第十四章，曲线积分与曲面积分本章讨论欧氏空间R"中曲线以及曲面上的积分理论，包括曲线的长度，曲面的面积，以及曲线曲面上函数和向量值函数的积分，并讨论这些积分之间的联系s14.1第一型曲线积分我们从曲线的长度开始.在第七章第一节中，对于平面曲线α(t)=(ar(t),y(t),如果(t)，3(t)是关于t的连续可微函数，则利用折线逼近曲线的办法，我们定义了的长度为L(α) =Vr (t)]2 + [y(t)]2 dt现在考虑一般的情形.映射α：[α,B]→Rn称为一条参数曲线，我们仍然用折线逼近曲线的办法定义的长度.为此，任取[α,B】的分割π:α=to<ti<t2<...<tm=β相继用直线段连接曲线上的分点α(ti-1）与o(t)(1≤t≤m)得到的折线的长度为图14.1折L(; ) =lo(t) -α(ti-1)l/线逼近1=1如果这些折线的长度有上界，即sup llo(t) - o(ti-1)l < +o0,Ti=1则称是可求长曲线，其长度定义为mL(o) = sup llo(t:) - o(ti-1)ll元二利用三角不等式我们知道当区间[α，B】的分割加细时，折线的长度单调递增如果α(t)的每一个分量均为连续可微函数，则由第七章第一节的推导知α是可求长的，且长度可以表示为积分Io'(t)ldtL(a)注如果曲线不连续，则我们这里给出的曲线长度定义和直观上的长度观念不是一回事.例如，考虑这样的曲线：当t=0时(r(0),y(0)=(0,0)；当0<t≤1时，(r(t),y(t))=(t,1).按我们的定义，此曲线长度为2！从定义可以得到可求长曲线的下列性质：87
第十四章 曲线积分与曲面积分 本章讨论欧氏空间 R n 中曲线以及曲面上的积分理论, 包括曲线的长度, 曲面 的面积, 以及曲线曲面上函数和向量值函数的积分, 并讨论这些积分之间的联系. §14.1 第一型曲线积分 我们从曲线的长度开始. 在第七章第一节中, 对于平面曲线 σ(t) = (x(t), y(t)), 如果 x(t), y(t) 是关于 t 的连续可微函数, 则利用折线逼近曲线的办法, 我们定义了 σ 的长度为 L(σ) = ∫ β α √ [x 0(t)]2 + [y 0(t)]2 dt. 图 14.1 折 线逼近 现在考虑一般的情形. 映射 σ : [α, β] → R n 称为一条参数曲线, 我们仍然用折线逼近曲线的办法定义 σ 的长度. 为此, 任取 [α, β] 的 分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 相继用直线段连接曲线上的分点 σ(ti−1) 与 σ(ti) (1 ≤ t ≤ m), 得到 的折线的长度为 L(σ; π) = ∑m i=1 kσ(ti) − σ(ti−1)k. 如果这些折线的长度有上界, 即 sup π ∑m i=1 kσ(ti) − σ(ti−1)k < +∞, 则称 σ 是可求长曲线, 其长度定义为 L(σ) = sup π ∑m i=1 kσ(ti) − σ(ti−1)k. 利用三角不等式我们知道当区间 [α, β] 的分割加细时, 折线的长度单调递增. 如果 σ(t) 的每一个分量均为连续可微函数, 则由第七章第一节的推导知 σ 是可求 长的, 且长度可以表示为积分 L(σ) = ∫ β α kσ 0 (t)kdt. 注. 如果曲线不连续, 则我们这里给出的曲线长度定义和直观上的长度观念不 是一回事. 例如, 考虑这样的曲线: 当 t = 0 时 (x(0), y(0)) = (0, 0); 当 0 < t ≤ 1 时, (x(t), y(t)) = (t, 1). 按我们的定义, 此曲线长度为 2 ! 从定义可以得到可求长曲线的下列性质: 87
