第十六章含参变量的积分本章仍然讨论积分，其中被积函数含有额外的参数，我们要研究积分是如何依赖于参数的.这种积分的基本性质和无穷级数的性质十分类似，它们也提供了构造新函数的重要工具，我们还将利用它们进一步研究Fourier积分816.1含参变量的积分设f(,y)是定义在矩形[a,b] ×[c,d]上的函数,且对于每个固定的yE[c,d],关于a的函数f(a,y)在[a,b]上Riemann可积，则定义I(y) =f(r,y)dr,ye[c,d]称为含参变量的积分，其中y是参数，它对应于数列或函数列中的变数n.当f(,3)为[a,b]×[c,d]中的连续函数时，根据$13.3节中的讨论,有[ I(u)dy = / / f(r,v)drdy = )f(r,y)dydr.(16.1)引理16.1.1.设f(,y)在[a,]×[c,d]中连续，则I()关于ye[c,d]连续证明.有界闭集中的连续函数是一致连续的。因此，任给ε>0,存在8>0,当1,J2[c,d] 且 ly1-y2l <8时If(a,yi) - f(a, y2)/ ≤e, VrE[a,b].此时[(1) - (32)] =| / [5(r,1) -f(±,92)]d|If(r, y1) -f(ar, y2)/dr≤ (b-a)e.口这说明I(y)关于y连续.定理 16.1.2.设f(a,y)和偏导数 fy(r,y)在[a,b]×[c,d] 中连续，则 I(y)关于y可导，且I'(y) :fu(a,y)dr证明.记b(y) =fy(r,y)da, ye[c,d].169
第十六章 含参变量的积分 本章仍然讨论积分, 其中被积函数含有额外的参数, 我们要研究积分是如何依 赖于参数的. 这种积分的基本性质和无穷级数的性质十分类似, 它们也提供了构造 新函数的重要工具, 我们还将利用它们进一步研究 Fourier 积分. §16.1 含参变量的积分 设 f(x, y) 是定义在矩形 [a, b] × [c, d] 上的函数, 且对于每个固定的 y ∈ [c, d], 关于 x 的函数 f(x, y) 在 [a, b] 上 Riemann 可积, 则定义 I(y) = ∫ b a f(x, y)dx, y ∈ [c, d], 称为含参变量的积分, 其中 y 是参数, 它对应于数列或函数列中的变数 n. 当 f(x, y) 为 [a, b] × [c, d] 中的连续函数时, 根据 §13.3 节中的讨论, 有 ∫ d c I(y)dy = ∫ d c ∫ b a f(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ d c f(x, y)dydx. (16.1) 引理 16.1.1. 设 f(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 连续. 证明. 有界闭集中的连续函数是一致连续的. 因此, 任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 y1, y2 ∈ [c, d] 且 |y1 − y2| < δ 时 |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ ε, ∀ x ∈ [a, b]. 此时 |I(y1) − I(y2)| = ∫ b a [f(x, y1) − f(x, y2)]dx ≤ ∫ b a |f(x, y1) − f(x, y2)|dx ≤ (b − a)ε. 这说明 I(y) 关于 y 连续. 定理 16.1.2. 设 f(x, y) 和偏导数 fy(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y) 关 于 y 可导, 且 I 0 (y) = ∫ b a fy(x, y)dx. 证明. 记 ψ(y) = ∫ b a fy(x, y)dx, y ∈ [c, d]. 169
