施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）理论.pdf_大学文库

推论1.2.对于方程(1)，假如闭区间[ao,bo] CD，并且对任意的rE[ao,bo]有p()≠0。那么对于一个给定的入，方程(1)的解空间限制在在[ao,bol上至多是2维。注1.1.对于正则的（下文定义正则性）SL问题以及固定的入，方程(1)的解空间至多是一维的。但是对于非正则的SL问题，其解空间有可能是2维，但维数不会超过2。2正则的(regular)SL问题定义2.1.一个SL问题被称为正则的，如果D=[a,b]是一个闭区间，P,q,w,p都在D上连续，P,W>0，并且附带（齐次混合）边界条件：aoy'(a) +Boy(a) =0(17)(a1y (b)+B1y(b)= 0其中α0α1,βo,β都是实数，且+陷>0,+陷>0。正则的SL本征值问题的解有一系列简洁漂亮的数学性质，被称为SL理论。SL理论一般用希尔伯特空间(Hilbertspace)这套语言描述。3希尔伯特空间（Hilbertspace)简介希尔伯特空间的概念属于泛函分析这个数学分支。这套概念的产生源于对偏微分方程的解的存在性和唯一性的研究。偏微分方程是用来刻画自然界物理状态演变规律的方程。尽管自然界的物理状态始终存在且唯一，但许多物理方程的推导始终存在很明显的人为的假设。因此并不能先验地认为被用来描述自然界规律的偏微分方程的解一定存在且唯一。在很多重要的情形，一个偏微分方程对应于一个算子（参考SL问题对应到SL算子），和这个偏微分方程相关的某个函数空间构成一个有内积的线性空间（即希尔伯特空间）。而希尔伯特空间上的里兹表示定理(Rieszrepresentationtheorem)将偏微分方程求解的问题划归为证明之前那个算子在当前希尔伯特空间的度量下连续的问题。在实际的应用中，一个希尔伯特空间一般是由一些满足特定条件的函数组成的线性空间。但是在希尔伯特空间这个抽象概念的定义中，我们可以暂时忘记这个空间由一堆函数组成，而将其想象成一个向量空间。定义3.1.一个复数域上的（完备）线性空间H被称为希尔伯特空间，如果存在一个（内积）映射：(18)():H×H→C,使得对任意的y1,J23J3，94EH，i,a2,a3a4EC，满足：(91,y2) =(y2,31)(a1y1+a2y2,a3y3+a4y4)=aias(y1,93)+aia4(y1,y4)+a2as(y2,y3)+a2ay(92,94),3

推论1.2. 对于方程(1), 假如闭区间[a0, b0] ⊂ D，并且对任意的x ∈ [a0, b0] 有p(x) ̸= 0。那么对于一个给定的λ，方程(1) 的解空间限制在在[a0, b0]上至多是2维。注1.1. 对于正则的（下文定义正则性）SL问题以及固定的λ，方程(1)的解空间至多是一维的。但是对于非正则的SL问题，其解空间有可能是2维，但维数不会超过2。 2 正则的(regular)SL问题定义2.1. 一个SL问题被称为正则的，如果D = [a, b]是一个闭区间，p, q, w, p′都在D上连续，p, w > 0，并且附带（齐次混合）边界条件： ( α0y ′ (a) + β0y(a) = 0 α1y ′ (b) + β1y(b) = 0 (17) 其中α0, α1, β0, β1 都是实数，且α 2 0 + β 2 0 > 0, α 2 1 + β 2 1 > 0。正则的SL本征值问题的解有一系列简洁漂亮的数学性质，被称为SL理论。SL理论一般用希尔伯特空间(Hilbert space)这套语言描述。 3 希尔伯特空间(Hilbert space)简介希尔伯特空间的概念属于泛函分析这个数学分支。这套概念的产生源于对偏微分方程的解的存在性和唯一性的研究。偏微分方程是用来刻画自然界物理状态演变规律的方程。尽管自然界的物理状态始终存在且唯一，但许多物理方程的推导始终存在很明显的人为的假设。因此并不能先验地认为被用来描述自然界规律的偏微分方程的解一定存在且唯一。在很多重要的情形，一个偏微分方程对应于一个算子（参考SL问题对应到SL算子），和这个偏微分方程相关的某个函数空间构成一个有内积的线性空间(即希尔伯特空间)。而希尔伯特空间上的里兹表示定理(Riesz representation theorem)将偏微分方程求解的问题划归为证明之前那个算子在当前希尔伯特空间的度量下连续的问题。在实际的应用中，一个希尔伯特空间一般是由一些满足特定条件的函数组成的线性空间。但是在希尔伯特空间这个抽象概念的定义中，我们可以暂时‘忘记’这个空间由一堆函数组成，而将其想象成一个向量空间。定义3.1. 一个复数域上的（完备）线性空间H 被称为希尔伯特空间，如果存在一个（内积）映射： ⟨., .⟩ : H × H → C, (18) 使得对任意的y1, y2, y3, y4 ∈ H, a1, a2, a3, a4 ∈ C, 满足： ⟨y1, y2⟩ = ⟨y2, y1⟩， ⟨a1y1 + a2y2, a3y3 + a4y4⟩ = a1a¯3⟨y1, y3⟩ + a1a¯4⟨y1, y4⟩ + a2a¯3⟨y2, y3⟩ + a2a¯4⟨y2, y4⟩， 3