88第十四章曲线积分与曲面积分·如果为可求长曲线，则对任意[,] c[a,B],ir,]也是可求长的；·如果。为可求长曲线，则对任意E[Q,]，有L(o) = L(ol[(a,) + L(ol(,B),这是曲线长度的可加性，其证明仍然是利用三角不等式为了导出曲线可求长的充分必要条件，我们引入有界变差函数的概念定义14.1.1（有界变差函数).设f为定义在[α,B]上的函数.任给分割π: q=to<ti<t2<...<tm=β,记(f: ) =If(t:) -f(ti-1)li=1如果sup元u(f;元）有限，则称为[α,B]上的有界变差函数，它在[α,B]上的全变差记为βBV(f) = supv(f; ).a下列函数都是有界变差函数：。单调函数。如果为[α,阝]上的单调函数，例如单调递增，则对任意的分割元，有v(f;元) = lf(t) - f(ti-1)/ =(f(t) -f(ti-1))=f(B) -f(α)i=1i=1这说明BV(f) = If(β) - f(a)I4·Lipschitz函数.设If(a)-f(y)l<Ljr-yl.则(f; ) = If(t:) - f(ti-1)I ≤L(ti - ti-1) = L(β - α)i=1i=1因而于是有界变差函数·连续可微函数：根据微分中值定理可以知道，闭区间上的连续可微函数都是Lipschitz函数，因而是有界变差函数
88 第十四章 曲线积分与曲面积分 • 如果 σ 为可求长曲线, 则对任意 [γ, δ] ⊂ [α, β], σ [γ,δ] 也是可求长的; • 如果 σ 为可求长曲线, 则对任意 γ ∈ [α, β], 有 L(σ) = L(σ|[α,γ]) + L(σ|[γ,β]). 这是曲线长度的可加性, 其证明仍然是利用三角不等式. 为了导出曲线可求长的充分必要条件, 我们引入有界变差函数的概念. 定义 14.1.1 (有界变差函数). 设 f 为定义在 [α, β] 上的函数. 任给分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 记 v(f; π) = ∑m i=1 |f(ti) − f(ti−1)|, 如果 supπ v(f; π) 有限, 则称 f 为 [α, β] 上的有界变差函数, 它在 [α, β] 上的全变 差记为 ∨ β α (f) = sup π v(f; π). 下列函数都是有界变差函数: • 单调函数. 如果 f 为 [α, β] 上的单调函数, 例如单调递增, 则对任意的分割 π, 有 v(f; π) = ∑m i=1 |f(ti) − f(ti−1)| = ∑m i=1 (f(ti) − f(ti−1)) = f(β) − f(α), 这说明 ∨ β α (f) = |f(β) − f(α)|. • Lipschitz 函数. 设 |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|, 则 v(f; π) = ∑m i=1 |f(ti) − f(ti−1)| ≤ ∑m i=1 L(ti − ti−1) = L(β − α), 因而 f 是有界变差函数. • 连续可微函数. 根据微分中值定理可以知道, 闭区间上的连续可微函数都是 Lipschitz 函数, 因而是有界变差函数
8914.1第一型曲线积分·如果g(r)为[a,B】上的Riemann可积函数，则f(z) = g(t)dt, e[a,B]是Lipschitz函数，因此也是有界变差函数.可以证明，有界变差函数必为两个单调递增函数的差.关于有界变差函数的进一步讨论请参见本章附录（即最后一节).定理14.1.1(Jordan).曲线α(t)可求长当且仅当它的每一个分量均为有界变差函数证明.设α(t)=(ri(t),,n(t)可求长，则任给[α,的分割元，有v(T;元) = /r;(t) - r;(ti-1)/≤ [o(ti) -o(ti-1)l ≤L(o),j=1j=1这说明i(t)为有界变差函数.反之，如果每一个工（t）都是有界变差函数，则mZIlo(t) -o(tj-1)IlL(α;) =j=1T≤(ri(t,) -i(tj-1)I+...+n(t) -n(tj-1)D)j=1T(r;)≤EV(r)1i=1 口因此α(t)是可求长的以下总是假设曲线α是可求长的对tE[α,B]，定义s(t) = L(ola,t),则s(t)为单调递增函数，称为α(t)的弧长函数，并且s(t2) -s(ti) = L(ol(t1,ta), ti ≤t2因此,如果t2>ti,s(t2)=s(t1),则o(t)在[t1,t2)上取常值.如果(t)不在任何区间上取常值，则s(t)为严格单调递增函数当α(t)为可求长的连续曲线时，s(t)也是连续函数（见本章附录).当α(t)不在任何区间上取常值时，s(t)是参数t的连续的严格单调递增函数，从而可逆，其逆记为t=t(s):t(s) : [0, L(α)] → [α, β]
