附录附录A三角剖分和Euler数我们考虑紧致黎曼曲面M.M上的闭集T称为一个三角形，如果它是平面C上某个三角形的拓扑像.这时，平面三角形顶点的像称为T的顶点，边的像也称为边.如果有限个三角形T)组成了M的一个覆盖，且其中两个三角形T，T，要么不相交，要么交于某个顶点，要么交于某条边，则称（T）为M的一个三角剖分.容易看出，黎曼球面上存在很多三角剖分命题5.6.2.紧致黎曼曲面总存在三角剖分证明.设M为紧致黎曼曲面，取M上的非常值亚纯函数f：M→S,取S的一个三角剖分，使得f的分歧点的像均为该三角剖分的顶点，于是S的这个三角部分中的三角形在于下的原像仍为三角形，从而S的这个三角部分经过于拉回后口成为M的一个三角剖分给定M的一个三角剖分，记其顶点的个数为V，边的个数为E，三角形（面)的个数为F，定义X=F-E+V.根据初等的代数拓扑学，我们知道X是一个拓扑不变量，它不依赖于M的三角部分的选取，称为M的Euler数，下面我们来计算此Euler数容易算出，黎曼球面的Euler数为2对于一般的紧致黎曼曲面M由于X不依赖于三角部分的选取，因此我们采用上面命题中的三角剖分设S上的三角剖分有V个顶点，E'条边和F'个面.设f的重数为n，则由于s的三角形内的点在M上有n个不同的原像，因此M的拉回剖分有F=nF"个面；同理，拉回剖分有E=nE条边.设q为S的三角剖分的顶点，则其原像个数为n-B.，其中Ba=Z bp(f).pef-i(a)因此拉回分顶点个数为V = nV'-EB = nV"- Bf4利用Riemann-Hurwitz定理，有X = F- E + V= n(F' - E' + V') - Bf = 2n -[(2g - 2) - n(0 - 2)] = 2 - 2g其中g为M的亏格185
附录 附录 A 三角剖分和 Euler 数 我们考虑紧致黎曼曲面 M. M 上的闭集 T 称为一个三角形, 如果它是平面 C 上某个三角形的拓扑像. 这时, 平面三角形顶点的像称为 T 的顶点, 边的像也称为 边. 如果有限个三角形 tTiu 组成了 M 的一个覆盖, 且其中两个三角形 Ti , Tj 要么 不相交, 要么交于某个顶点, 要么交于某条边, 则称 tTiu 为 M 的一个三角剖分. 容 易看出, 黎曼球面上存在很多三角剖分. 命题 5.6.2. 紧致黎曼曲面总存在三角剖分. 证明. 设 M 为紧致黎曼曲面, 取 M 上的非常值亚纯函数 f : M Ñ S, 取 S 的 一个三角剖分, 使得 f 的分歧点的像均为该三角剖分的顶点. 于是 S 的这个三角 剖分中的三角形在 f 下的原像仍为三角形, 从而 S 的这个三角剖分经过 f 拉回后 成为 M 的一个三角剖分. 给定 M 的一个三角剖分, 记其顶点的个数为 V , 边的个数为 E, 三角形 (面) 的个数为 F, 定义 χ “ F ´ E ` V, 根据初等的代数拓扑学, 我们知道 χ 是一个拓扑不变量, 它不依赖于 M 的三角剖 分的选取, 称为 M 的 Euler 数, 下面我们来计算此 Euler 数. 容易算出, 黎曼球面 的 Euler 数为 2. 对于一般的紧致黎曼曲面 M, 由于 χ 不依赖于三角剖分的选取, 因此我们采 用上面命题中的三角剖分. 设 S 上的三角剖分有 V 1 个顶点, E1 条边和 F 1 个面. 设 f 的重数为 n, 则由于 S 的三角形内的点在 M 上有 n 个不同的原像, 因此 M 的拉回剖分有 F “ nF1 个面; 同理, 拉回剖分有 E “ nE1 条边. 设 q 为 S 的三角 剖分的顶点, 则其原像个数为 n ´ Bq, 其中 Bq “ ÿ pPf´1pqq bppfq. 因此拉回剖分顶点个数为 V “ nV 1 ´ ÿ q Bq “ nV 1 ´ Bf . 利用 Riemann-Hurwitz 定理, 有 χ “ F ´ E ` V “ npF 1 ´ E 1 ` V 1 q ´ Bf “ 2n ´ rp2g ´ 2q ´ np0 ´ 2qs “ 2 ´ 2g, 其中 g 为 M 的亏格. 185
附录 B186附录BHodge定理的证明我们在这个附录中给出第五章中Hodge定理的证明.设L是紧致黎曼曲面M上的全纯线丛，我们在前面已经证明过，调和形式的空间H(L）是有限维的，因此存在投影H：A(L)→H(L)，使得对任意的αEA(L)，均有(α - Ho,T) = 0, VTEH(L)即-HEH-(L),其中H-(L) = (α EA(L)I(α, T) = 0, V TEH(L))我们要证明，任给αEH-(L),存在TEA(L)，使得T = 0.这个问题之所以有解，是因为口是一个“椭圆”算子，求解的基本步骤是，先找一个“弱解”，然后逐步提升解的正则性从而最终得到光滑解，为此我们在比光滑形式的空间A(L）更大的一类空间中考虑问题，即要考虑L值微分形式的Sobolev空间，它们是A(L)在某种范数下的完备化.