170第十六章含参变量的积分根据题设和刚才的引理，b(y）关于y连续.当1,2E[c,d时，利用积分次序的可交换性，得"(u)dy = /" "f(a,u)drdy=fy(a,y)dyda/ (f(r,y2) - f(r, y1)]dr= I(y2) - I(y1).口这说明I'(y)=(y)例16.1.1.（*)设于为具有紧支集的光滑函数，9连续.定义函数h为h(r) =f(r -y)g(y)dy,则h为光滑函数，且f(n)(r - y)g(y)dyh(n)(r) =证明.设f在区间（-M,M)以外为零.任取a>0,当E[-a,al时,h(a)可以表示为h(z) =f(r-y)g(y)dy反复利用上述定理即知h(a)在（-a,a)中任意次可导，且f(n)(r - y)g(y)dy =h(n)() f(n)(ar -y)g(y)dy,口由于a>0是任取的，故h在（-0,o）中光滑注.f可以取为鼓包函数，此时h可以看成函数g的光滑逼近例16.1.2.设0<a≤b,计算积分lrb-ra-daL-Inz解.我们把α看成是常数，而把b看成是参数，积分记为I(b)，则根据上述定理,有1I'(6) =r'dr6+1这说明I(b) = In(1 + b) + C.又因为I(a)=0,故C=-ln(1+a)从而1+bI = ln i+a这个积分也可以通过重积分化累次积分来计算口
170 第十六章 含参变量的积分 根据题设和刚才的引理, ψ(y) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 利用积分次序的可 交换性, 得 ∫ y2 y1 ψ(y)dy = ∫ y2 y1 ∫ b a fy(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ y2 y1 fy(x, y)dydx = ∫ b a [fy(x, y2) − f(x, y1)]dx = I(y2) − I(y1). 这说明 I 0 (y) = ψ(y). 例 16.1.1. (∗) 设 f 为具有紧支集的光滑函数, g 连续. 定义函数 h 为 h(x) = ∫ ∞ −∞ f(x − y)g(y)dy, 则 h 为光滑函数, 且 h (n) (x) = ∫ ∞ −∞ f (n) (x − y)g(y)dy. 证明. 设 f 在区间 (−M, M) 以外为零. 任取 a > 0, 当 x ∈ [−a, a] 时, h(x) 可 以表示为 h(x) = ∫ M+a −M−a f(x − y)g(y)dy, 反复利用上述定理即知 h(x) 在 (−a, a) 中任意次可导, 且 h (n) (x) = ∫ M+a −M−a f (n) (x − y)g(y)dy = ∫ ∞ −∞ f (n) (x − y)g(y)dy, 由于 a > 0 是任取的, 故 h 在 (−∞, ∞) 中光滑. 注. f 可以取为鼓包函数, 此时 h 可以看成函数 g 的光滑逼近. 例 16.1.2. 设 0 < a ≤ b, 计算积分 I = ∫ 1 0 x b − x a ln x dx. 解. 我们把 a 看成是常数, 而把 b 看成是参数, 积分记为 I(b), 则根据上述定 理, 有 I 0 (b) = ∫ 1 0 x b dx = 1 b + 1 , 这说明 I(b) = ln(1 + b) + C. 又因为 I(a) = 0, 故 C = − ln(1 + a), 从而 I = ln 1 + b 1 + a . 这个积分也可以通过重积分化累次积分来计算.