§14.1 第一型曲线积分 89 • 如果 g(x) 为 [α, β] 上的 Riemann 可积函数, 则 f(x) = ∫ x α g(t)dt, x ∈ [α, β] 是 Lipschitz 函数, 因此也是有界变差函数. 可以证明, 有界变差函数必为两个单调递增函数的差. 关于有界变差函数的进 一步讨论请参见本章附录 (即最后一节). 定理 14.1.1 (Jordan). 曲线 σ(t) 可求长当且仅当它的每一个分量均为有界变 差函数. 证明. 设 σ(t) = (x1(t), · · · , xn(t)) 可求长, 则任给 [α, β] 的分割 π, 有 v(xi ; π) = ∑m j=1 |xi(tj ) − xi(tj−1)| ≤ ∑m j=1 kσ(tj ) − σ(tj−1)k ≤ L(σ), 这说明 xi(t) 为有界变差函数. 反之, 如果每一个 xi(t) 都是有界变差函数, 则 L(σ; π) = ∑m j=1 kσ(tj ) − σ(tj−1)k ≤ ∑m j=1 ( |x1(tj ) − x1(tj−1)| + · · · + |xn(tj ) − xn(tj−1)| ) = ∑n i=1 v(xi ; π) ≤ ∑n i=1 ∨ β α (xi). 因此 σ(t) 是可求长的. 以下总是假设曲线 σ 是可求长的. 对 t ∈ [α, β], 定义 s(t) = L(σ|[α,t]), 则 s(t) 为单调递增函数, 称为 σ(t) 的弧长函数, 并且 s(t2) − s(t1) = L(σ|[t1,t2]), t1 ≤ t2. 因此, 如果 t2 > t1, s(t2) = s(t1), 则 σ(t) 在 [t1, t2] 上取常值. 如果 σ(t) 不在任何区 间上取常值, 则 s(t) 为严格单调递增函数. 当 σ(t) 为可求长的连续曲线时, s(t) 也是连续函数 (见本章附录). 当 σ(t) 不 在任何区间上取常值时, s(t) 是参数 t 的连续的严格单调递增函数, 从而可逆, 其逆 记为 t = t(s): t(s) : [0, L(σ)] → [α, β].
90第十四章曲线积分与曲面积分这时，α(t)=a(t(s))又可以看成关于s的参数曲线，我们将s称为弧长参数当(t）为连续可微曲线，且(t)在任何区间上不恒为零（例如，处处非零）时，上一段的讨论对α(t)完全适用，此时s(t)='(t)l或ds= (t)dt现在我们考虑可求长曲线上有界函数的积分，设f是定义在上的有界函数,即对任意(t),f(α(t))是定义好的实数。任给[α,] 的分割元,取SE[ti-1,t](1<i<m),考虑和mf(o(E)Asi,i=1其中△si=s(ti)-s(ti-1).如果极限mlim Zf(o(s)Ass存在且与$)的选取无关，则称此极限为f在α上的第一型曲线积分，记为[ fds=lf(o(s)Asi:1元-→0台1当f=1时，第一型曲线积分也就是曲线的长度第一型曲线积分的物理意义可如下理解：已知某线状物质的密度函数p，则物质的质量就是p的曲线积分，当曲线的弧长参数存在时，第一型曲线积分可以转化为通常的Riemann积分：fds:f(o(s))ds;如果(t)为（分段）连续可微曲线，则f在α上的第一型曲线积分可以写为(例如于连续时）：f(o(t)l (+)ldt.fds=一般地，第一型曲线积分是所谓Riemann-Stieltjes积分的一种特殊情形，请参看本章最后一节
90 第十四章 曲线积分与曲面积分 这时, σ(t) = σ(t(s)) 又可以看成关于 s 的参数曲线, 我们将 s 称为弧长参数. 当 σ(t) 为连续可微曲线, 且 kσ 0 (t)k 在任何区间上不恒为零 (例如, 处处非零) 时, 上一段的讨论对 σ(t) 完全适用, 此时 s 0 (t) = kσ 0 (t)k 或 ds = kσ 0 (t)kdt. 现在我们考虑可求长曲线上有界函数的积分. 设 f 是定义在 σ 上的有界函 数, 即对任意 σ(t), f(σ(t)) 是定义好的实数. 任给 [α, β] 的分割 π, 取 ξi ∈ [ti−1, ti ] (1 ≤ i ≤ m), 考虑和 ∑m i=1 f(σ(ξi))∆si , 其中 ∆si = s(ti) − s(ti−1). 