设EA(L),令[olo = [(o,0)],[·Jo在A(L)中定义了一个范数，A(L)在此范数下的完备化是一个Hilbert空间记为Ho(L).考虑A(L)中的算子P=+9,令loll =[(o,o) + (Pa, Po)), VE A(L)I·I1在A(L)中也定义了一个范数，A(L)在此范数下的完备化记为H1(L)。对于s≥1，我们递归地定义范数」·s+1如下Jo]s+1 =[o +[Po], V A(L),A(L)在范数·Is+1下的完备化记为Hs+1(L)这些空间H。(L)统称为线丛L上的Sobolev空间，由范数的定义可知... C Hs+1(L) C H.(L) C ... C Hi(L) C Ho(L)对于k≥0,记Ck(L)为Ck的L值微分形式全体组成的线性空间。设αEHo(L),如果存在 ECk(L)使得Ja-Tlo=0,则称ECk(L)或=TEC*(L)设n≥1,EHo(L),如果存在eHo(L)使得(o',T) = (o, PnT), VTE A(L)
186 附录 B 附录 B Hodge 定理的证明 我们在这个附录中给出第五章中 Hodge 定理的证明. 设 L 是紧致黎曼曲面 M 上的全纯线丛, 我们在前面已经证明过, 调和形式的空间 HpLq 是有限维的, 因此存 在投影 H : ApLq Ñ HpLq, 使得对任意的 σ P ApLq, 均有 pσ ´ Hσ, τ q “ 0, @ τ P HpLq. 即 σ ´ Hσ P HKpLq, 其中 HKpLq “ tσ P ApLq | pσ, τ q “ 0, @ τ P HpLqu. 我们要证明, 任给 σ P HKpLq, 存在 τ P ApLq, 使得 τ “ σ. 这个问题之所以有解, 是因为 是一个 “椭圆” 算子. 求解的基本步骤是, 先找一 个 “弱解”, 然后逐步提升解的正则性从而最终得到光滑解. 为此我们在比光滑形 式的空间 ApLq 更大的一类空间中考虑问题, 即要考虑 L 值微分形式的 Sobolev 空 间, 它们是 ApLq 在某种范数下的完备化. 设 σ P ApLq, 令 |σ|0 “ rpσ, σqs 1 2 , | ¨ |0 在 ApLq 中定义了一个范数, ApLq 在此范数下的完备化是一个 Hilbert 空间, 记为 H0pLq. 考虑 ApLq 中的算子 P “ ¯B ` ϑ, 令 |σ|1 “ rpσ, σq ` pP σ, P σqs 1 2 , @ σ P ApLq. | ¨ |1 在 ApLq 中也定义了一个范数, ApLq 在此范数下的完备化记为 H1pLq. 对于 s ě 1, 我们递归地定义范数 | ¨ |s`1 如下 |σ|s`1 “ r|σ| 2 0 ` |P σ| 2 s s 1 2 , @ σ P ApLq, ApLq 在范数 | ¨ |s`1 下的完备化记为 Hs`1pLq. 这些空间 HspLq 统称为线丛 L 上 的 Sobolev 空间, 由范数的定义可知 ¨ ¨ ¨ Ă Hs`1pLq Ă HspLq Ă ¨ ¨ ¨ Ă H1pLq Ă H0pLq. 对于 k ě 0, 记 C k pLq 为 C k 的 L 值微分形式全体组成的线性空间. 设 σ P H0pLq, 如果存在 τ P C k pLq 使得 |σ ´ τ |0 “ 0, 则称 σ P C k pLq 或 σ “ τ P C k pLq. 设 n ě 1, σ P H0pLq, 如果存在 σ 1 P H0pLq 使得 pσ 1 , τ q “ pσ, P n τ q, @ τ P ApLq,
附录B187则称在弱的意义下Pn存在，记为Png=(弱).显然，如果EC(L),n≥1,则在弱的意义下的Pnα跟通常意义下的微分算子的作用是一致的，因此在不引起混淆时我们可把“弱”字省去.我们有如下几个重要的引理：引理5.6.3.Hs+1(L)=H+1(L)=(α EH(L)/PEH(L)),Vs≥0.并且[o+1 = [o + [Po?引理5.6.4(Rellich).包含映射i：Hi(L)→Ho(L)为紧算子引理 5.6.5 (Sobolev). H2+s(L) cC(L), V s ≥0.我们先假定上面的三个引理是成立的，下面用它们来推导Hodge定理，首先，由Rellich引理可以重新证明H(L）是有限维的：事实上，如果H(L）不是有限维的，则存在一列在内积（）下规范正交的(α)CA(L),P,=0.此时=+P2==1因而由Rellich引理，(o)在Ho(L)中存在Cauchy收敛子列,但这和[o;-o,l=2,ii相矛盾下面继续证明Hodge定理.我们有引理 5.6.6 (Weyl). (1)设 α e Ho(L), P E A(L), 则 E A(L);(2)设GEH(L),EA(L),则EA(L).证明.(1)设gEHo(L),PEA(L)CHo(L)，由引理5.6.3,EHi(L).现在仍由PaEA(L)CHi(L)得α EH2(L).由此类推,最后得GEH(L), Vs≥O由Sobolev引理知gECk(L), Vk≥0.即EA(L)(2)设 EHi(L), EA(L),则 PαEHo(L), P(Po)=αEA(L). 由 (1)知口PαEA(L),再用一次(1)知EA(L)这个引理也称为算子P和=P2的正则性引理。特别地，如果αEHo(L),P=0或=0,则 EA(L)引理5.6.7.存在正常数c，使得(Po, Po) ≥c(a,o), V αeH-(L)
