定义，有L(o) =Vr(t)2 + (g(t) dt ≥Ir'(t)Id≥ 1 2 (t)dt| = [r(1) - r(0)[ = [g - pl.这说明d(p,)≥p-另一方面，连接p,q的直线段长度显然为lp-l，因此d(p,g)=[p-ql.这也说明直线为C在度量g下的测地线，并且由刚才的证明可以看出测地线也只能为直线例5.1.2.黎曼球面S.在C上考虑这样的Hermite度量h=4[1+z/]-?dz?dz.当更换坐标函数2=w-1时，h=4[1+ [2]-2d2 d2=4[1+ [0-2]-2Xw2W2=4[1+w/21-2dw?dm因此，h实际上可以定义在S=Cu（o上成为Hermite度量，其曲率形式计算如下： = a1og 4[1 + [2]"]-2 = 2[1 +[2]]-2dz ^ dz.因此，这个度量的曲率K=1.例5.1.3.黎曼环面
§5.1 Hermite 度量 159 称为以 ρ 为半径, p 为中心的测地球, 其闭包 Bρppq “ tq P M | dpq, pq ď ρu 称为闭 测地球. 度量是完备的当且仅当每一个闭测地球均为紧致集合. 显然, 紧致黎曼曲 面上的度量都是完备的. 下面我们来研究几个具体的例子. 例 5.1.1. 复平面 C. 设 z “ x` ? ´1 y 为 C 上的标准复坐标, 则 h “ dz bdz¯ 显然为 C 上的 Hermite 度量, 其曲率 K ” 0. 曲率为零的度量一般称为平坦度量. h 诱导的 Riemann 度量 为 g “ dx b dx ` dy b dy, 在每一点的切空间上, 这个 Riemann 度量定义的内积和 C 中的欧氏内积完全相同. 下面我们说明, g 诱导的距离和 C 中的欧氏距离也完全 相同. 首先注意到, C 的全纯自同构 ϕpzq “ az ` b 为 h 的全纯等距当且仅当 a “ e iθ , i “ ? ´1, θ P R. 即 C 中的平移和旋转都是全纯等距. 因此, 为了说明 dpp, qq “ |p ´ q|, 我们可以假设 p, q P R. 设 σ : r0, 1s Ñ C 是连接 p, q 的曲线, σptq “ xptq ` ? ´1 yptq. 由曲线长度的定义, 有 Lpσq “ ż 1 0 a px 1ptqq2 ` py 1ptqq2 dt ě ż 1 0 |x 1 ptq| dt ě | ż 1 0 x 1 ptqdt| “ |xp1q ´ xp0q| “ |q ´ p|. 这说明 dpp, qq ě |p ´ q|. 另一方面, 连接 p, q 的直线段长度显然为 |p ´ q|, 因此 dpp, qq “ |p ´ q|. 这也说明直线为 C 在度量 g 下的测地线, 并且由刚才的证明可以 看出测地线也只能为直线. 例 5.1.2. 黎曼球面 S. 在 C 上考虑这样的 Hermite 度量 h “ 4r1 ` |z| 2 s ´2dz b dz¯. 当更换坐标函数 z “ w ´1 时, h “ 4r1 ` |z| 2 s ´2 dz b dz¯ “ 4r1 ` |w| ´2 s ´2 ´dw w2 b ´dw¯ w¯ 2 “ 4r1 ` |w| 2 s ´2 dw b dw. ¯ 因此, h 实际上可以定义在 S “ C Y t8u 上成为 Hermite 度量, 其曲率形式计算如 下: Θ “ ¯BB log 4r1 ` |z| 2 s ´2 “ 2r1 ` |z| 2 s ´2 dz ^ dz. ¯ 因此, 这个度量的曲率 K ” 1. 例 5.1.3. 黎曼环面