如果极限 lim kπk→0 ∑m i=1 f(σ(ξi))∆si 存在且与 {ξi} 的选取无关, 则称此极限为 f 在 σ 上的第一型曲线积分, 记为 ∫ σ f ds = lim kπk→0 ∑m i=1 f(σ(ξi))∆si . 当 f = 1 时, 第一型曲线积分也就是曲线的长度. 第一型曲线积分的物理意义可如下理解: 已知某线状物质的密度函数 ρ, 则物 质的质量就是 ρ 的曲线积分. 当曲线 σ 的弧长参数存在时, 第一型曲线积分可以转化为通常的 Riemann 积 分: ∫ σ f ds = ∫ L(σ) 0 f(σ(s))ds; 如果 σ(t) 为 (分段) 连续可微曲线, 则 f 在 σ 上的第一型曲线积分可以写为 (例如 f 连续时): ∫ σ f ds = ∫ β α f(σ(t))kσ 0 (t)kdt. 一般地, 第一型曲线积分是所谓 Riemann-Stieltjes 积分的一种特殊情形, 请参 看本章最后一节
914.1第一型曲线积分91tyT232例14.1.1.设曲线g是椭圆=1在第一象限n262内的部分，计算积分I=ryds.解.α的参数表示为图14.2椭圆(t) = (a cost,bsint), t e [0, 亦/2].因此Il'(t)l= Va2 sin? t + 62 cos2 t积分为acost.bsint.Va?sin?t+b2cos?tdtIa2 + 6262 α2absin 2tcos2tdt+222α2 + 6262 - a2ab-udu422aba?+ab+623a+b例14.1.2.设是球面2++22=a2被平面+z=a所截出的圆，计算积分rzds解先求的方程：以z=a代入球面方程得U152++(a-)=2图14.3截面圆整理后成为( - a/2) + y? /2 = (a/2)?用参数表示为a:aana号sint, 2(t)=号-号cost, te[0,2]r(t)=号+号cost, y(t) =V2因此Ilo'(t)ll = (- asint/2) + (a cost/V2)2 + (asint/2)二V
§14.1 第一型曲线积分 91 b 0 a y x 图 14.2 椭圆 例 14.1.1. 设曲线 σ 是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 在第一象限 内的部分, 计算积分 I = ∫ σ xyds. 解. σ 的参数表示为 σ(t) = (a cost, b sin t), t ∈ [ 0, π/2 ] . 因此 kσ 0 (t)k = √ a 2 sin2 t + b 2 cos2 t , 积分为 I = ∫ π 2 0 a cost · b sin t · √ a 2 sin2 t + b 2 cos2 t dt = ab 2 ∫ π 2 0 sin 2t √ a 2 + b 2 2 + b 2 − a 2 2 cos 2t dt = ab 4 ∫ 1 −1 √ a 2 + b 2 2 + b 2 − a 2 2 u du = ab 3 a 2 + ab + b 2 a + b . a a a 2 a 2 0 z x 图 14.3 截面圆 例 14.1.2. 设 σ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 被平面 x+z = a 所截出的圆, 计算积分 ∫ σ xzds. 解. 先求 σ 的方程: 以 z = a − x 代入球面 方程得 x 2 + y 2 + (a − x) 2 = a 2 , 整理后成为 ( x − a/2 )2 + y 2 /2 = ( a/2 )2 , 用参数表示为 x(t) = a 2 + a 2 cost, y(t) = a √ 2 sin t, z(t) = a 2 − a 2 cost, t ∈ [0, 2π]. 因此 kσ 0 (t)k = √( − a sin t/2 )2 + ( a cost/√ 2 )2 + ( a sin t/2 )2 = a √ 2