附录 B 187 则称在弱的意义下 P nσ 存在, 记为 P nσ “ σ 1 (弱). 显然, 如果 σ P C npLq, n ě 1, 则 在弱的意义下的 P nσ 跟通常意义下的微分算子的作用是一致的, 因此在不引起混 淆时我们可把 “弱” 字省去. 我们有如下几个重要的引理: 引理 5.6.3. Hs`1pLq “ H1 s`1 pLq “ tσ P HspLq | P σ P HspLqu, @ s ě 0. 并且 |σ| 2 s`1 “ |σ| 2 0 ` |P σ| 2 s . 引理 5.6.4 (Rellich). 包含映射 i : H1pLq Ñ H0pLq 为紧算子. 引理 5.6.5 (Sobolev). H2`spLq Ă C s pLq, @ s ě 0. 我们先假定上面的三个引理是成立的, 下面用它们来推导 Hodge 定理. 首先, 由 Rellich 引理可以重新证明 HpLq 是有限维的: 事实上, 如果 HpLq 不是有限维的, 则存在一列在内积 p,q 下规范正交的 tσiu Ă ApLq, P σi “ 0. 此时 |σi | 2 1 “ |σi | 2 ` |P σi | 2 “ |σi | 2 “ 1, 因而由 Rellich 引理, tσiu 在 H0pLq 中存在 Cauchy 收敛子列, 但这和 |σi ´σj | 2 0 “ 2, i ‰ j 相矛盾. 下面继续证明 Hodge 定理. 我们有 引理 5.6.6 (Weyl). p1q 设 σ P H0pLq, P σ P ApLq, 则 σ P ApLq; p2q 设 σ P H1pLq, σ P ApLq, 则 σ P ApLq. 证明. p1q 设 σ P H0pLq, P σ P ApLq Ă H0pLq, 由引理 5.6.3, σ P H1pLq. 现在仍 由 P σ P ApLq Ă H1pLq 得 σ P H2pLq. 由此类推, 最后得 σ P HspLq, @ s ě 0. 由 Sobolev 引理知 σ P C k pLq, @ k ě 0. 即 σ P ApLq. p2q 设 σ P H1pLq, σ P ApLq, 则 P σ P H0pLq, PpP σq “ σ P ApLq. 由 p1q 知 P σ P ApLq, 再用一次 p1q 知 σ P ApLq. 这个引理也称为算子 P 和 “ P 2 的正则性引理. 特别地, 如果 σ P H0pLq, P σ “ 0 或 σ “ 0, 则 σ P ApLq. 引理 5.6.7. 存在正常数 c, 使得 pP σ, P σq ě c 2 pσ, σq, @ σ P HKpLq.
附录B188证明.我们用反证法.如果不然，则存在一列oiEH-（L)，使得(oioi)=l, (Poi,Po)-→0, i-→00这说明(o)在Hi(L)中为有界点列.由Rellich引理，存在(oi)的子列，仍记为(αi),在Ho(L)中收敛，记其极限为a.对任意TEA(L),有I(, Pr)[ = lim [(oi, P)= lim I(Pos,T)l≤ lim |Poilo· I-lo= 0.这说明Po=0(弱).由上面的Weyl 引理，αA(L)，从而αEH(L).又由αiH-(L)得(o,0) = lim (o,0:) = lim 0 = 0,口因此=0.但这跟(i,i)=1以及αi在Ho(L)中收敛于α相矛盾这个引理表明，在H+(L）上我们可以定义范数I·[P[olp = (Po, Po),并且范数I·Ip和I·I等价.我们把H-(L)在范数I·Ip下的完备化记为H+(L)CHi(L),这是一个Hilbert空间，其内积记为[]引理5.6.8.□:H(L)→H(L)为线性同构，且其逆-1满足[□-1010 ≤ c1]010.证明.首先，如果αEA(L)，则(o,T) = (α,T) = (α, 0) = 0, V TEH(L)因此EH-(L).其次，如果EH-(L),=0,则EH(L),从而=0.这说明口为单射为了说明口为满射，给定EH-(L),我们在H-(L)定义如下线性泛函p:p(f) = (f,T), V feH+(L)由刚才的引理，I()[ = 1(f,)|≤Iflo -Ilo ≤c-lolflp