160第五章曲面的复几何设M是亏格为1的紧致黎曼曲面：在M上任取非零全纯微分w，则w实际上处处非零.令h=w?，h为M上的Hermite度量.在局部坐标下，如果w有局部表示w=fadza，则f为不取零值的局部全纯函数，而h有局部表示h=Ifdz?dz&因此，h的曲率形式计算如下：e=aaloglfa2=aalogfa-aalogfa=0即h的曲率K=0,h为平坦度量假设元：M→M为M的万有复选映射，则拉回度量元*h为M上的Hermite度量.利用Riemann几何的初步知识可以证明，拉回度量是完备平坦度量，因而M连同拉回度量全纯等距于第一例中的复平面C.这说明M必为C关于某离散子群之商，从而全纯同构于某黎曼环面例5.1.4.Poincare圆盘D令h=4[1-[2/2]-2dz③dz，则h为D上的一个Hermite度量，我们计算它的曲率形式如下： = a 1og4[1 -[2]]-2 = -2[1 -[21]-2dz dz.因此，h的曲率K=-1.一般地，我们把曲率恒为-1的度量称为双曲度量任给zoED,eR，考虑分式线性变换：D→D,(2)=e.我们下面说明关于h为全纯等距.事实上p*h=4[1-0()]-2d?d=4[1-0(z)1]-20(2)dz?dz4|1-202|41-20/2Pdz?dz(1 - 202/2 -[2 - 20/2)2(1 - 202)24|1 - 202/41 - [20]2dzdz= (1-12/2)2(1-20/2)2(1- 202)2= 4[1 -[2]]-2dz@dz.下面我们在度量h下来计算D中两点21,22的距离.令Φ(2)=e，适当选取9,使得Φ(z2)eR.设α:[0,1]→D是连接Φ(z1)=0和(22)的任意曲线，则 2 +(atL(o) =1-r2(t) -y2(t)12/()121- r2(t)2r'(t)dt1-r2(t)1 +Φ(22),1 + [0(z2)][=10g1-10(2)]= [1og 1- 0(22)[1 - 2122/ + [21 - 22]108[2121-121-21
160 第五章 曲面的复几何 设 M 是亏格为 1 的紧致黎曼曲面. 在 M 上任取非零全纯微分 ω, 则 ω 实 际上处处非零. 令 h “ ω b ω¯, h 为 M 上的 Hermite 度量. 在局部坐标下, 如果 ω 有局部表示 ω “ fαdzα, 则 fα 为不取零值的局部全纯函数, 而 h 有局部表示 h “ |fα| 2dzα b dz¯α. 因此, h 的曲率形式计算如下: Θ “ ¯BB log |fα| 2 “ ¯BB log ¯fα ´ B¯B log fα “ 0. 即 h 的曲率 K ” 0, h 为平坦度量. 假设 π : M˜ Ñ M 为 M 的万有复迭映射, 则拉回度量 π ˚h 为 M˜ 上的 Hermite 度量. 利用 Riemann 几何的初步知识可以证明, 拉回度量是完备平坦度量, 因而 M˜ 连同拉回度量全纯等距于第一例中的复平面 C. 这说明 M 必为 C 关于某离散子 群之商, 从而全纯同构于某黎曼环面. 例 5.1.4. Poincar´e 圆盘 D. 令 h “ 4r1 ´ |z| 2 s ´2dz b dz¯, 则 h 为 D 上的一个 Hermite 度量. 我们计算它的 曲率形式如下: Θ “ ¯BB log 4r1 ´ |z| 2 s ´2 “ ´2r1 ´ |z| 2 s ´2 dz ^ dz. ¯ 因此, h 的曲率 K ” ´1. 一般地, 我们把曲率恒为 ´1 的度量称为双曲度量. 任给 z0 P D, θ P R, 考虑分式线性变换 ϕ : D Ñ D, ϕpzq “ e iθ z´z0 1´z¯0z . 我们下面 说明 ϕ 关于 h 为全纯等距. 事实上 ϕ ˚h “ 4r1 ´ |ϕpzq|2 s ´2 dϕ b dϕ¯ “ 4r1 ´ |ϕpzq|2 s ´2 |ϕ 1 pzq|2 dz b dz¯ “ 4|1 ´ z¯0z| 4 p|1 ´ z¯0z| 2 ´ |z ´ z0| 2q 2 | 1 ´ |z0| 2 p1 ´ z¯0zq 2 | 2 dz b dz¯ “ 4|1 ´ z¯0z| 4 p1 ´ |z| 2q 2p1 ´ |z0| 2q 2 | 1 ´ |z0| 2 p1 ´ z¯0zq 2 | 2 dz b dz¯ “ 4r1 ´ |z| 2 s ´2 dz b dz. ¯ 下面我们在度量 h 下来计算 D 中两点 z1, z2 的距离. 令 ϕpzq “ e iθ z´z1 1´z¯1z , 适当选取 θ, 使得 ϕpz2q P R. 设 σ : r0, 1s Ñ D 是连接 ϕpz1q “ 0 和 ϕpz2q 的任意曲线, 则 Lpσq “ ż 1 0 2 a px 1ptqq2 ` py 1ptqq2 1 ´ x 2ptq ´ y 2ptq dt ě ż 1 0 2|x 1 ptq| 1 ´ x 2ptq dt ě | ż 1 0 2x 1 ptq 1 ´ x 2ptq dt| “ | log 1 ` ϕpz2q 1 ´ ϕpz2q | “ log 1 ` |ϕpz2q| 1 ´ |ϕpz2q| “ log |1 ´ z¯1z2| ` |z1 ´ z2| |1 ´ z¯1z2| ´ |z1 ´ z2|
