第一章Riemann映照定理在本章里，我们将简单复习单复变函数的若干知识．从Schwarz引理开始，然后介绍调和函数的基本性质，最后给出Riemann映照定理的证明Schwarz引理$1.1s设DCC为开集，如果D连通，则称D为C中区域，这时D也是道路连通的.设f:D-→C为复函数，20eD.若极限f(2) - f(z0)lim2-202→20存在（且有限)，则称于在20处可导，此极限值称为于在20处的导数，记作"(20).如果f：D→C在D中任何一点处均可导，则称f为D中全纯函数.记f的实部和虚部分别为u,u，则f为全纯函数的充分必要条件是u,u满足如下的Cauchy-Riemann方程：[un = Uy'uy=-Ua全纯函数的定义还有许多其他的等价形式平均值公式：若函数f在圆盘(zeC|Iz-al<R)内全纯并连续到边界，则1f(a+rei)de, 0<r≤R.f(a) = 2元 Jo即，于在圆心处的值等于它在圆盘边界上的积分的平均值由此立即得到重要的最大模原理：最大模原理：假设函数f(z)在域D内全纯，则If(z)I在D内取不到最大值，除非于为常值函数，关于单复变函数的一个特别简单而优美的结果是如下的Schwarz引理定理1.1.1(Schwarz引理).设f是从单位圆盘D=(zEC|[<1)到自身的全纯函数，且f(0)=0.则() [f'(0)/ ≤1,(i) If(z)I ≤Izl, zeD且等号成立时，存在某个实数9，使得f(2)=e0z, VzeD.1
第一章 Riemann 映照定理 在本章里, 我们将简单复习单复变函数的若干知识. 从 Schwarz 引理开始, 然 后介绍调和函数的基本性质, 最后给出 Riemann 映照定理的证明. §1.1 Schwarz 引理 设 D Ă C 为开集, 如果 D 连通, 则称 D 为 C 中区域, 这时 D 也是道路连通 的. 设 f : D Ñ C 为复函数, z0 P D. 若极限 limzÑz0 fpzq ´ fpz0q z ´ z0 存在 (且有限), 则称 f 在 z0 处可导, 此极限值称为 f 在 z0 处的导数, 记作 f 1 pz0q. 如果 f : D Ñ C 在 D 中任何一点处均可导, 则称 f 为 D 中全纯函数. 记 f 的实部和虚部分别为 u, v, 则 f 为全纯函数的充分必要条件是 u, v 满足如下的 Cauchy-Riemann 方程: $ & % ux “ vy, uy “ ´vx. 全纯函数的定义还有许多其他的等价形式. 平均值公式: 若函数 f 在圆盘 tz P C ˇ ˇ |z ´ a| ă Ru 内全纯并连续到边界, 则 fpaq “ 1 2π ż 2π 0 fpa ` reiθqdθ, 0 ă r ď R. 即，f 在圆心处的值等于它在圆盘边界上的积分的平均值. 由此立即得到重要的最大模原理: 最大模原理: 假设函数 fpzq 在域 D 内全纯, 则 |fpzq| 在 D 内取不到最大值, 除非 f 为常值函数. 关于单复变函数的一个特别简单而优美的结果是如下的 Schwarz 引理. 定理 1.1.1 (Schwarz 引理). 设 f 是从单位圆盘 D “ tz P C ˇ ˇ |z| ă 1u 到自身 的全纯函数, 且 fp0q “ 0. 则 (i) |f 1 p0q| ď 1, (ii) |fpzq| ď |z|, @ z P D. 且等号成立时, 存在某个实数 θ, 使得 fpzq “ e iθz, @ z P D. 1
2第一章Riemann映照定理证明.在D上定义新的函数g如下：f(z)/z,z0,g(2) =f(0),Z=0则g也是D内全纯函数，且对p<1,有If(2)l 1lg(z)/ =V ze(12] =p)P1zl由最大模原理得VzE(zED/I2|≤p.lg(z)/ ≤0令→1就知g(z)/≤1zD如果IF"(0)I=1或If(2)[=[ (对某个z0)，则g在D的内部达到最大模，从而由最大模原理，g(2)=c.即f(2) = cz.口显然，c=1.因此，c=e,0eR从Schwarz引理可以得到如下推论，其证明留作练习推论1.1.2.(1)设f：Br(O)→B(O)是从半径为R的圆盘到半径为的圆盘的全纯函数，如果f(0)=0,则If(0)≤r/R;(2)设：BR(O)→C为有界全纯函数，则1(0) sup1l;(3)（Liouville)设f：C→C为有界全纯函数，则f为常值函数作为Schwarz引理的进一步应用，下面我们来找出单位圆盘D到自身的所有全纯的一一映射（即全纯自同构）任取20ED,ER,定义fzo:D-D2-002-2020z-1fz。是一一的全纯映射，且fz（zo）=0.这样的映射称为Mobius变换定理1.1.3.如果f:D-→D是一一的全纯的映射，则f必为一个Mobius变换
