对偶空间，张量代数，微分形式，斯托克斯公式.pdf_大学文库

Course notes@hhu 4.2 欧氏空间中曲面的切空间TpM 假如M是RN中的一个m维曲面(n ≥ m)，对于M上一点p，定义TpM为所有RN 中所有和M相切于p点的从p出发的向量构成的集合。不难验证，TpM也是一个线性空间，且dim TpM = m。 • TpM中的向量可以理解为M中经过p点的曲线在p点的切向量。假设γ : [0, 1] → M为M中一条从p点出发的光滑曲线（即γ(0) = p），则 v = dγ(t) dt t=0 ∈ TpM ⊂ TpR N (23) 4.3 由(非线性)映射诱导的切空间映射假若M和N分别是RN中m维和n维的曲面(N ≥ n, m)，M, N可以是Rm或Rn这种平直的欧氏空间。对于光滑映射ϕ : M → N，以及p ∈ M，记q = ϕ(p)，则ϕ 诱导映射 ϕ∗ : TpM −→ TqN dγ dt t=0 −→ d(ϕ ◦ γ) dt t=0 (24) 其中γ : [0, 1] −→ M 是任意从p出发的光滑曲线。 • 对任意的曲面M, N , Q，若ϕ1 : M −→ N , ϕ2 : N −→ Q，可以证明ϕ2∗ ◦ ϕ1∗ = (ϕ2 ◦ ϕ1)∗. • ϕ∗ 是个线性映射。 4.4 曲面的坐标卡将Rm中的标准立方体（不含边界）记为Cm = (−1, 1) m。假设M是RN中的m维光滑曲面，p ∈ M。如果存在光滑可逆映射(并要求其逆映射也光滑)Φ : Cm −→ M，且Φ(o) = p，o为Cm中心点，则称(Up, Φ)是p点附近的一个坐标卡，其中Up = Φ(Cm)∆ ⊂ M。一个点可以有很多不同的坐标卡。 4.5 由坐标卡定义TpM的一组基{ ∂ ∂x i : 1 ≤ i ≤ m} Φ诱导Φ∗ : ToCm −→ TpM。我们已知{ei(o)}构成ToCm的一组基。由于Cm和M维数相同，因此Φ∗是可逆映射。并且{Φ∗(ei(o))}是TpM的一组基。作业4.1. 已知m维光滑曲面M ⊂ RN，p ∈ M,以及p点附近的坐标卡(Up, Φ)。用(x1, ., xm) 表示Cm中点的坐标，用(y1, ., yN)表示RN中点的坐标。因此Φ有向量表示：(Φ1 (x), ., ΦN(x))，其中每个Φj都是Cm上的函数。分别用{ei(o) : 1 ≤ i ≤ m}和{ei(p) : 1 ≤ i ≤ N}表示ToCm和TpRN 的自然基。试用函数Φ1 , ., ΦN 和{ej(p)} 表示Φ∗(ei(o))，即计算展开式Φ∗(ei(o)) = ∑ij aijej(p) 中的系数。 • 在已知坐标卡(Up, Φ)的情形下，{Φ∗(ei(o))} 即TpM的一组基，通常写作 ∂ ∂xi . 7/12

Course notes@hhu·注意TpM的定义不依赖于坐标卡（但在本讲义中依赖于M所在的外部空间RN：事实上也不需要依赖于其所处的外部空间，但为了避免引入过多数学概念，这里不对此做精确说明），因此对于任意的αET,M，它本身也不需要依赖于坐标卡的定义。但是如果要将α具体地表示出来，则需要用到坐标卡。。一般情形下不存在全局坐标卡，因此坐标卡一般只能表示曲面的一部分的坐标。4.6光滑向量场TM一个映射α：M一UT,M如果满足对任意的pEM都有α(p)ET,M，则称α为M上的一PEM个向量场。设pEM，(Up,Φ)是p附近的一个坐标卡。坐标卡(U,,Φ）覆盖了p点附近所有的点。假如p’也被该坐标卡覆盖，则【景】也可以看成TM的一组基向量。因此TpM中的元素也可以d写成aiax的形式。其中ai依赖于p,因此a;其实是a;(p')，一个依赖于p的函数。