188 附录 B 证明. 我们用反证法. 如果不然, 则存在一列 σi P HKpLq, 使得 pσi , σiq “ 1, pP σi , P σiq Ñ 0, i Ñ 8. 这说明 tσiu 在 H1pLq 中为有界点列. 由 Rellich 引理, 存在 tσiu 的子列, 仍记为 tσiu, 在 H0pLq 中收敛, 记其极限为 σ. 对任意 τ P ApLq, 有 |pσ, P τ q| “ lim iÑ8 |pσi , P τ q| “ lim iÑ8 |pP σi , τ q| ď lim iÑ8 |P σi |0 ¨ |τ |0 “ 0. 这说明 P σ “ 0(弱). 由上面的 Weyl 引理, σ P ApLq, 从而 σ P HpLq. 又由 σi P HKpLq 得 pσ, σq “ lim iÑ8 pσ, σiq “ lim iÑ8 0 “ 0, 因此 σ “ 0. 但这跟 pσi , σiq “ 1 以及 σi 在 H0pLq 中收敛于 σ 相矛盾. 这个引理表明, 在 HKpLq 上我们可以定义范数 | ¨ |P , |σ|P “ pP σ, P σq 1 2 , 并且范数 | ¨ |P 和 | ¨ |1 等价. 我们把 HKpLq 在范数 | ¨ |P 下的完备化记为 HKpLq Ă H1pLq, 这是一个 Hilbert 空间, 其内积记为 r,s. 引理 5.6.8. : HKpLq Ñ HKpLq 为线性同构, 且其逆 ´1 满足 | ´1σ|0 ď c ´1 |σ|0. 证明. 首先, 如果 σ P ApLq, 则 p σ, τ q “ pσ, τ q “ pσ, 0q “ 0, @ τ P HpLq. 因此 σ P HKpLq. 其次, 如果 σ P HKpLq, σ “ 0, 则 σ P HpLq, 从而 σ “ 0. 这说 明 为单射. 为了说明 为满射, 给定 τ P HKpLq, 我们在 HKpLq 定义如下线性泛函 φ: φpfq “ pf, τ q, @ f P HKpLq. 由刚才的引理, |φpfq| “ |pf, τ q| ď |f|0 ¨ |τ |0 ď c ´1 |τ |0|f|P .
附录B189因此为H-（L）上的有界线性泛函，它可以惟一地延拓为H-（L）上的有界线性泛函，仍记为根据Riesz表示定理，存在αEH(L)，使得p(f) =[f,o], Vf e H-(L).特别地，(f,) =(f,o), V feH-(L)因为TEH+（L)，故上式对任意fEA(L）也成立.这意味着α = T(弱)口由Weyl引理，αEA(L).这说明为满射现在我们定义如下线性算子G: A(L) →A(L)α - -l(α-Ho)其中H：A(L)→H(L)为投影，因此α-HαEH-(L)我们证明G为紧算子.设(o)CA(L),la;lo≤1,Vi.由Rellich引理，我们只要证明(Go)在Hi(L)中有界即可.事实上，Goli=(Got,Go)+(PGoi,PGo)=(-1(o,-Ho,),-1(o-Ho,)) + (-1(o,-Ho,),-1(o,-Ho,)≤c-Joi-Hal + ai-Hailo-(oi-Ha)lo≤c-2+c-1.这说明G的确为紧算子.现在，任给αEA(L)，有Go =-1(α-Ho) = α -Ho,即a=Ho+Go.这说明我们有正交分解A(L)=H(L)④口GA(L)最后说明G=G,G=G.以前者为例，注意到H(L)H(L),GA(L)H-(L),因此有Gaa=Ga(Ha+Go)=GG=GaGo=aGo下面我们来给出引理5.6.3，5.6.4，5.6.5的证明.这些证明依赖于一个光滑化的算子.我们有
附录 B 189 因此 φ 为 HKpLq 上的有界线性泛函, 它可以惟一地延拓为 HKpLq 上的有界线性 泛函, 仍记为 φ. 根据 Riesz 表示定理, 存在 σ P HKpLq, 使得 φpfq “ rf, σs, @ f P HKpLq. 特别地, pf, τ q “ p f, σq, @ f P HKpLq. 因为 τ P HKpLq, 故上式对任意 f P ApLq 也成立. 这意味着 σ “ τ p弱q. 由 Weyl 引理, σ P ApLq. 这说明 为满射. 现在我们定义如下线性算子 G : ApLq Ñ ApLq σ ÞÑ ´1 pσ ´ Hσq. 其中 H : ApLq Ñ HpLq 为投影, 因此 σ ´ Hσ P HKpLq. 我们证明 G 为紧算子. 设 tσiu Ă ApLq, |σi |0 ď 1, @ i. 由 Rellich 引理, 我们只要证明 tGσiu 在 H1pLq 中有界 即可. 事实上, |Gσi | 2 1 “ pGσi , Gσiq ` pP Gσi , P Gσiq “ p ´1 pσi ´ Hσiq, ´1 pσi ´ Hσiqq ` p´1 pσi ´ Hσiq, ´1 pσi ´ Hσiqq ď c ´2 |σi ´ Hσi | 2 0 ` |σi ´ Hσi |0| ´1 pσi ´ Hσiq|0 ď c ´2 ` c ´1 . 这说明 G 的确为紧算子. 现在, 任给 σ P ApLq, 有 Gσ “ ´1 pσ ´ Hσq “ σ ´ Hσ, 即 σ “ Hσ ` Gσ. 这说明我们有正交分解 ApLq “ HpLq ‘ GApLq. 最后说明 G¯B “ ¯BG, Gϑ “ ϑG. 以前者为例, 注意到 ¯BHKpLq Ă HKpLq, GApLq Ă HKpLq, 因此有 G¯Bσ “ G¯BpHσ ` Gσq “ G¯B Gσ “ G¯BGσ “ ¯BGσ. 下面我们来给出引理 5.6.3, 5.6.4, 5.6.5 的证明. 这些证明依赖于一个光滑化 的算子. 我们有