2 第一章 Riemann 映照定理 证明. 在 D 上定义新的函数 g 如下： gpzq “ # fpzq{z, z ‰ 0, f 1 p0q, z “ 0, 则 g 也是 D 内全纯函数, 且对 ρ ă 1, 有 |gpzq| “ |fpzq| |z| ď 1 ρ , @ z P t|z| “ ρu. 由最大模原理得 |gpzq| ď 1 ρ , @ z P tz P D ˇ ˇ |z| ď ρu. 令 ρ Ñ 1 就知 |gpzq| ď 1, @ z P D. 如果 |f 1 p0q| “ 1 或 |fpzq| “ |z| (对某个 z ‰ 0), 则 g 在 D 的内部达到最大模, 从而由最大模原理, gpzq ” c. 即 fpzq “ cz. 显然, |c| “ 1. 因此, c “ e iθ , θ P R. 从 Schwarz 引理可以得到如下推论, 其证明留作练习. 推论 1.1.2. p1q 设 f : BRp0q Ñ Brp0q 是从半径为 R 的圆盘到半径为 r 的圆 盘的全纯函数, 如果 fp0q “ 0, 则 |f 1 p0q| ď r{R; p2q 设 f : BRp0q Ñ C 为有界全纯函数, 则 |f 1 p0q| ď 2 R sup |f|; p3q pLiouvilleq 设 f : C Ñ C 为有界全纯函数, 则 f 为常值函数. 作为 Schwarz 引理的进一步应用, 下面我们来找出单位圆盘 D 到自身的所有 全纯的一一映射 (即全纯自同构). 任取 z0 P D, θ P R, 定义 fz0 : D Ñ D z ÞÑ e iθ z ´ z0 z¯0z ´ 1 fz0 是一一的全纯映射, 且 fz0 pz0q “ 0. 这样的映射称为 M¨obius 变换. 定理 1.1.3. 如果 f : D Ñ D 是一一的全纯的映射, 则 f 必为一个 M¨obius 变 换.
3g1.1Schwarz引理证明.设f:D→D是—一的全纯的映射.记20=f(0)，令g(z)=f=(f(z),则g：D→D也是一一的全纯的映射，且g(0)=0.由Schwarz引理，lg(0)≤1.另一方面，g的逆映射h：D→D也是全纯函数，且h(O)=0.从而同理有[h(O)/≤1.由于h(g(z))= z,对z求导,有h'(0) -g (0) = 1.这说明必有Ig (0)/ = [h (0)/ = 1.由Schwarz引理，g(z)=ezR.即f2(f(2) = ei0zf(2) =e02-e-i0z0Zoeiez-1口这就证明了定理类似地，我们也可以决定C到C的全纯自同构定理1.1.4.如果f：C→C是全纯自同构，则f必为形如az+b的线性映射,其中aeC*=C-{0),beC.证明.记f(O)=b.显然，f-b也是C的全纯自同构.我们要证明f-b是形如az的线性映射.因此，为了方便起见，下设f(0)=0.令g：C→C定义为f(2)/z,zeC*,g(z) =(f"(0),z=0.则g为C上全纯且处处非零的函数.下面证明g必为常值函数.关键是证明！为9C上有界全纯函数.我们观察到(1)存在c>0,使得If(z)/≥c,VzEC-D;(2) ,lim If(2)/ = +00.(1)的证明：（反证法)假设不然，则存在一列ziEC-D,使得f(z)→0.注意到f在0处是一一可逆全纯的，因此有zi = f-1(f(z)) → f-1(0) = 0.这和ZiEC-D相矛盾！(2)的证明：（反证法)假设存在A>0,以及一列zi→00，使得f(z)≤A,i=1,2,..通过取子列，不妨设f(z）-→weC.类似(1)知zi=f-1(f(z)）→f(w)这和2→00相矛盾！
§1.1 Schwarz 引理 3 证明. 设 f : D Ñ D 是一一的全纯的映射. 记 z0 “ fp0q, 令 gpzq “ fz0 pfpzqq, 则 g : D Ñ D 也是一一的全纯的映射, 且 gp0q “ 0. 由 Schwarz 引理, |g 1 p0q| ď 1. 另 一方面, g 的逆映射 h : D Ñ D 也是全纯函数, 且 hp0q “ 0. 从而同理有 |h 1 p0q| ď 1. 由于 hpgpzqq ” z, 对 z 求导, 有 h 1 p0q ¨ g 1 p0q “ 1. 这说明必有 |g 1 p0q| “ |h 1 p0q| “ 1. 由 Schwarz 引理, gpzq “ e iθz, θ P R. 即 fz0 pfpzqq “ e iθz fpzq “ e iθ z ´ e ´iθz0 z¯0e iθz ´ 1 这就证明了定理. 类似地, 我们也可以决定 C 到 C 的全纯自同构. 