92第十四章曲线积分与曲面积分从而有azds="(a/2)"sin? t. (a/2)dtTa34V2习题14.11.设:[α,]-→Rn为可求长参数曲线,Φ:[a,b]→[α,β]为连续的可逆映射.证明o的长度与相同.2.设α为可求长的连续曲线，则L(o)=lim。L(a;元).l→03.证明曲线长度的可加性4.用定义证明，如果可求长的曲线长度为零，则必定是常值的5.计算下列空间曲线的弧长：(1) r(t) = t, y(t) =t2, z(t) =号t3, te[0,1];(2) ++ z=a(la<3), 2 + + 22 =16.计算下列曲线积分：(1）/yds，其中α是抛物线y2=2p从(0,0)到(2p,2p)的部分;12y2)yds，其中α是椭圆+=1在轴上方的部分；/ds，其中是圆周a2+g2+22=a2,+y+z=0;(3)(4)/(+y)ds，其中α是顶点为(0,0),(1,0)，(0,1)的三角形7.形状为椭圆+=1的物质在(z,)处的密度为p(z.1)=l求其质量.8.(*)定义平面曲线()=(,y(r))为cOs，0<,y(r) =0,Z = 0.证明α不是可求长曲线
92 第十四章 曲线积分与曲面积分 从而有 ∫ σ xzds = ∫ 2π 0 ( a/2 )2 sin2 t · ( a/√ 2 ) dt = πa3 4 √ 2 . 习题 14.1 1. 设 σ : [α, β] → R n 为可求长参数曲线, φ : [a, b] → [α, β] 为连续的可逆映射. 证 明 σ ◦ φ 的长度与 σ 相同. 2. 设 σ 为可求长的连续曲线, 则 L(σ) = lim kπk→0 L(σ; π). 3. 证明曲线长度的可加性. 4. 用定义证明, 如果可求长的曲线长度为零, 则必定是常值的. 5. 计算下列空间曲线的弧长: (1) x(t) = t, y(t) = t 2 , z(t) = 2 3 t 3 , t ∈ [0, 1]; (2) x + y + z = a (|a| < √ 3), x 2 + y 2 + z 2 = 1. 6. 计算下列曲线积分: (1) ∫ σ yds, 其中 σ 是抛物线 y 2 = 2px 从 (0, 0) 到 (2p, 2p) 的部分; (2) ∫ σ yds, 其中 σ 是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 在 x 轴上方的部分; (3) ∫ σ x 2 ds, 其中 σ 是圆周 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x + y + z = 0; (4) ∫ σ (x + y)ds, 其中 σ 是顶点为 (0, 0), (1, 0), (0, 1) 的三角形. 7. 形状为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 的物质在 (x, y) 处的密度为 ρ(x, y) = |y|, 求其质量. 8. (∗) 定义平面曲线 σ(x) = ( x, y(x) ) 为 y(x) = x cos 1 x , 0 < x ≤ π 2 , 0, x = 0. 证明 σ 不是可求长曲线
93814.2第二型曲线积分814.2第二型曲线积分现在我们考虑这样一个物理问题：设质点在力场F中沿一条曲线α运动，求力场F对该质点所做的功。我们可以将这个问题转化为曲线上的一个积分问题为此，设α：[α,B]→R"为一条参数曲线，f是定义在α上的取值在Rn中的一个向量值函数，其分量记为fi(1≤i≤n).任取[α,B]的一个分割T:α=to<ti<t2<...<tm=β考虑和mZf(o(s)(r;(t) - ;(ti-1), (b E [tj-1,tl)(14.1)j=1如果极限n.存在且与[$的选取无关，则称此极限为fidr沿曲线α的第二型曲线积分，记为limfi(o(6)(ri(t)-ri(tj-1)fidri=1元0如果每一个fidr沿的第二型曲线积分都存在，则记fidai +..+fndan =fidri +...fndrn这个积分称为形式和fidri++fndan沿α的第二型曲线积分，在不引起混淆的情况下也称为f沿。的第二型曲线积分初看起来第二型曲线积分似乎和第一型曲线积分并无本质不同，但这两类积分有一个重要的区别，这个区别和曲线的方向有关，为了说明这一点，我们考虑曲线的重新参数化．设：[,]→[α,B]为严格单调的可逆连续映射，则复合映射goΦ：[,]→R"也是一条参数曲线，它和α的像完全相同，这两条参数曲线只是选取了不同的参数而已.如果是严格单调递增的，则称这两个参数是同向的：如果是严格单调递减的，则称这两个参数是反向的（不同向）从（14.1）不难看出，对于同向的两个参数，第二曲线积分的值不变；而对于反向的两个参数，第二型曲线积分的值正好相差一个符号！这和第一型曲线积分是不同的，比如曲线的长度就不依赖于参数的选取，因此，为了使第二型曲线积分有意义，我们总是要给曲线指定一个方向，这个方向是由某个参数决定的.给定了方向的曲线称为有向曲线.如果参数反向，则新的有向曲线记为一0，这时有fidai+...+fnden=-fidri+...+fnden