916.1含参变量的积分171例16.1.3.设[闪[-a,a] 时, f(r,)=ln(1+cosa)以及cOSrfa(z, >) = 1 + >cos r在[0,]×[-a,a]中连续，于是I=I()关于>可导，且cosrATda=I'(u) =1 + >cos zV-对入积分可得I() = ln(1 + V1- 12) + C,因为I(0)=0,故得C=一ln2,因此1+V1-xI = 元ln2口上式对任意//0,使得If(a,y)I≤M.由上式和已知条件得[F(y) - F(yo)/≤M[a(y) -a(yo)/ + M[b(y) - b(yo)+supf(z,y)-f(,o)/b-a,re[a,b]
§16.1 含参变量的积分 171 例 16.1.3. 设 |λ| 0, 使得 |f(x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F(y) − F(y0)| ≤ M|a(y) − a(y0)| + M|b(y) − b(y0)| + sup x∈[a,b] |f(x, y) − f(x, y0)||b − a|,
172第十六章含参变量的积分口由 a(y), b(y)以及 f(z,y)的(一致)连续性即知 F(y)在 y=yo处连续.关于F(3)的可导性，我们有定理16.1.4.设f(z,y)以及fy(r,y)均在[a,b]x[c,d] 中连续,如果a(y),b(y)关于y可导，则F(y)关于y可导，且rb(y)F(y) =fy(r,y)da+f(b(y),y)b(y)-f(a(y),y)a'(y)a(y)口证明证明留作练习。例16.1.4.设a≥0,计算积分In(1 + ar)I(a) :11 + r2解.利用上面的定理，得In(1 + a2)cI'(a) =1 + α2(1 + ar)(1 + r?aln(1 + α2)5arctana+1 + α22(1 + α2)关于a积分，得In(1 + α2)I(a) = arctana +C.2因为I(0)=0,故C=0.最后就得到In(1 + a2)1(a) = arctana.2习题16.11.计算下列积分 arctan(atan)d (a ≥0),In(1 - 2a cos +a)da; (2)(1)tana2.计算下列积分1+acosr dr-r-r(la|a>0)(1)sin(InIn1-aCOscOsTInrJo103.设α>1,计算积分In(α? sin? r)dr.S
172 第十六章 含参变量的积分 由 a(y), b(y) 以及 f(x, y) 的 (一致) 连续性即知 F(y) 在 y = y0 处连续. 关于 F(y) 的可导性, 我们有 定理 16.1.4. 设 f(x, y) 以及 fy(x, y) 均在 [a, b]×[c, d] 中连续, 如果 a(y), b(y) 关于 y 可导, 则 F(y) 关于 y 可导, 且 F 0 (y) = ∫ b(y) a(y) fy(x, y)dx + f(b(y), y)b 0 (y) − f(a(y), y)a 0 (y). 证明. 证明留作练习. 例 16.1.4. 设 a ≥ 0, 计算积分 I(a) = ∫ a 0 ln(1 + ax) 1 + x 2 dx. 解. 利用上面的定理, 得 I 0 (a) = ln(1 + a 2 ) 1 + a 2 + ∫ a 0 x (1 + ax)(1 + x 2) dx = a 1 + a 2 arctan a + ln(1 + a 2 ) 2(1 + a 2) . 关于 a 积分, 得 I(a) = ln(1 + a 2 ) 2 arctan a + C. 因为 I(0) = 0, 故 C = 0. 最后就得到 I(a) = ln(1 + a 2 ) 2 arctan a. 习题 16.1 1. 计算下列积分 (1) ∫ π 0 ln(1 − 2a cos x + a 2 )dx; (2) ∫ π 2 0 arctan(a tan x) tan x dx (a ≥ 0). 2. 计算下列积分 (1) ∫ π 2 0 ln 1 + a cos x 1 − a cos x dx cos x (|a| a > 0). 3. 设 α > 1, 计算积分 I = ∫ π 2 0 ln(α 2 − sin2 x)dx.