i对任意的被该坐标卡覆盖的点p，如果展开式a(p)=a(p)量中a(p）都是该坐标卡覆盖axi范围内的光滑函数，则称α在p处光滑。如果对任意的pEM，α都在p处光滑，则称α是M上的一个光滑向量场，或称之为UTpM中的一个光滑截面。UTpM中所有光滑截面的集合记PEMPEM为TM，称为切向量丛。作业4.2.问题：TM也是R上的线性空间，其维数是多少？是否为m？写明原因，4.7中在基向量（最：1≤i≤m)和(：1≤j≤n)下的表示；链式法则设RN中的m维曲面M和n维曲面N，Φ：M→N是一个光滑映射，pEM,q=Φ(p)。给定p附近的坐标卡(u,Φ)，q附近的坐标卡(ua,)。用x=(xl,,xm）表示u,中点的坐标，用y=(y,…,y"）表示u，中点的坐标。我们已知TpM有基向量最)，TqN有基向量【最，我们.=中的系数。要计算展并式()一二叫j设1：[0,1] →Cm满足(0)=0m，且=e;(om),则2=Φo1 :[0,1] →M满0足2(0) = p,且a(2 / ~。= Φ (e;(om) = 最P记f=-1。中Φ：Cm—→Cn.由于f，y可以看成x的函数。考虑3=-1ΦoΦo1=f 0 1:[0,1] → Cn,则_afid3(t)/(25)=axiej(on)dt因此(e;(on) =2)=fu(26)+(axLaxiaxiay8/12

Course notes@hhu • 注意TpM 的定义不依赖于坐标卡（但在本讲义中依赖于M 所在的外部空间RN ；事实上也不需要依赖于其所处的外部空间，但为了避免引入过多数学概念，这里不对此做精确说明），因此对于任意的α ∈ TpM，它本身也不需要依赖于坐标卡的定义。但是如果要将α 具体地表示出来，则需要用到坐标卡。 • 一般情形下不存在全局坐标卡，因此坐标卡一般只能表示曲面的一部分的坐标。 4.6 光滑向量场TM 一个映射α : M −→ [ p∈M TpM 如果满足对任意的p ∈ M 都有α(p) ∈ TpM，则称α 为M 上的一个向量场。设p ∈ M，(Up, Φ)是p 附近的一个坐标卡。坐标卡(Up, Φ) 覆盖了p 点附近所有的点。假如p ′ 也被该坐标卡覆盖，则{ ∂ ∂x i } 也可以看成Tp ′M 的一组基向量。因此Tp ′M 中的元素也可以写成∑ i ai ∂ ∂x i 的形式。其中ai 依赖于p ′ , 因此ai 其实是ai(p ′ ), 一个依赖于p ′ 的函数。对任意的被该坐标卡覆盖的点p ′，如果展开式α(p ′ ) = ∑ i ai(p ′ ) ∂ ∂x i 中ai(p ′ ) 都是该坐标卡覆盖范围内的光滑函数，则称α 在p 处光滑。如果对任意的p ∈ M, α 都在p 处光滑，则称α 是M 上的一个光滑向量场，或称之为 [ p∈M TpM 中的一个光滑截面。 [ p∈M TpM 中所有光滑截面的集合记为TM，称为切向量丛。作业4.2. 问题：TM 也是R 上的线性空间，其维数是多少？是否为m？写明原因。 4.7 ϕ∗ 在基向量{ ∂ ∂xi : 1 ≤ i ≤ m} 和{ ∂ ∂yj : 1 ≤ j ≤ n} 下的表示; 链式法则设RN 中的m 维曲面M 和n 维曲面N，ϕ : M −→ N 是一个光滑映射，p ∈ M, q = ϕ(p)。给定p 附近的坐标卡(Up, Φ)，q 附近的坐标卡(Uq, Ψ)。用x = (x 1 , ., x m) 表示Up 中点的坐标，用y = (y 1 , ., y n ) 表示Uq 中点的坐标。我们已知TpM 有基向量{ ∂ ∂x i }，TqN 有基向量{ ∂ ∂y j }，我们要计算展开式ϕ∗( ∂ ∂x i) = ∑ j aij ∂ ∂y j 中的系数。