161$5.1Hermite度量等号成立当且α是连接(z1)和(z2)的直线段.因此1-2122| +21- 22d(21, 22) = d(0(z1), 0(22)) = log1-2122/-21-22]这也说明，从原点0出发的直线是D在双曲度量h下的测地线.由于等距变换把测地线变为测地线，而分式线性变换把经过原点的直线映为终点和单位圆周正交的圆弧，因此这些圆弧都是测地线.为了方便起见，有时我们也考虑双曲度量的上半平面模型H=(zEC|Imz>0)H上的Hermite度量g定义如下dzdzg=-(Imz)2读者可自行验证(D,h）与(H,9)是全纯等距的利用双曲度量，我们可以重新解释Schwarz引理定理5.1.2(Schwarz-Pick).设f：D→D为全纯映射，则d(f(z1), f(z2)) ≤ d(z1, z2),V z1, 22 E D.这里的d(，）为双曲距离，并且如果存在21≠22使上式中的等号成立，则于必为全纯等距.证明.分别记Φ，为把z1映为0和把f(z1）映为0的全纯自同构，则复合映射F=ofoo-1是满足Schwarz引理条件的全纯映射，因此[F(w)]I≤[w], VwED.这个不等式可用双曲距离重新解释为d(0,F(w))≤d(O,w),VwED特别地，取w=(22),有d(f(z1), f(22)) = d(b o f(z1), Φ o f(22)) = d(0, F((z2)))≤ d(0, Φ(22)) = d(Φ(z1), Φ(22))= d(21, 22).当等号成立时，由Schwarz引理的结论我们知道F为全纯同构，从而f亦然，此时口f为全纯等距
§5.1 Hermite 度量 161 等号成立当且 σ 是连接 ϕpz1q 和 ϕpz2q 的直线段. 因此 dpz1, z2q “ dpϕpz1q, ϕpz2qq “ log |1 ´ z¯1z2| ` |z1 ´ z2| |1 ´ z¯1z2| ´ |z1 ´ z2| . 这也说明, 从原点 0 出发的直线是 D 在双曲度量 h 下的测地线. 由于等距变换把 测地线变为测地线, 而分式线性变换把经过原点的直线映为终点和单位圆周正交的 圆弧, 因此这些圆弧都是测地线. 为了方便起见, 有时我们也考虑双曲度量的上半平面模型 H “ tz P C |Imz ą 0u. H 上的 Hermite 度量 g 定义如下 g “ dz b dz¯ pImzq 2 . 读者可自行验证 pD, hq 与 pH, gq 是全纯等距的. 利用双曲度量, 我们可以重新解释 Schwarz 引理. 定理 5.1.2 (Schwarz-Pick). 设 f : D Ñ D 为全纯映射, 则 dpfpz1q, fpz2qq ď dpz1, z2q, @ z1, z2 P D. 这里的 dp¨, ¨q 为双曲距离, 并且如果存在 z1 ‰ z2 使上式中的等号成立, 则 f 必为 全纯等距. 证明. 分别记 ϕ, ψ 为把 z1 映为 0 和把 fpz1q 映为 0 的全纯自同构, 则复合映 射 F “ ψ ˝ f ˝ ϕ ´1 是满足 Schwarz 引理条件的全纯映射, 因此 |Fpwq| ď |w|, @ w P D. 这个不等式可用双曲距离重新解释为 dp0, Fpwqq ď dp0, wq, @ w P D. 特别地, 取 w “ ϕpz2q, 有 dpfpz1q, fpz2qq “ dpψ ˝ fpz1q, ψ ˝ fpz2qq “ dp0, Fpϕpz2qqq ď dp0, ϕpz2qq “ dpϕpz1q, ϕpz2qq “ dpz1, z2q. 当等号成立时, 由 Schwarz 引理的结论我们知道 F 为全纯同构, 从而 f 亦然, 此时 f 为全纯等距.