16.1含参变量的积分1734.设f(,y)在[a,b] ×[c,d] 中连续,则积分I(α, βB, y) =f(r,y)dr, a,βe[a,b], ye[c,d是关于α,β,y的连续函数，且关于α,β可导5.利用上题给出本节最后定理的证明6.证明n阶Bessel函数Jn(r) =cos(ngp - sin g)dpTJo满足Bessel方程? J'() +rJ(r) +(r? -n2)Jn(μ) = 0.7.定义函数[y(1-a), y≤a,K(r,y) =r(1-y), y>a如果f()为[0,1] 上的连续函数,则函数u(r) =K(r,y)f(y)dy满足方程-u"(μ) = f(μ), u(0) = u(1) = 0.8.设f()在=0附近连续，则函数1(r-t)n-1f(t)dtu(r) (n - 1)) Jo满足方程u(n)(μ) = f(), u(0) = u(0) =.= u(n-1)(0) = 0.9.设4，分别为2次可导和1次可导的函数，证明函数ratau(r,t) =o(at)+(+at)+Jb(s)ds满足弦振动方程o2u0202u0t2=0r2
§16.1 含参变量的积分 173 4. 设 f(x, y) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则积分 I(α, β, y) = ∫ β α f(x, y)dx, α, β ∈ [a, b], y ∈ [c, d] 是关于 α, β, y 的连续函数, 且关于 α, β 可导. 5. 利用上题给出本节最后定理的证明. 6. 证明 n 阶 Bessel 函数 Jn(x) = 1 π ∫ π 0 cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ 满足 Bessel 方程 x 2J 00 n (x) + xJ0 n (x) + (x 2 − n 2 )Jn(x) = 0. 7. 定义函数 K(x, y) = y(1 − x), y ≤ x, x(1 − y), y > x. 如果 f(x) 为 [0, 1] 上的连续函数, 则函数 u(x) = ∫ 1 0 K(x, y)f(y)dy 满足方程 −u 00(x) = f(x), u(0) = u(1) = 0. 8. 设 f(x) 在 x = 0 附近连续, 则函数 u(x) = 1 (n − 1)! ∫ x 0 (x − t) n−1 f(t)dt 满足方程 u (n) (x) = f(x), u(0) = u 0 (0) = · · · = u (n−1)(0) = 0. 9. 设 ϕ, ψ 分别为 2 次可导和 1 次可导的函数, 证明函数 u(x, t) = 1 2 [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)] + 1 2a ∫ x+at x−at ψ(s)ds 满足弦振动方程 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2
174第十六章含参变量的积分816.2含参变量的广义积分如同Riemann积分的推广一样，含参变量的积分也有两方面的推广。一是积分区间可以是无穷区间，二是被积函数可能有瑕点。为了简单起见，我们以无穷积分为例进行讨论，带有瑕点的含参变量的积分可类似地讨论916.2.1一致收敛及其判别法设f(,y)是定义在矩形[a,oo)×[c,d]中的函数,且对于每一个yE[c,d],关于的函数f(,y)在[a,)中广义可积,则定义I(y) =f(a,y)da,ye[c,d],(16.2)称为含参变量的广义积分，其中y是参数定义16.2.1(一致收敛)。如果任给>0,存在与y无关的Ao=Ao(e)>a;当 A,A'>Ag时,对一切 y E[c,d],成立f(a,)da|0,存在80=8o(e)>0,当0<n,n<0时，对[c,d]上的一切y,成立“f(r,y)de<或.f(r,y)da|<e则称f(a,y)da关于ye[c,d]一致收敛例16.2.1.研究含参变量的广义积分ye-rydaI(y) =的一致收敛性，显然，对每个y≥0,积分都是收敛的。又因为ye-rydar=e-yA
