向量组的线性相关性 第二节 向量组的线性相关性 一、向量向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、向量、向量组与矩阵若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组例如 矩阵A=(ai）有n个m维列向量Xaiaa2ana11a12ainaija21a22azja2nA=.amlamjamnam2向量组ai,a2,..，an称为矩阵A的列向量组页回下质
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (aij) mn 有n个m维列向量 = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组. 一、向量、向量组与矩阵 a1 a2 a j an
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH类似地,矩阵A=（aij）又有m个n维行向量nxaiana12ainaza22a21a2nA:二aiailai2ainTαmamn)amlam2向量组 αi，α，….，αm称为矩阵A的行向量组.顶回下质
类似地,矩阵A = (aij ) mn 又有m个n维行向量 = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n 1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 T 1 T 2 T i T m T 1 T 2 T i T m 向量组 , , .， 称为矩阵A的行向量组． T 1 T 2 T m
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵m个n维列向量所组成的向量组αj,α2,,αm构成一个m×n矩阵A= (αj,α2,.,αm)βm个n维行向量所组成β2的向量组βT,β,,..βmTB=构成一个m×n矩阵β1上页回下页
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量组 m n m n m , , , , 1 2 构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T , , , 1 2 = T m T T B 2 1 ( , , , ) A = 1 2 m
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH线性方程组的向量表示bi2a11x1 + a12x2+...+ainnb2'a21x1+a22x2+...+a2nn=bmam1.i + am2x2 + ..-+amnCnb ai 1+ a2x2 ++antn方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应上页回下质
a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b 线性方程组的向量表示 + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m mn n m n n n n 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定义 1 给定向量组A:α1,α2,,αm，对于任何一组实数k，kz,.…,km,向量k,α, +k,α2 +...+ kmαm称为向量组的一个线性组合，k，kz,...,k称为这个线性组合的系数正页回下页
组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2 定义１ . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量 k11 + k2 2 ++ km m 线性组合
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH给定向量组A:α1,α2,.,αm和向量b,如果存在一组数入，元2,…,元m，使b = 2,α, + 2,α2 + ...Amαm则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示即线性方程组X,αi + x,α2 +...+xmαm = b有解上页下页回
b = 11 + 2 2 + m m 一组数 ， ， ， 使 给定向量组 和向量 如果存在 m A m b , : , , , , 1 2 1 2 . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x + x + + xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示． b A
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(α，α2…,αm)的秩等于矩阵B= (αj, α2,.….,αm,b)的秩定义2设有两个向量组A: αj,α2,...,αm及B: β,,β,,...,β,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价上页画下页
( , , ) . ( , ) 1 2 1 2 ， ， 的 秩 条件是矩阵 ， ， 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要 B b A b A m m = = 定理1 定义２ . : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A m B s 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． B A
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH若记A = (αi,α2,..,αm)和B = (b,,b2,..,b,).B能由A线性表示，即对每个向量b;(j=1,2,,s)存在数kuj,k2j,..kmj,使b, = kijαi + k2jα2 +... + kmjαmkvik2j=(α1,α2,..,αm)Rm上页回下质
在数 使 能由 线性表示，即对每个向量 存 若记 （ 和 （ , , , ( 1,2, , ) , , , ) , , , ). 1 2 1 2 1 2 j j mj j m s k k k A b j s A B b b b B = = = bj = k1 j1 + k2 j 2 + + kmj m , , , ) , 2 1 1 2 = mj j j m k k k （
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH从而kuk12kisk2sk21k22(b,,b2,..,b,) =(α1,α2,...,αmkKkm2ms矩阵Kmxs=(k,)称为这一线性表示的系数矩阵上页回下页
（b1 ,b2 , ,bs ) = 从而 m m ms s s m k k k k k k k k k 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 （ , , , ) 矩阵 ( )称为这一线性表示的系 数矩阵. Kms = kij