162第五章曲面的复几何这个引理告诉我们，全纯映射在双曲度量下是距离非增的.这个事实的无穷小表现形式可以写为1If'(z)lVZED.1-(2)1-Schwarz-Pick定理的推广和在复分析的许多应用请读者参看文献[3]，许多结果还可以推广到高维复流形上如果M为亏格大于1的紧致黎曼曲面，则存在复迭映射π：D→M.因为复变换关于D上的双曲度量h为全纯等距，因此在M上存在Hermite度量g，使得h=元*g.9的曲率显然也恒为-1即我们在亏格大于1的任何紧致黎曼曲面上都找到了双曲度量假设M为紧致黎曼曲面，h为一个Hermite度量.在第三章第二节中，我们在1形式空间A"（M）上定义了Hermite内积，现在把这个内积扩充到微分形式的全体A(M)=A（M)④A"(M)④A(M）上：我们规定不同次数的微分形式是正交的如果f,gEA（M)，则令(f.g) =f92,其中2为h的体积形式；如果1=fi2,w2=f22eA(M),则令(w1,w2) =fif22Hodge星算子*：A"(M）→A(M）也可以函数线性地扩充为*: AP-9 →Al-g,1-P,*1 = 2; *2= 1.于是 AP(M)上的内积可以写为(n1, n2) =m1人*2算子还满足以下性质：*2 =(-1)P+9; (*1,*n2) = (71, 2).我们如下定义两个新的算子：AP(M）→AP-1（M)，9：AP9(M）→AP9-1（M）：=-*d*，9=-*0*.它们分别是d和关于内积（）的伴随算子，即有引理5.1.3.在紧致黎曼曲面上，算子和9满足等式(dw,n) = (w,on), (aw,n) = (w,on)
162 第五章 曲面的复几何 这个引理告诉我们, 全纯映射在双曲度量下是距离非增的. 这个事实的无穷小 表现形式可以写为 |f 1 pzq| 1 ´ |fpzq|2 ď 1 1 ´ |z| 2 , @ z P D. Schwarz-Pick 定理的推广和在复分析的许多应用请读者参看文献 [3], 许多结 果还可以推广到高维复流形上. 如果 M 为亏格大于 1 的紧致黎曼曲面, 则存在复迭映射 π : D Ñ M. 因为复 迭变换关于 D 上的双曲度量 h 为全纯等距, 因此在 M 上存在 Hermite 度量 g, 使 得 h “ π ˚g. g 的曲率显然也恒为 ´1, 即我们在亏格大于 1 的任何紧致黎曼曲面上 都找到了双曲度量. 假设 M 为紧致黎曼曲面, h 为一个 Hermite 度量. 在第三章第二节中, 我们在 1 形式空间 A1 pMq 上定义了 Hermite 内积, 现在把这个内积扩充到微分形式的全 体 ApMq “ A0 pMq ‘ A1 pMq ‘ A2 pMq 上: 我们规定不同次数的微分形式是正交的; 如果 f, g P A0 pMq, 则令 pf, gq “ ż M fg¯Ω, 其中 Ω 为 h 的体积形式; 如果 ω1 “ f1Ω, ω2 “ f2Ω P A2 pMq, 则令 pω1, ω2q “ ż M f1 ¯f2Ω. Hodge 星算子 ˚ : A1 pMq Ñ A1 pMq 也可以函数线性地扩充为 ˚ : A p,q Ñ A 1´q,1´p , ˚1 “ Ω; ˚Ω “ 1. 于是 Ap pMq 上的内积可以写为 pη1, η2q “ ż M η1 ^ ˚η2. 算子 ˚ 还满足以下性质: ˚ 2 “ p´1q p`q ; p˚η1, ˚η2q “ pη1, η2q. 我们如下定义两个新的算子 δ : Ap pMq Ñ Ap´1 pMq, ϑ : Ap,qpMq Ñ Ap,q´1 pMq : δ “ ´ ˚ d˚, ϑ “ ´ ˚ B ˚ . 它们分别是 d 和 ¯B 关于内积 p,q 的伴随算子, 即有 引理 5.1.3. 在紧致黎曼曲面上, 算子 δ 和 ϑ 满足等式 pdω, ηq “ pω, δηq, p ¯Bω, ηq “ pω, ϑηq