174 第十六章 含参变量的积分 §16.2 含参变量的广义积分 如同 Riemann 积分的推广一样, 含参变量的积分也有两方面的推广. 一是积 分区间可以是无穷区间, 二是被积函数可能有瑕点. 为了简单起见, 我们以无穷积 分为例进行讨论, 带有瑕点的含参变量的积分可类似地讨论. §16.2.1 一致收敛及其判别法 设 f(x, y) 是定义在矩形 [a, ∞) × [c, d] 中的函数, 且对于每一个 y ∈ [c, d], 关于 x 的函数 f(x, y) 在 [a, ∞) 中广义可积, 则定义 I(y) = ∫ ∞ a f(x, y)dx, y ∈ [c, d], (16.2) 称为含参变量的广义积分, 其中 y 是参数. 定义 16.2.1 (一致收敛). 如果任给 ε > 0, 存在与 y 无关的 A0 = A0(ε) > a, 当 A, A0 > A0 时, 对一切 y ∈ [c, d], 成立 ∫ A 0 A f(x, y)dx 0, 存在 δ0 = δ0(ε) > 0, 当 0 < η, η0 < δ0 时, 对 [c, d] 上的一切 y, 成立 ∫ b−η 0 b−η f(x, y)dx < ε 或 ∫ b b−η f(x, y)dx < ε, 则称 ∫ b a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 例 16.2.1. 研究含参变量的广义积分 I(y) = ∫ ∞ 0 ye−xydx 的一致收敛性. 显然, 对每个 y ≥ 0, 积分都是收敛的. 又因为 ∫ ∞ A ye−xydx = e −yA
916.2含参变量的广义积分175故I(y)对于yE[6,oo）一致收敛，其中为任意正实数.从上式也可以看出I(g)口对于E[0,8o)并不是一致收敛的和广义积分以及无穷级数一样，我们也有关于含参变量广义积分的一致收敛的判别法.(1)（Weierstrass）如果存在函数F(a)，使得If(r,y)l 0,存在Ag=Ao(e),当≥Ao时Ig(r,y)l A时，有(≤2Ke+2Ke=4Ke,这说明了积分的一致收敛性。(3)(Abel)设f(a,y),g(t,y)满足下列条件(i)积分f(ar,y)dr关于ye[c,d一致收敛；
§16.2 含参变量的广义积分 175 故 I(y) 对于 y ∈ [δ, ∞) 一致收敛, 其中 δ 为任意正实数. 从上式也可以看出 I(y) 对于 y ∈ [0, ∞) 并不是一致收敛的. 和广义积分以及无穷级数一样, 我们也有关于含参变量广义积分的一致收敛的 判别法. (1) (Weierstrass) 如果存在函数 F(x), 使得 |f(x, y)| ≤ F(x), ∀ (x, y) ∈ [a, ∞) × [c, d], 且积分 ∫ ∞ a F(x)dx 收敛, 则 ∫ ∞ a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 这个判别 法的证明只要注意到下面的不等式就可以了: ∫ A 0 A f(x, y)dx ≤ ∫ A 0 A F(x)dx . (2) (Dirichlet) 设 f(x, y), g(x, y) 满足下列条件: (i) 当 A → ∞ 时, 积分 ∫ A a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致有界, 即存在常 数 K, 使得 ∫ A a f(x, y)dx ≤ K, ∀ A ∈ [a, ∞), y ∈ [c, d]; (ii) g(x, y) 是 x 的单调函数, 且当 x → ∞ 时 g(x, y) 关于 y ∈ [c, d] 一致地 趋于零, 即任给 ε > 0, 存在 A0 = A0(ε), 当 x ≥ A0 时 |g(x, y)| A0 时, 有 ∫ A 0 A f(x, y)g(x, y)dx ≤ |g(A, y)| ∫ ξ(y) A f(x, y)dx + |g(A 0 , y)| ∫ A 0 ξ(y) f(x, y)dx ≤ 2Kε + 2Kε = 4Kε, 这说明了积分的一致收敛性. (3) (Abel) 设 f(x, y), g(x, y) 满足下列条件: (i) 积分 ∫ ∞ a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛;
176第十六章含参变量的积分(i) g(z,y)是的单调函数,且关于yE[c,d) 一致有界;则含参变量的广义积分f(a,y)g(a,y)d关于ye[c,d]一致收敛这个判别法的证明仍然是运用积分第二中值公式，我们留给读者完成对于含参变量的瑕积分，上述判别法也有类似的表现形式。我们以下仅举例来研究一致收敛性.例16.2.2.研究积分asin adarI(α) =关于αE(0,)的一致收敛性，当α≥8>0时，因为le-α sin ae-sr,而积分e-5adar收敛，故由Weierstrass判别法知积分I(a）关于αE[,oo）致收敛.I(α)关于αE(0,)不是一致收敛的，这是因为当α→0时，e-a sinrdr-sin dr = cos A - cos A',口取A=2n元，A=2nπ+元2即知上式不趋于零例16.2.3.研究积分I(αa)关于αE[0,)的一致收敛性，[~sidr收敛,这个积分不含参变量α,因而关于α一致收敛。函因为积分数e-aa关于单调，且当α,≥0时0≤e-a≤1,故由Abel判别法知I(α)关口于αE[0.)一致收敛$16.2.2一致收敛积分的性质我们在本小节讨论含参变量的广义积分所确定的函数的连续性质，积分性质和微分性质等.引理16.2.1(连续性质).设f(z,9)在[a,oo)×[c,d)中连续，(16.2)式中的含参变量积分I(y)关于yE[c,d]一致收敛，则I(y)关于yE[c,d]连续