⟨y1, y1⟩ ≥ 0 ，且等号成立当且仅当y1 = 0 ∈ H 注3.1. 这里完备性是拓扑里的概念，而不是指正交基的完备性，感兴趣的同学请自行查阅任何一本网上的免费中文拓扑教材。定义3.2. 对于任意的y ∈ H，∥y∥ := ⟨y, y⟩ 被称为y的模（对应于向量的模的概念）。假设I是一个指标集合（可能有限，也可能无限），如果{ei}i∈I ⊂ H，满足： (1), 对任意的i, j ∈ I，有⟨ei , ej ⟩ = δij ; (2), 对任意的y ∈ H，以及任意的ϵ > 0，都存在有限集合{eik }k=1.n,以及系数aik，使得∥y − Pn k=1 aikei ∥ ≤ ϵ。则称{ei}i∈I为H的一组单位正交基。例3.1. 令H˜ = n f是[0, 2π]上的复值连续函数，且f(0) = f(2π) o 。对f, g ∈ H˜，定义 ⟨f, g⟩ = Z 2π 0 fgdx ¯ 。 (19) 但是H˜还不是一个希尔伯特空间，因为H˜不完备。令H = H˜，此时H是一个（完备的）希尔伯特空间。也就是说，H中的元素不光有[0, 2π]上的连续函数，还有[0, 2π]上的一部分不连续函数。比如阶梯函数 h(x) = ( 0 当x 0,都存在一个f ∈ H˜，满足 Z 2π 0 |h − f| 2 dx < ϵ。这些额外的h属于H \ H ¯˜。这个H通常写为H = n f : R 2π 0 |f| 2dx < ∞ o 。H有单位正交基{ek = e ikx}k∈Z。一个H上的线性算子L不是一定要定义在整个希尔伯特空间上。通常L 只定义在H 的一个(稠密)线性子空间上，这个(稠密)线性子空间一般被记为Dom(L)。其中Dom 是domain的缩写，指定义域。例3.2. 比如对于H = {f : R 1 0 |f| 2dx < ∞}，对于f, g ∈ H, 其内积定义为⟨f, g⟩ = R 1 0 fgdx ¯ . 考虑L(f) = df dx。很显然，L 不可能对所有的连续函数f 都有直接定义，因为存在连续且平方可积，但是不可微的函数。此时Dom(L) = {f : f ∈ H 可微且 R 1 0 |f ′ | 2dx < ∞}。Dom(L) 是H 的稠密子空间，因为任意一个闭区间上的连续函数都可以用一个可微函数任意逼近。在某些情形，线性算子L的定义域可能可以扩张到一个更大的子空间，但这个扩张依赖于H的选取。在本讲义中，我们只选取显而易见的Dom(L)。 4

对于y1, y2 ∈ H, 定义其内积为： ⟨y1, y2⟩ = Z D w(x)y1(x)¯y2(x)dx (29) 对于式(2) 定义的L, 我们选取Dom(L)= {f ∈ H, 二次可微，且其二阶导数在D 上连续}。此时L具有以下性质： (1) L 是对称算子；从而L 的特征值都是实数，且属于不同特征值的特征向量一定正交。 (2) 假如λ 是L 的特征值，则其对应的特征向量空间一定是一维的，亦即不存在两个线性无关的特征向量对应于同一个特征值。 (3) L 的特征值可以从小到大排列为：λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · → +∞。其对应的特征向量y1, y2, . 构成H 的一组正交基。 (3)’ 存在实数M,L的特征值都大于M。注4.1. 如果L = −∆ 为拉普拉斯算子，对于合适的边界条件，很容易证明这三条性质，因为其特征向量就是三角函数。对于正则SL算子L, 其第三条性质的数学证明比较复杂，本课程不要求掌握，本讲义只列出大概步骤。这四条性质对一类由偏微分方程衍生的算子也成立。更进一步的，这些结果可以推广到黎曼流形上的偏微分方程的情形。这些理论在计算机视觉(包括海洋学中的相关问题)领域中都有直接的应用。性质(1)的证明: 对于任意的y1, y2 ∈ Dom(L), 分部积分两次可得： ⟨y1, Ly2⟩ = Z D y1 1 w {−(py′ 2 ) ′ + qy2}wdx (30) = Z D y1{−(py¯ ′ 2 ) ′ + qy¯2}dx (31) = Z D −y1(py¯ ′ 2 ) ′ + qy1y¯2dx (32) = − y1py¯ ′ 2 b a + Z D y ′ 1py¯ ′ 2 + qy1y¯2dx (33) = − y1py¯ ′ 2 b a + ¯y2py′ 1 b a + Z D −y¯2(py′ 1 ) ′ + qy1y¯2dx (34) = − y1py¯ ′ 2 b a + ¯y2py′ 1 b a + Z D y¯2{−(py′ 1 ) ′ + qy1}dx (35) = − y1py¯ ′ 2 b a + ¯y2py′ 1 b a + ⟨Ly1, y2⟩ (36) =p(b) h y ′ 1 (b)¯y2(b) − y1(b)¯y ′ 2 (b) i − p(a) h y ′ 1 (a)¯y2(a) − y1(a)¯y ′ 2 (a) i + ⟨Ly1, y2⟩ (37) 正则SL问题附带的边界条件可以等价的解读为向量(y1(b), y′ 1 (b))平行于(¯y2(b), y¯ ′ 2 (b))，以及向量(y1(a), y′ 1 (a))平行于(¯y2(a), y¯ ′ 2 (a))。因此式(37) 中头两项为0。 6