附录B190.设gEH+1(L),则存在(o)CA(L),使得[o; - 0+1 → 0, i 00.由|·ls+1的定义知(Pai)在H。(L)中为Cauchy列,其极限即为Pa(弱).这说明Hs+1(L)c (αEH(L)/PoEH.(L))如果f eA°(M)为M上的光滑函数，则对任意的αEH。(L),有faEH(L)且Ifal≤c(f)lols其中c(f)是由f决定的常数取C上的光滑截断函数：C→R,使得中≥0(2)=0,VzEC-D;任给>0,令ge(2) = 0设U为C中有界开集，令Se: L2(U) → L?(C)V-1Se(f)(z) =e(z-w)f(w)dwdi2J其中f在U之外定义为零.不难看出Se(f）总是C上的光滑函数现在我们取定M的一个有限坐标邻域的覆盖（U)，使得L在每个开集Uk上都有局部平凡化，因此也有处处非零的全纯截面sk：设（pk）是M上从属于开覆盖(U)的光滑单位分解.设αEHo(L)则0-E pko -ZokPask.其中当。=1,dzk，d或2,而n为M的体积形式.今Se(o) = Se(ok)Pask:k则 Se(o) e A(L), 且*S(o) = Se(*0).这样我们就定义了线性算子Se: Ho(L) → A(L))这个算子称为光滑化算子，它具有如下性质
190 附录 B • 设 σ P Hs`1pLq, 则存在 tσiu Ă ApLq, 使得 |σi ´ σ|s`1 Ñ 0, i Ñ 8. 由 | ¨ |s`1 的定义知 tP σiu 在 HspLq 中为 Cauchy 列, 其极限即为 P σ(弱). 这 说明 Hs`1pLq Ă tσ P HspLq | P σ P HspLqu. • 如果 f P A0 pMq 为 M 上的光滑函数, 则对任意的 σ P HspLq, 有 fσ P HspLq, 且 |fσ|s ď cpfq|σ|s, 其中 cpfq 是由 f 决定的常数. • 取 C 上的光滑截断函数 ϕ : C Ñ R, 使得 ϕ ě 0; ϕpzq “ 0, @ z P C ´ D; ż C ϕ “ 1. 任给 ϵ ą 0, 令 ϕϵpzq “ 1 ϵ ϕp z ϵ q. 设 U 为 C 中有界开集, 令 Sϵ : L 2 pUq Ñ L 2 pCq Sϵpfqpzq “ ? ´1 2 ż C ϕϵpz ´ wqfpwqdw ^ dw, ¯ 其中 f 在 U 之外定义为零. 不难看出 Sϵpfq 总是 C 上的光滑函数. 现在我们取定 M 的一个有限坐标邻域的覆盖 tUku, 使得 L 在每个开集 Uk 上都 有局部平凡化, 因此也有处处非零的全纯截面 sk. 设 tρku 是 M 上从属于开覆盖 tUku 的光滑单位分解. 设 σ P H0pLq, 则 σ “ ÿ k ρkσ “ ÿ k σkφσsk, 其中当 φσ “ 1, dzk, dz¯k 或 Ω, 而 Ω 为 M 的体积形式. 令 Sϵpσq “ ÿ k Sϵpσkqφσsk, 则 Sϵpσq P ApLq, 且 ˚Sϵpσq “ Sϵp˚σq. 这样我们就定义了线性算子 Sϵ : H0pLq Ñ ApLq. 这个算子称为光滑化算子, 它具有如下性质
附录B191引理5.6.9.Se：Ho(L)→Ho(L)为紧算子证明根据定义以及上面的讨论，我们只需证明，如果U为C中有界开集，0;L?(U),Julo;P≤c,则(Se(α))为C中一致有界且等度连续的函数.事实上 e(2 - w)o:/ ≤c [pelL(c)[Se(α)(2)/ ≤这说明(Se(,)是一致有界的.又[Se(α:)(z) - Se(oi)(2)[ ≤ Supl0ellz - 2/ Joi≤Suplllz-2cVol(U)等度连续性也得到了证明，因此由Ascoli-Arzela定理，(S.(o,)有一致收敛子列，特口别地在L2(C)中有收敛子列在证明下一条性质之前，我们先写出算子P的局部表达式，当EA(L)时dokdksk;P = + = azk当EAL0(L)时dokP=+==dzkdzkOzk当EA0,1(L)时Pg=(okdzksk)-*D'*(ondzusk)=-VI(dzk A dsk +odxAOksk)azk00k)ski= 2h-(ok -azk当EAI(L)时,okKdzk+ok)sk.Pg=aa+g=0a=-V-1(azk引理5.6.10.对s≥0,有(1)。ISe(o) -ols-→0, -→0, VgE H,(L);(2)s |PSe(o) - Se(Po)ls → 0, E→ 0, VE H+1(L);证明.我们可以假设α的支集含于某一个局部坐标邻域内，此时。可以写为G=OkPask