163$5.1Hermite度量证明.设wEAP-1(M),nEAP(M),则(dw,n) - (w,on) =dw-womJMdw*+(-1)P-1wd*mJMd(w ^ *) = 0.第一个等式得证.再设wEAP-9-1(M)，nEAP4(M)，则ww人*9m(@w, n) - (w, on) = [JMw ^ * +(-1)p+q-1w ^*= [ (w ^*)JM d(w ^ *) = 0.口上面倒数第二个等号是因为w^*为（1,0）形式令△=d8+8d,□=9+9a,则△和口都是保型的算子，即把AP9(M）映到AP.9(M).这两个算子具有如下性质在紧致黎曼曲面上，w=0dw=0,ow=0;w=0w=0,9w=0.这由上面的引理立得..=号事实上，由d=2+38=9+#得△ = (@+ )(0 + 0) + (0 +0)(α+)=++00+0)+09+00请读者自行验证09+00=0,=因此△=2·*△=△*，*=*，前者由算子定义可直接验证，后者可由上一条性质得到·如果于为紧致黎曼曲面上的光滑函数，则了Mf2=0当且仅当存在光滑函数9,使得f=g.事实上,如果f=g，则简单的计算表明(g2)=(口g)2,因此fo =(g0) = (g2) = d((g2),由Stokes公式即知JMf2=0.反之，如果JMf2=0,则由第四章推论4.6.2的证明知，存在1形式n，使得fα=dm.由第三章的Hodge定理，n可分解为=h +dh1+*dh2
§5.1 Hermite 度量 163 证明. 设 ω P Ap´1 pMq, η P Ap pMq, 则 pdω, ηq ´ pω, δηq “ ż M dω ^ ˚η¯ ´ ω ^ ˚δη “ ż M dω ^ ˚η¯ ` p´1q p´1ω ^ d ˚ η¯ “ ż M dpω ^ ˚η¯q “ 0. 第一个等式得证. 再设 ω P Ap,q´1 pMq, η P Ap,qpMq, 则 p ¯Bω, ηq ´ pω, ϑηq “ ż M ¯Bω ^ ˚η¯ ´ ω ^ ˚ϑη “ ż M ¯Bω ^ ˚η¯ ` p´1q p`q´1ω ^ ¯B ˚ η¯ “ ż M ¯Bpω ^ ˚η¯q “ ż M dpω ^ ˚η¯q “ 0. 上面倒数第二个等号是因为 ω ^ ˚η¯ 为 p1, 0q 形式. 令 ∆ “ dδ ` δd, “ ¯Bϑ ` ϑ¯B, 则 ∆ 和 都是保型的算子, 即把 Ap,qpMq 映到 Ap,qpMq. 这两个算子具有如下性质: • 在紧致黎曼曲面上, ∆ω “ 0 ô dω “ 0, δω “ 0; ω “ 0 ô ¯Bω “ 0, ϑω “ 0. 这 由上面的引理立得. • “ 1 2∆. 事实上, 由 d “ B ` ¯B, δ “ ϑ ` ϑ¯ 得 ∆ “ pB ` ¯Bqpϑ ` ϑ¯q ` pϑ ` ϑ¯qpB ` ¯Bq “ ` ` pBϑ ` ϑBq ` Bϑ ` ϑB 请读者自行验证 Bϑ ` ϑB “ 0, “ . 因此 ∆ “ 2. • ˚∆ “ ∆˚, ˚ “ ˚. 前者由算子定义可直接验证, 后者可由上一条性质得到. • 如果 f 为紧致黎曼曲面上的光滑函数, 则 ş M fΩ “ 0 当且仅当存在光滑函数 g, 使得 f “ g. 事实上, 如果 f “ g, 则简单的计算表明 pgΩq “ pgqΩ, 因 此 fΩ “ pgΩq “ 1 2 ∆pgΩq “ 1 2 dpδpgΩqq. 由 Stokes 公式即知 ş M fΩ “ 0. 反之, 如果 ş M fΩ “ 0, 则由第四章推论 4.6.2 的证明知, 存在 1 形式 η, 使得 fΩ “ dη. 由第三章的 Hodge 定理, η 可分解为 η “ ηh ` dh1 ` ˚dh2,