定理 1.1.4. 如果 f : C Ñ C 是全纯自同构, 则 f 必为形如 az ` b 的线性映 射, 其中 a P C ˚ “ C ´ t0u, b P C. 证明. 记 fp0q “ b. 显然, f ´ b 也是 C 的全纯自同构. 我们要证明 f ´ b 是形 如 az 的线性映射. 因此, 为了方便起见, 下设 fp0q “ 0. 令 g : C Ñ C 定义为 gpzq “ # fpzq{z, z P C ˚, f 1 p0q, z “ 0. 则 g 为 C 上全纯且处处非零的函数. 下面证明 g 必为常值函数. 关键是证明 1 g 为 C 上有界全纯函数. 我们观察到 (1) 存在 c ą 0, 使得 |fpzq| ě c, @ z P C ´ D; (2) lim |z|Ñ8 |fpzq| “ `8. (1) 的证明: (反证法) 假设不然, 则存在一列 zi P C ´ D, 使得 fpziq Ñ 0. 注意 到 f 在 0 处是一一可逆全纯的, 因此有 zi “ f ´1 pfpziqq Ñ f ´1 p0q “ 0. 这和 zi P C ´ D 相矛盾! (2) 的证明: (反证法) 假设存在 A ą 0, 以及一列 zi Ñ 8, 使得 |fpziq| ď A, i “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ . 通过取子列, 不妨设 fpziq Ñ w P C. 类似 (1) 知 zi “ f ´1 pfpziqq Ñ fpwq. 这和 zi Ñ 8 相矛盾!
第一章Riemann映照定理4下面我们定义映射g:D-→D[F()]-1 .c,z0,ZH0,2 = 0.由（2知g是D上的连续函数，且在D*=D-0上全纯.因此，9是D上全纯函数，从而满足Schwarz引理的条件.特别地，1g()/≤z1zeD.即有If(z) ≥czl, zEC-D这说明=这个非零全纯函数在C上整体有界，从而必为常数.口从上面两个定理我们就得到了D和C的全纯自同构群的完全刻画，习题1.11.设f:C→C为全纯函数且If(z)/≤z/3/2,zeC.证明f恒为02.设f：C→C全纯，且存在自然数n，使得zl充分大时，f(z)/≤c·zn.证明f必为某个次数不超过n的多项式3.设f：α-→C为非常值全纯函数，其中α为C中区域.证明f为开映射，即把开集映为开集4.设f:2→C为单的全纯映射，则f:2→f(2)为全纯同构5.试刻画C*的全纯自同构6.证明，C到C的全纯单射必为满射，从而是线性映射81.2调和函数设为C上区域，heC(2)为实值函数。如果△h=0,则称h为调和函数，这里△=+%是Laplace算子记u,u分别为全纯函数f：2→C的实部与虚部，则u,u满足Cauchy-Riemann方程：a=Uyuy=-r
4 第一章 Riemann 映照定理 下面我们定义映射 g˜ : D Ñ D z ÞÑ # rfp 1 z qs´1 ¨ c, z ‰ 0, 0, z “ 0. 由 (2) 知 g˜ 是 D 上的连续函数, 且在 D ˚ “ D ´ 0 上全纯. 因此, ˜g 是 D 上全纯函 数, 从而满足 Schwarz 引理的条件. 特别地, |g˜pzq| ď |z|, @ z P D. 即有 |fpzq| ě c|z|, @ z P C ´ D. 这说明 1 g 这个非零全纯函数在 C 上整体有界, 从而必为常数. 从上面两个定理我们就得到了 D 和 C 的全纯自同构群的完全刻画. 习题 1.1 1. 设 f : C Ñ C 为全纯函数且 |fpzq| ď |z| 3{2 , @ z P C. 证明 f 恒为 0. 2. 设 f : C Ñ C 全纯, 且存在自然数 n, 使得 |z| 充分大时, |fpzq| ď c ¨ |z| n. 证明 f 必为某个次数不超过 n 的多项式. 3. 设 f : Ω Ñ C 为非常值全纯函数, 其中 Ω 为 C 中区域. 证明 f 为开映射, 即把 开集映为开集. 4. 设 f : Ω Ñ C 为单的全纯映射, 则 f : Ω Ñ fpΩq 为全纯同构. 5. 试刻画 C ˚ 的全纯自同构. 6. 证明, C 到 C 的全纯单射必为满射, 从而是线性映射. §1.2 调和函数 设 Ω 为 C 上区域, h P C 2 pΩq 为实值函数. 如果 ∆h “ 0, 则称 h 为调和函数, 这里 ∆ “ B 2 Bx2 ` B 2 By2 是 Laplace 算子. 记 u, v 分别为全纯函数 f : Ω Ñ C 的实部与虚部, 则 u, v 满足 Cauchy-Riemann 方程: $ & % ux “ vy, uy “ ´vx.