附录 B 191 引理 5.6.9. Sϵ : H0pLq Ñ H0pLq 为紧算子. 证明. 根据定义以及上面的讨论, 我们只需证明, 如果 U 为 C 中有界开集, σi P L 2 pUq, ş U |σi | 2 ď c, 则 tSϵpσiqu 为 C 中一致有界且等度连续的函数. 事实上 |Sϵpσiqpzq| ď ż C ϕϵpz ´ wq|σi | ď c 1 2 |ϕϵ|L2pCq , 这说明 tSϵpσiqu 是一致有界的. 又 |Sϵpσiqpzq ´ Sϵpσiqpz 1 q| ď Sup|ϕ 1 ϵ ||z ´ z 1 | ż U |σi | ď Sup|ϕ 1 ϵ ||z ´ z 1 |c 1 2 VolpUq 1 2 . 等度连续性也得到了证明, 因此由 Ascoli-Arzela 定理, tSϵpσiqu 有一致收敛子列, 特 别地在 L 2 pCq 中有收敛子列. 在证明下一条性质之前, 我们先写出算子 P 的局部表达式. 当 σ P A0 pLq 时, P σ “ ¯Bσ ` ϑσ “ ¯Bσ “ Bσk Bz¯k dz¯ksk; 当 σ P A1,0 pLq 时, P σ “ ¯Bσ ` ϑσ “ ¯Bσ “ Bσk Bz¯k dz¯k ^ dzksk; 当 σ P A0,1 pLq 时, P σ “ ¯Bpσkdz¯kskq ´ ˚D1 ˚ pσkdz¯kskq “ ´? ´1 ˚ pBσk Bzk dzk ^ dz¯ksk ` σkdz¯k ^ θkskq “ 2h ´1 k pσk ´ Bσk Bzk qsk; 当 σ P A1,1 pLq 时, P σ “ ¯Bσ ` ϑσ “ ϑσ “ ´? ´1p Bσk Bzk dzk ` σkθkqsk. 引理 5.6.10. 对 s ě 0, 有 p1qs |Sϵpσq ´ σ|s Ñ 0, ϵ Ñ 0, @ σ P HspLq; p2qs |P Sϵpσq ´ SϵpP σq|s Ñ 0, ϵ Ñ 0, @ σ P H1 s`1 pLq; 证明. 我们可以假设 σ 的支集含于某一个局部坐标邻域内, 此时 σ 可以写为 σ “ σkφσsk.
192附录B当s=0时，利用Schwarz不等式有[Se(0)I = [(S(x)Pask≤ cS(ok)I22(C)e(2)ok(z-w)2≤c / [ o(u)lox(2 - w)P [0(2)Jc- () lo(= - u)P=c / (u)ol/2(c) ≤ clol.任给>0.取eA(L),使得Ja - 0'lo <8,则有ISe() -olo≤|Se(α -')lo + IS(o') -lo + Jo'-olo≤co'-olo++Se()-a'lo≤ (c+1)+ Se() -0'lo当g'eA(L)时,由定义容易证明，当 →0时,Se(α)在Co(L)中一致收敛到,因此上式说明Se()-lo -→0, VEHo(L)设eHo(L),PgEHo(L)，利用上面算子P的局部表达式以及分部积分不难证明，存在与α有关的fi,f2EA(M）以及Ti,T2EH(L)，使得[PSe() -Se(Po)lo ≤ IfiSe(T1) -Se(fiT)lo +If2Se(PT2) -Se(f2PT2)lo≤fiSe()-fitilo+IfiT-Se(fin)lo+/f2S(PT2)-f2PT2lo+/f2PT2-S(f2PT2)l≤ cSe() -Tilo + IfiT1 - Se(fi)lo+ c|Se(PT2)-PT2lo + If2T2-Se(f2T2)lo→0这就证明了(1)。和(2)o.设(1)。和(2)。成立，则(1)s+1:当EHs+1(L)时，由(1)0,(1)和(2)s，有[Se(α) -αls+1 ≤ JSe(α) -olo + |PSe() - Pols≤ [Se(α) -olo +[PSe() - Se(Po)ls+ISe(Po) - Pols -→ 0