176 第十六章 含参变量的积分 (ii) g(x, y) 是 x 的单调函数, 且关于 y ∈ [c, d] 一致有界; 则含参变量的广义积分 ∫ ∞ a f(x, y)g(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 这个判别法的证明仍然是运用积分第二中值公式, 我们留给读者完成. 对于含参变量的瑕积分, 上述判别法也有类似的表现形式. 我们以下仅举例来 研究一致收敛性. 例 16.2.2. 研究积分 I(α) = ∫ ∞ 0 e −αx sin x dx 关于 α ∈ (0, ∞) 的一致收敛性. 当 α ≥ δ > 0 时, 因为 |e −αx sin x| ≤ e −δx , 而积分 ∫ ∞ 0 e −δxdx 收敛, 故由 Weierstrass 判别法知积分 I(α) 关于 α ∈ [δ, ∞) 一 致收敛. I(α) 关于 α ∈ (0, ∞) 不是一致收敛的, 这是因为当 α → 0 时, ∫ A 0 A e −αx sin x dx → ∫ A 0 A sin x dx = cos A − cos A 0 , 取 A = 2nπ, A0 = 2nπ + π/2 即知上式不趋于零. 例 16.2.3. 研究积分 I(α) = ∫ ∞ 0 e −αx sin x x dx 关于 α ∈ [0,∞) 的一致收敛性. 因为积分 ∫ ∞ 0 sin x x dx 收敛, 这个积分不含参变量 α, 因而关于 α 一致收敛. 函 数 e −αx 关于 x 单调, 且当 α, x ≥ 0 时 0 ≤ e −αx ≤ 1, 故由 Abel 判别法知 I(α) 关 于 α ∈ [0, ∞) 一致收敛. §16.2.2 一致收敛积分的性质 我们在本小节讨论含参变量的广义积分所确定的函数的连续性质, 积分性质和 微分性质等. 引理 16.2.1 (连续性质). 设 f(x, y) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续, (16.2) 式中的含 参变量积分 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛, 则 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
916.2含参变量的广义积分177证明.根据题设，任给=>0,存在A>0.使得f(a,y)dr ≤e, Vye[c,d].注意到f(a,y)在[a,A]×[c,d]中一致连续,因此存在>0,当1,2[c,d]且[y1 - y2] 0,存在A>0,当A>A时I/f(,)e, ye[ed此时，有(o)dy - J (,v)dya|-1 (o)dy- J /(z)drdy)l=1 / / f(,v)drdyl≤ (d -c)e,口根据广义积分的定义可知欲证等式成立例16.2.4.设α，β>0,计算积分cos ar - cos βr2drr2
§16.2 含参变量的广义积分 177 证明. 根据题设, 任给 ε > 0, 存在 A > 0, 使得 ∫ ∞ A f(x, y)dx ≤ ε, ∀ y ∈ [c, d]. 注意到 f(x, y) 在 [a, A] × [c, d] 中一致连续, 因此存在 δ > 0, 当 y1, y2 ∈ [c, d] 且 |y1 − y2| 0, 存在 A0 > 0, 当 A > A0 时 ∫ ∞ A f(x, y)dx ≤ ε, ∀ y ∈ [c, d]. 此时, 有 ∫ d c I(y)dy − ∫ A a ∫ d c f(x, y)dydx = ∫ d c I(y)dy − ∫ d c ∫ A a f(x, y)dxdy = ∫ d c ∫ ∞ A f(x, y)dxdy ≤ (d − c)ε, 根据广义积分的定义可知欲证等式成立. 例 16.2.4. 设 α, β > 0, 计算积分 I = ∫ ∞ 0 cos αx − cos βx x 2 dx.