§14.2 第二型曲线积分 93 §14.2 第二型曲线积分 现在我们考虑这样一个物理问题: 设质点在力场 F 中沿一条曲线 σ 运动, 求 力场 F 对该质点所做的功. 我们可以将这个问题转化为曲线上的一个积分问题. 为此, 设 σ : [α, β] → R n 为一条参数曲线, f 是定义在 σ 上的取值在 R n 中的 一个向量值函数, 其分量记为 fi (1 ≤ i ≤ n). 任取 [α, β] 的一个分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 考虑和 ∑m j=1 fi(σ(ξj ))(xi(tj ) − xi(tj−1)), (ξj ∈ [tj−1, tj ]) (14.1) 如果极限 lim kπk→0 ∑m j=1 fi(σ(ξj ))(xi(tj ) − xi(tj−1)) 存在且与 {ξj} 的选取无关, 则称此极限为 fidxi 沿曲线 σ 的第二型曲线积分, 记为 ∫ σ fidxi = lim kπk→0 ∑m j=1 fi(σ(ξj ))(xi(tj ) − xi(tj−1)). 如果每一个 fidxi 沿 σ 的第二型曲线积分都存在, 则记 ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn = ∫ σ f1dx1 + · · · + ∫ σ fndxn, 这个积分称为形式和 f1dx1 + · · · + fndxn 沿 σ 的第二型曲线积分, 在不引起混淆 的情况下也称为 f 沿 σ 的第二型曲线积分. 初看起来第二型曲线积分似乎和第一型曲线积分并无本质不同. 但这两类积 分有一个重要的区别, 这个区别和曲线的方向有关. 为了说明这一点, 我们考虑曲 线的重新参数化. 设 φ : [γ, δ] → [α, β] 为严格单调的可逆连续映射, 则复合映射 σ ◦ φ : [γ, δ] → R n 也是一条参数曲线, 它和 σ 的像完全相同, 这两条参数曲线只是 选取了不同的参数而已. 如果 φ 是严格单调递增的, 则称这两个参数是同向的; 如 果 φ 是严格单调递减的, 则称这两个参数是反向的 (不同向). 从 (14.1) 不难看出, 对于同向的两个参数, 第二曲线积分的值不变; 而对于反 向的两个参数, 第二型曲线积分的值正好相差一个符号! 这和第一型曲线积分是不 同的, 比如曲线的长度就不依赖于参数的选取. 因此, 为了使第二型曲线积分有意义, 我们总是要给曲线指定一个方向, 这个 方向是由某个参数决定的. 给定了方向的曲线称为有向曲线. 如果参数反向, 则新 的有向曲线记为 −σ, 这时有 ∫ −σ f1dx1 + · · · + fndxn = − ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn
94第十四章曲线积分与曲面积分对于可求长曲线来说，第二型曲线积分也是Riemann-Stieltjes积分的特殊情形.对于（分段）连续可微曲线，第二型曲线积分可以转化为Riemann积分：fidri+..+fndan=Ef(o(t)(t)dt如果记F=（fi.，fn）,则上式可写为fidai+...+fndan=F(o) .'(t) dt,(14.2)其中o (t)=(ri(t),.…,,(t))为曲线α的切向量例14.2.1.Riemann积分作为第二型的曲线积分设于为[a,]上的可积函数，则定积分f(r)da就是f(r)d沿区间[a,b]的第二型曲线积分，其中区间看成一条曲线，它的方向是参数给出的，即轴的正向.我们之所以规定f(a)da =f(r)da口就是因为f(a)da沿[a,{]的相反方向的第二型曲线积分要变一个符号例14.2.2.环路积分如果α为一条闭曲线（环路),即α(α)=α(βB),则选定了方向以后，不论从曲线上哪一点出发，沿此闭曲线的第二型曲线积分的值不变，通常我们将这样的积分记为pfidai+...+fndinJo单位圆周s1就是平面上的一条闭曲线，如果用参数方程o(t) = (cost, sint), t e[0,2π]口表示，则S1的方向就是所谓逆时针方向