第五章曲面的复几何164其中mh为调和1形式，h1.h2为光滑函数.从而有f = *(f2) = *dn = *d(nh + dhi + *dh2) = *d * dh2 = -△h2 =g其中g=-2h2.如果w=0，则称为调和形式.这个定义和以前调和函数及调和1形式的定义是一致的.习题5.11.证明黎曼曲面上Hermite度量总是存在的2.在本节第二例的度量下计算黎曼球面S的面积3.证明在本节第三例的度量下黎曼球面S=S2的测地线是大圆4.说明本节第四例中D上的双曲度量是完备的5.证明，全纯复迭映射把完备度量拉回为完备度量6.设M为紧致黎曼曲面，亏格为1，元：M→M为M的万有复迭.在M上任取非零全纯微分w，由于M为单连通黎曼曲面，存在M上的全纯函数M-C，使得元*w=df.证明f为全纯同构7.证明，当亏格大于1时，M上的Bergman度量（第三章第四节中有定义）的曲率非正，且只在有限个点处为零85.2线丛的几何现在我们把前一节关于Hermite度量的结果推广到全纯线丛上定义5.2.1.设L为黎曼曲面M上的全纯线丛：如果在每个纤维Lp上都指定一个Hermite内积g(p)=p，并且任给L的两个光滑截面s1,s2，M上的函数g(s1,s2),p一p为光滑函数，则称g为L上的一个Hermite度量设L在开集U。上有局部平凡化，则在U。上存在处处非零的局部全纯截面sa,sa()=(,1),Uα记ga=g(sa,sa),则ga为U上的正光滑函数当UanUsの时，sa=fasB，其中fga为L的连接函数.因此有(5.4)a=g(sa,sa)=g(fBasp,fasp)=|fpa/gp反之，满足上面条件的一族光滑正函数gα就给出了L的一个Hermite度量g.我们把（ga）称为Hermite度量g的局部表示
164 第五章 曲面的复几何 其中 ηh 为调和 1 形式, h1, h2 为光滑函数. 从而有 f “ ˚pfΩq “ ˚dη “ ˚dpηh ` dh1 ` ˚dh2q “ ˚d ˚ dh2 “ ´∆h2 “ g, 其中 g “ ´2h2. 如果 ω “ 0, 则称 ω 为调和形式. 这个定义和以前调和函数及调和 1 形式的定义 是一致的. 习题 5.1 1. 证明黎曼曲面上 Hermite 度量总是存在的. 2. 在本节第二例的度量下计算黎曼球面 S 的面积. 3. 证明, 在本节第三例的度量下黎曼球面 S “ S 2 的测地线是大圆. 4. 说明本节第四例中 D 上的双曲度量是完备的. 5. 证明, 全纯复迭映射把完备度量拉回为完备度量. 6. 设 M 为紧致黎曼曲面, 亏格为 1, π : M˜ Ñ M 为 M 的万有复迭. 在 M 上任取非零全纯微分 ω, 由于 M˜ 为单连通黎曼曲面, 存在 M˜ 上的全纯函数 f : M˜ Ñ C, 使得 π ˚ω “ df. 证明 f 为全纯同构. 7. 证明, 当亏格大于 1 时, M 上的 Bergman 度量 (第三章第四节中有定义) 的曲 率非正, 且只在有限个点处为零. §5.2 线丛的几何 现在我们把前一节关于 Hermite 度量的结果推广到全纯线丛上. 定义 5.2.1. 设 L 为黎曼曲面 M 上的全纯线丛. 如果在每个纤维 Lp 上都指 定一个 Hermite 内积 gppq “ x, yp, 并且任给 L 的两个光滑截面 s1, s2, M 上的函数 gps1, s2q, p ÞÑ xs1ppq, s2ppqyp 为光滑函数, 则称 g 为 L 上的一个 Hermite 度量. 设 L 在开集 Uα 上有局部平凡化 ψα, 则在 Uα 上存在处处非零的局部全纯截 面 sα, sαpxq “ ψ ´1 α px, 1q, x P Uα. 记 gα “ gpsα, sαq, 则 gα 为 Uα 上的正光滑函数. 当 Uα X Uβ ‰ H 时, sα “ fβαsβ, 其中 fβα 为 L 的连接函数. 因此有 gα “ gpsα, sαq “ gpfβαsβ, fβαsβq “ |fβα| 2 gβ (5.4) 反之, 满足上面条件的一族光滑正函数 gα 就给出了 L 的一个 Hermite 度量 g. 我 们把 tgαu 称为 Hermite 度量 g 的局部表示.