178第十六章含参变量的积分simda关于gE[6,)(6>0)一致收效，利用积分次序的解.由于积分r可交换性得Bcos βrdaososin(yr)dyr2sin(yz),daTα)sin yz dr =口其中，当y>0时，我们用到了积分2T定理16.2.3(微分性质).设f(a,y)和fy(a,y)在[a,oo)×[c,d]中连续，如果积分 (y)=fy(a,y)dr关于yE[c,d]一致收敛，且存在yo E[c,d]，使得积分f(z;yo)da收敛，则积分 I(u)=f(ar,3)da关于yE[c,d)一致收敛,且I'(g) = (u) = / fy(r,y)da.证明.根据题设，任给>0,存在A>0,当A,A≥Ag时， f(a,yo)dae; I/ f(a,)dae, Vye[ed.此时,任给 1 E[c,d],有[ f(, 1)da| ≤/ / (a, y0)da| +1 / [5(c, 1) - f(a, y0)]da|=()+()()a+f()d≤=+ [31 - yole≤e + (d - c)e,这说明I(g)关于yE[c,d]一致收敛.当 y1,92E[c,d]时，由定理16.2.2和题设可得(u)dy="fu(r,y)dyda[f(r, 2) -f(z, y1)]da= I(y2) - I(y1)口这说明I(y)可导，且I'(y)=d(y)
178 第十六章 含参变量的积分 解. 由于积分 ∫ ∞ 0 sin yx x dx 关于 y ∈ [δ, ∞) (δ > 0) 一致收敛, 利用积分次序的 可交换性得 ∫ ∞ 0 cos αx − cos βx x 2 dx = ∫ ∞ 0 dx x ∫ β α sin(yx)dy = ∫ β α dy ∫ ∞ 0 sin(yx) x dx = π 2 (β − α). 其中, 当 y > 0 时, 我们用到了积分 ∫ ∞ 0 sin yx x dx = π 2 . 定理 16.2.3 (微分性质). 设 f(x, y) 和 fy(x, y) 在 [a, ∞) × [c, d] 中连续, 如果 积分 ψ(y) = ∫ ∞ a fy(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛, 且存在 y0 ∈ [c, d], 使得积分 ∫ ∞ a f(x, y0)dx 收敛, 则积分 I(y) = ∫ ∞ a f(x, y)dx 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛, 且 I 0 (y) = ψ(y) = ∫ ∞ a fy(x, y)dx. 证明. 根据题设, 任给 ε > 0, 存在 A0 > 0, 当 A, A0 ≥ A0 时, ∫ A 0 A f(x, y0)dx ≤ ε; ∫ A 0 A fy(x, y)dx ≤ ε, ∀ y ∈ [c, d]. 此时, 任给 y1 ∈ [c, d], 有 ∫ A 0 A f(x, y1)dx ≤ ∫ A 0 A f(x, y0)dx + ∫ A 0 A [f(x, y1) − f(x, y0)]dx = ∫ A 0 A f(x, y0)dx + ∫ A 0 A ∫ y1 y0 fy(x, y)dydx = ∫ A 0 A f(x, y0)dx + ∫ y1 y0 ∫ A 0 A fy(x, y)dxdy ≤ ε + |y1 − y0|ε ≤ ε + (d − c)ε, 这说明 I(y) 关于 y ∈ [c, d] 一致收敛. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 由定理 16.2.2 和题设可 得 ∫ y2 y1 ψ(y)dy = ∫ ∞ a ∫ y2 y1 fy(x, y)dydx = ∫ ∞ a [f(x, y2) − f(x, y1)]dx = I(y2) − I(y1). 这说明 I(y) 可导, 且 I 0 (y) = ψ(y).