94 第十四章 曲线积分与曲面积分 对于可求长曲线来说, 第二型曲线积分也是 Riemann-Stieltjes 积分的特殊情 形. 对于 (分段) 连续可微曲线, 第二型曲线积分可以转化为 Riemann 积分: ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn = ∑n i=1 ∫ β α fi(σ(t))x 0 i (t)dt. 如果记 F = (f1, · · · , fn), 则上式可写为 ∫ σ f1dx1 + · · · + fndxn = ∫ β α F(σ) · σ 0 (t) dt, (14.2) 其中 σ 0 (t) = (x 0 1 (t), · · · , x0 n(t)) 为曲线 σ 的切向量. 例 14.2.1. Riemann 积分作为第二型的曲线积分. 设 f 为 [a, b] 上的可积函数, 则定积分 ∫ b a f(x)dx 就是 f(x)dx 沿区间 [a, b] 的 第二型曲线积分, 其中区间看成一条曲线, 它的方向是参数 x 给出的, 即 x 轴的正 向. 我们之所以规定 ∫ a b f(x)dx = − ∫ b a f(x)dx 就是因为 f(x)dx 沿 [a, b] 的相反方向的第二型曲线积分要变一个符号. 例 14.2.2. 环路积分. 如果 σ 为一条闭曲线 (环路), 即 σ(α) = σ(β), 则选定了方向以后, 不论从曲线 上哪一点出发, 沿此闭曲线的第二型曲线积分的值不变, 通常我们将这样的积分记 为 I σ f1dx1 + · · · + fndxn. 单位圆周 S 1 就是平面上的一条闭曲线, 如果用参数方程 σ(t) = (cost, sin t), t ∈ [0, 2π] 表示, 则 S 1 的方向就是所谓逆时针方向.
$14.2第二型曲线积分95yt例14.2.3.计算第二型曲线积分yrI= dr-+ydy,Jca2+y?其中C为圆周?+9=a2,方向为逆时针方向.解按照给定的方向取C的参数方程为r(t) =acost, y(t) =asint, te[0, 2].图14.4逆时针圆此时有I = asint(a cost - acos (asint)] t = -2m.Joyt例14.2.4.计算第二型曲线积分I=p (y - 2)dr + (z-r)dy + (r-y)dz,JC其中C是圆周2+y?+22=a,y=rtana(0<α),从的正向看去,C 的方向是逆时针的，解.根据方向取C的参数方程为图14.5球面圆r(0) = a cos cos Q, y(0) = a cos sin a, z(0) = a sin 0,其中[0,2元]于是积分为I(acossinq-asin)(asingcosa)d+(asin-acoscosa)x(asinsin)do+(acoscosQacossina)acosdoa2(cos α - sin a)de = 2d?(cos a - sinα)
§14.2 第二型曲线积分 95 a a 0 y x 图 14.4 逆时针圆 例 14.2.3. 计算第二型曲线积分 I = I C y x 2 + y 2 dx − x x 2 + y 2 dy, 其中 C 为圆周 x 2 + y 2 = a 2 , 方向为逆时针方 向. 解. 按照给定的方向取 C 的参数方程为 x(t) = a cost, y(t) = a sin t, t ∈ [0, 2π]. 此时有 I = ∫ 2π 0 1 a 2 [ a sin t(a cost) 0 − a cost(a sin t) 0 ] dt = −2π. α a a 0 y x 图 14.5 球面圆 例 14.2.4. 计算第二型曲线积分 I = I C (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, 其中 C 是圆周 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , y = x tan α (0 < α < π 2 ), 从 x 的正向看去, C 的方向是逆时 针的. 解. 