设γ1 : [0, 1] −→ Cm 满足γ1(0) = om，且 dγ1(t) dt t=0 = ei(om)，则γ2 = Φ ◦ γ1 : [0, 1] −→ M 满足γ2(0) = p, 且 dγ2(t) dt t=0 = Φ∗(ei(om)) = ∂ ∂x i。记f = Ψ−1 ◦ ϕ ◦ Φ : Cm −→ Cn. 由于f，y 可以看成x 的函数。考虑γ3 = Ψ−1 ◦ ϕ ◦ Φ ◦ γ1 = f ◦ γ1 : [0, 1] −→ Cn，则 dγ3(t) dt t=0 = ∂ f j ∂x i ej(on) (25) 因此 ϕ∗( ∂ ∂x i ) = ∑ j ∂ f j ∂x i Ψ∗(ej(on)) = ∑ j ∂ f j ∂x i ∂ ∂y j (26) 8/12

Course notes@hhu 由于坐标卡中的点可以和p (或q )附近的点一一对应，有时ϕ 直接定义为坐标卡之间的映射，此时f = ϕ，上式也可写为ϕ∗( ∂ ∂x i) = ∑ j ∂y j ∂x i ∂ ∂y j。 4.8 余切空间T ∗ pM , Vk T ∗ pM 对于p ∈ M，其余切空间为TpM 的对偶空间，用T ∗ pM 表示。若(Up, Φ) 是p 附近的一个坐标卡，以x = (x 1 , ., x m) 表示其坐标，则{ ∂ ∂x i } 为TpM 的一组基向量，其对偶基记为{dxi}。根据张量代数的理论，{dxi1 ∧ · · · ∧ dxik : 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ m} 是 Vk T ∗ pM 的一组基。 4.9 拉回映射ϕ ∗ 对于ϕ : M −→ N , p ∈ M, q = ϕ(p)，我们有切映射ϕ∗ : TpM −→ TqN，以及其对偶映射ϕ ∗ : T ∗ q N −→ T ∗ pM. ϕ ∗ 称之为拉回映射。接下来我们计算ϕ ∗ 在基向量{dyj} 和{dxi} 下的表达式。根据定义 (ϕ ∗ (dyj ))( ∂ ∂x i ) = dyj (ϕ∗( ∂ ∂x i )) = dyj (∑ k ∂y k ∂x i ∂ ∂y k ) = ∑ k ∂y k ∂x i δjk = ∂y j ∂x i (27) 因此 ϕ ∗ (dyj ) = ∑ i ∂y j ∂x i dxi (28) • 上式和微积分中的链式法则有相同的形式。 • 拉回映射ϕ ∗ 可以扩张到 Vk T ∗ pN，此时仍用ϕ ∗ 表示。 • ϕ ∗ (dyi1 ∧ · · · ∧ dyik ) = ϕ ∗ (dyi1 ) ∧ · · · ∧ ϕ ∗ (dyik ) • 若ϕ1 : M −→ N ，ϕ2 : N −→ Q，则ϕ ∗ 1 ◦ ϕ ∗ 2 = (ϕ2 ◦ ϕ1) ∗ . • 若ϕ 可逆，则(ϕ ∗ ) −1 = (ϕ −1 ) ∗ 作业4.3. 若m < n, 证明：ϕ ∗ (dy1 ∧ · · · ∧ dyn ) = 0。作业4.4. 若m = n, 证明：ϕ ∗ (dy1 ∧ · · · ∧ dyn ) = det ∂(y 1 ,.,y n ) ∂(x 1 ,.,x n) dx1 ∧ · · · ∧ dxn。 4.10 微分形式类似于TM 是 [ p∈M 中的光滑截面构成的集合, 我们同样可以定义 Vk T ∗M 为 [ p∈M ^ k T ∗ pM 中所有光滑截面构成的集合。ϕ ∗ 自然地推广为ϕ ∗ : Vk T ∗N −→ Vk T ∗M. Vk T ∗M 中的元素即曲面M 上的k−阶微分形式。 9/12