192 附录 B 当 s “ 0 时, 利用 Schwarz 不等式有 |Sϵpσq|2 0 “ |pSϵpσkqqφσsk| 2 0 ď c|Sϵpσkq|2 L2pCq “ c ż C | ż C ϕϵpzqσkpz ´ wq|2 ď c ż C ż C ϕϵpwq|σkpz ´ wq|2 ż C ϕϵpzq “ c ż C ϕϵpwq ż C |σkpz ´ wq|2 “ c ż C ϕϵpwq|σk| 2 L2pCq ď c|σ| 2 0 . 任给 δ ą 0, 取 σ 1 P ApLq, 使得 |σ ´ σ 1 |0 ă δ, 则有 |Sϵpσq ´ σ|0 ď |Sϵpσ ´ σ 1 q|0 ` |Sϵpσ 1 q ´ σ 1 |0 ` |σ 1 ´ σ|0 ď c|σ 1 ´ σ|0 ` δ ` |Sϵpσ 1 q ´ σ 1 |0 ď pc ` 1qδ ` |Sϵpσ 1 q ´ σ 1 |0. 当 σ 1 P ApLq 时, 由定义容易证明, 当 ϵ Ñ 0 时, Sϵpσ 1 q 在 C 0 pLq 中一致收敛到 σ 1 , 因此上式说明 |Sϵpσq ´ σ|0 Ñ 0, @ σ P H0pLq. 设 σ P H0pLq, P σ P H0pLq, 利用上面算子 P 的局部表达式以及分部积分不难 证明, 存在与 σ 有关的 f1, f2 P A0 pMq 以及 τ1, τ2 P H1 1 pLq, 使得 |P Sϵpσq ´ SϵpP σq|0 ď |f1Sϵpτ1q ´ Sϵpf1τ1q|0 ` |f2SϵpP τ2q ´ Sϵpf2P τ2q|0 ď |f1Sϵpτ1q ´ f1τ1|0 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|0 ` |f2SϵpP τ2q ´ f2P τ2|0 ` |f2P τ2 ´ Sϵpf2P τ2q|0 ď c|Sϵpτ1q ´ τ1|0 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|0 ` c|SϵpP τ2q ´ P τ2|0 ` |f2τ2 ´ Sϵpf2τ2q|0 Ñ 0. 这就证明了 p1q0 和 p2q0. 设 p1qs 和 p2qs 成立, 则 p1qs`1: 当 σ P Hs`1pLq 时, 由 p1q0, p1qs 和 p2qs, 有 |Sϵpσq ´ σ|s`1 ď |Sϵpσq ´ σ|0 ` |P Sϵpσq ´ P σ|s ď |Sϵpσq ´ σ|0 ` |P Sϵpσq ´ SϵpP σq|s ` |SϵpP σq ´ P σ|s Ñ 0
附录B193(2)s+1:当gEH+2(L)时,由(1)s+1,[PSe(α) -Se(Po)|s+1≤[fiSe(1) - Se(fiT1)/s+1+[f2S(PT2) -Se(f2PT2)/s+1≤IfiSe()-fiTils+1+|fiTi-Se(fiTi)s+1+ If2Se(Pr2) - f2Pr2/s+1 + If2PT2 - Se(f2Pr2)ls+1≤cSe()-Ts+1+Ifi- Se(fi)ls+1+ c|Se(PT2)-PT2ls+1 +If2T2-Se(f2T2)ls+1→0口由数学归纳法知引理对任意s≥0均成立，现在可以给出引理5.6.3的证明了.我们现在只需要证明，任给αEH。(L)，如果PgEH(L),则αEH+1(L)即可.事实上，由(1)和(2)得[PSe(o) -Pos ≤|PSe(α)- Se(Po)/s +|Se(Pa) -Pa-→ 0这说明(S(o))在Hs+1(L)中为Cauchy列，其极限αEHs+i(L)，并且[0]s+1 = [1o +[Po],],这就证明了引理5.6.3.为了证明引理5.6.4,需要将上面的估计做一点改进.我们要证明当αEH1(L)时，(5.14)[Se(α) -olo ≤ ceol1.由上面的讨论知无妨假设αEA(L).我们先考虑C中具有紧支集的光滑函数，设f是这样的函数，其支集含于有界开集U.固定WEC,令gu(2) = f(z + w) - f(2),9w仍为具有紧支集的光滑函数，且"f(z+ tu)dt.%(2+tw)dt+y/9(2) = Aa利用Schwarz不等式得[9u(2)P≤2 %(2+ tu)Pdt + 2 %(≥+tu)Pdt,从而有[1oml2(c) ≤2 at %( +tum)P+2 , dt J%(2+tu)P≤2/1%122(C)
附录 B 193 p2qs`1: 当 σ P H1 s`2 pLq 时, 由 p1qs`1, |P Sϵpσq ´ SϵpP σq|s`1 ď |f1Sϵpτ1q ´ sϵpf1τ1q|s`1 ` |f2SϵpP τ2q ´ Sϵpf2P τ2q|s`1 ď |f1Sϵpτ1q ´ f1τ1|s`1 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|s`1 ` |f2SϵpP τ2q ´ f2P τ2|s`1 ` |f2P τ2 ´ Sϵpf2P τ2q|s`1 ď c|Sϵpτ1q ´ τ1|s`1 ` |f1τ1 ´ Sϵpf1τ1q|s`1 ` c|SϵpP τ2q ´ P τ2|s`1 ` |f2τ2 ´ Sϵpf2τ2q|s`1 Ñ 0. 由数学归纳法知引理对任意 s ě 0 均成立. 现在可以给出引理 5.6.3 的证明了. 我们现在只需要证明, 任给 σ P HspLq, 如 果 P σ P HspLq, 则 σ P Hs`1pLq 即可. 