根据方向取 C 的参数方程为 x(θ) = a cos θ cos α, y(θ) = a cos θ sin α, z(θ) = a sin θ, 其中 θ ∈ [0, 2π]. 于是积分为 I = ∫ 2π 0 (a cos θ sin α − a sin θ)(−a sin θ cos α)dθ + (a sin θ − a cos θ cos α) × (−a sin θ sin α)dθ + (a cos θ cos α − a cos θ sin α)a cos θ dθ = ∫ 2π 0 a 2 (cos α − sin α)dθ = 2πa2 (cos α − sin α)
96第十四章曲线积分与曲面积分yt例14.2.5.考虑位于原点处的电荷9产a(α)生的静电场，计算单位正电荷沿连续可微曲A线从点A=(α)到点B=(β)电场所作的功W.2解.这是一个第二型的曲线积分问题.根据库仑定律，（,y,2)处的单位正电荷在静电场中所受的力为o(β)TF-号-o。 其中0-号图14.6电场作功因此F沿。所作的功为qT+5+W=r3F(o)-a'(t) dt =(oa)'dtqr(α)r(B)这说明，静电场所作的功只与单位电荷的起始位置和终点位置有关，与具体运动路径无关.口习题14.21.计算下列积分：(1)rdr+ydy+zdz，C是从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段；Te(2)/ (2+g°)da+(2-y)dy，C是以(1,0), (2,0),(2,1),(1,1)为顶点的正方形，逆时针方向；+)dz()dyC是圆+=a2,时针方向;(3) Φ2+y?Io(4) / (z?-2ary)da + (g2-2ry)dy, C 是抛物线 y=z2 从 (-1,1)到 (1,1) 的一段.r??(5)Φ(r+y)d+(a-y)dy,C是椭圆=1,逆时针方向a262Jc2.计算积分(y-z)da+(z-r)dy +(r-y)dz,其中C为椭圆?+y?=1,工+z=1,从的正向看去，C沿顺时针方向
96 第十四章 曲线积分与曲面积分 σ(α) σ(β) F~ q z y x 图 14.6 电场作功 例 14.2.5. 考虑位于原点处的电荷 q 产 生的静电场, 计算单位正电荷沿连续可微曲 线 σ 从点 A = σ(α) 到点 B = σ(β) 电场所 作的功 W. 解. 这是一个第二型的曲线积分问题. 根 据库仑定律, (x, y, z) 处的单位正电荷在静电 场中所受的力为 F~ = q ~r r 3 = ∇φ, 其中 φ = − q r . 因此 F~ 沿 σ 所作的功为 W = ∫ σ qx r 3 dx + qy r 3 dy + qz r 3 dz = ∫ β α F~ (σ) · σ 0 (t) dt = ∫ β α ( φ ◦ σ )0 dt = q r(α) − q r(β) . 这说明, 静电场所作的功只与单位电荷的起始位置和终点位置有关, 与具体运动路 径无关. 习题 14.2 1. 计算下列积分: (1) ∫ C xdx + ydy + zdz, C 是从 (1, 1, 1) 到 (2, 3, 4) 的直线段; (2) ∫ C (x 2 + y 2 )dx + (x 2 − y 2 )dy, C 是以 (1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1) 为顶点的正 方形, 逆时针方向; (3) I C (x + y)dx − (x − y)dy x 2 + y 2 , C 是圆 x 2 + y 2 = a 2 , 逆时针方向; (4) ∫ C (x 2 − 2xy)dx + (y 2 − 2xy)dy, C 是抛物线 y = x 2 从 (−1, 1) 到 (1, 1) 的 一段. (5) I C (x + y)dx + (x − y)dy, C 是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, 逆时针方向. 2. 计算积分 ∫ C (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, 其中 C 为椭圆 x 2 + y 2 = 1, x + z = 1, 从 x 的正向看去, C 沿顺时针方向.