事实上, 由 p1qs 和 p2qs 得 |P Sϵpσq ´ P σ|s ď |P Sϵpσq ´ SϵpP σq|s ` |SϵpP σq ´ P σ|s Ñ 0 这说明 tSϵpσqu 在 Hs`1pLq 中为 Cauchy 列, 其极限 σ P Hs`1pLq, 并且 |σ|s`1 “ r|σ| 2 0 ` |P σ| 2 s s 1 2 . 这就证明了引理 5.6.3. 为了证明引理 5.6.4, 需要将上面的估计做一点改进. 我们要证明当 σ P H1pLq 时, |Sϵpσq ´ σ|0 ď cϵ|σ|1. (5.14) 由上面的讨论知无妨假设 σ P ApLq. 我们先考虑 C 中具有紧支集的光滑函数, 设 f 是这样的函数, 其支集含于有界开集 U. 固定 w P C, 令 gwpzq “ fpz ` wq ´ fpzq, gw 仍为具有紧支集的光滑函数, 且 gwpzq “ x ż 1 0 Bf Bx pz ` twqdt ` y ż 1 0 Bf By pz ` twqdt. 利用 Schwarz 不等式得 |gwpzq|2 ď 2x 2 ż 1 0 | Bf Bx pz ` twq|2 dt ` 2y 2 ż 1 0 | Bf By pz ` twq|2 dt, 从而有 |gw| 2 L2pCq ď 2x 2 ż 1 0 dt ż C | Bf Bx pz ` twq|2 ` 2y 2 ż 1 0 dt ż C | Bf By pz ` twq|2 ď 2|w| 2 | Bf Bz | 2 L2pCq .
194附录B由光滑化算子的定义(Se(f) - f)(2) = [ [f(z -ew) - f(2))d(w) =g-ew(2)o(w)再次用Schwarz不等式得[S(f) - f/2(c) = [ [ g-ew(2)0(u)2≤(0(u)P [9-ew(2)]2=[lo(w)P [(~ lg-e(2)2JDJO[ 2e9101%/12≤ / 10(w)2 (122(caf≤CIL2(C)设g=OkaSkEA(L),ISe(0) -o = I(S(on) -0k)Pas≤cS(o) -M22(c)Cok≤ce?12(cC)≤ ce'"Joli.现在证明引理5.6.4.取(o)CHi(L)，使得ol≤1.由引理5.6.9,任给e>0(S.(g））在Ho(L)有收敛子列.另一方面，由5.14,[Se() -ilo≤ CE,即在Ho(L)中Se(αi）一致地逼近i.通过取e=2-k,k=1,2,.."，以及对角线选取法容易知道，o在Ho（L）中有收敛子列这就证明了引理5.6.4最后，我们证明引理5.6.5.先考虑C上具有紧支集的光滑函数，设f是这样的函数，其支集含于有界开集U.我们有"fdsdt.f(2) = (droyaffdrdyl?_drdyl? =1Lf(2))2 ≤1aroyroa2f≤Vol(U)drdyl?ary
194 附录 B 由光滑化算子的定义 pSϵpfq ´ fqpzq “ ż D rfpz ´ ϵwq ´ fpzqsϕpwq “ ż D g´ϵwpzqϕpwq, 再次用 Schwarz 不等式得 |Sϵpfq ´ f| 2 L2pCq “ ż C | ż D g´ϵwpzqϕpwq|2 ď ż D |ϕpwq|2 ż C ż D |g´ϵwpzq|2 “ ż D |ϕpwq|2 ż D ż C |g´ϵwpzq|2 ď ż D |ϕpwq|2 ż D 2ϵ 2 |w| 2 | Bf Bz | 2 L2pCq ď cϵ2 | Bf Bz | 2 L2pCq . 设 σ “ σkφσsk P ApLq, |Sϵpσq ´ σ| 2 0 “ |pSϵpσkq ´ σkqφσsk| 2 0 ď c|Sϵpσkq ´ σk| 2 L2pCq ď cϵ2 | Bσk Bz | 2 L2pCq ď cϵ2 |σ| 2 1 . 现在证明引理 5.6.4. 取 tσiu Ă H1pLq, 使得 |σi |1 ď 1. 由引理 5.6.9, 任给 ϵ ą 0, tSϵpσiqu 在 H0pLq 有收敛子列. 另一方面, 由 5.14, |Sϵpσiq ´ σi |0 ď cϵ, 即在 H0pLq 中 Sϵpσiq 一致地逼近 σi . 通过取 ϵ “ 2 ´k , k “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , 以及对角线选 取法容易知道, tσiu 在 H0pLq 中有收敛子列. 这就证明了引理 5.6.4. 最后, 我们证明引理 5.6.5. 先考虑 C 上具有紧支集的光滑函数, 设 f 是这样 的函数, 其支集含于有界开集 U. 我们有 fpzq “ ż x ´8 ż y ´8 B 2f BxBy dsdt, |fpzq|2 ď | ż Rn B 2f BxBy dxdy| 2 “ | ż U B 2f BxBy dxdy| 2 ď VolpUq ż U | B 2f BxBy dxdy| 2