81.2调和函数5由此立知Au= uar+ uyy= wyr-Ury=0,Au=Unr +y=-uyr + uay=0.即全纯函数的实部和虚部均为调和函数现在我们考虑反过来的问题，即，一个实值调和函数在什么条件下成为一个全纯函数的实部？为此，我们假设u：2→R为区域2上的调和函数，在中解如下一阶偏微分方程组Ur=-uy(Uy = ur.这个方程组局部有解的可积条件为(-uy)=(ur)u=0这就说明了解的局部存在性，因此，复变函数于=u+-1u为上的全纯函数特别地，调和函数必为实解析函数一般地，上述方程组在2上的整体解未必存在.在一个特殊的情形下，即区域2单连通的情形，整体解是存在的，回忆一下，一个区域单连通是指其基本群为平凡群（即，区域中的闭连续曲线可在该区域内连续地缩成一点）.例如，D和C都是单连通的区域.因为上述方程组的两个解只相差一个常数，因此，如果2单连通，则通过解析延拓，一个局部的解总能延拓为整体解.这就得到了如下结果：定理1.2.1.设u：Q→C为区域2上的调和函数，则有(i)VzoE2,均存在zo的开邻域BzoC以及Bz上的调和函数u,使得f=u+V-Iu为Bz上的全纯函数.(i)如果为单连通区域，则存在α上的整体调和函数u,使得f=u+-lu为2上的全纯函数注.上面定理中解的局部存在性和整体存在性与区域及函数u代表的拓扑性质有关，读者可参考第二章2.2节中的Poincare引理.利用上述结论，我们就可以从全纯函数的性质得到调和函数的一些好的性质.调和函数的平均值公式：设u：2→R为调和函数Br(z0) = (ze2 / Iz - z0l <r) C2是以20为中心的圆盘，则1u(zo+rei0)du(20) = 2元 Jo
§1.2 调和函数 5 由此立知 ∆u “ uxx ` uyy “ vyx ´ vxy “ 0, ∆v “ vxx ` vyy “ ´uyx ` uxy “ 0. 即全纯函数的实部和虚部均为调和函数. 现在我们考虑反过来的问题, 即, 一个实值调和函数在什么条件下成为一个全 纯函数的实部? 为此, 我们假设 u : Ω Ñ R 为区域 Ω 上的调和函数, 在 Ω 中解如下 一阶偏微分方程组 $ & % vx “ ´uy, vy “ ux. 这个方程组局部有解的可积条件为 p´uyqy “ puxqx ðñ ∆u “ 0. 这就说明了解的局部存在性, 因此, 复变函数 f “ u ` ? ´1v 为 Ω 上的全纯函数. 特别地, 调和函数必为实解析函数. 一般地, 上述方程组在 Ω 上的整体解未必存在. 在一个特殊的情形下, 即区域 Ω 单连通的情形, 整体解是存在的. 回忆一下, 一个区域单连通是指其基本群为平 凡群 (即, 区域中的闭连续曲线可在该区域内连续地缩成一点). 例如, D 和 C 都 是单连通的区域. 因为上述方程组的两个解只相差一个常数, 因此, 如果 Ω 单连通, 则通过解析延拓, 一个局部的解总能延拓为整体解. 这就得到了如下结果: 定理 1.2.1. 设 u : Ω Ñ C 为区域 Ω 上的调和函数, 则有 (i) @ z0 P Ω, 均存在 z0 的开邻域 Bz0 Ă Ω 以及 Bz0 上的调和函数 v, 使得 f “ u ` ? ´1 v 为 Bz0 上的全纯函数. (ii) 如果 Ω 为单连通区域, 则存在 Ω 上的整体调和函数 v, 使得 f “ u` ? ´1 v 为 Ω 上的全纯函数. 注. 上面定理中解的局部存在性和整体存在性与区域 Ω 及函数 u 代表的拓扑 性质有关, 读者可参考第二章 2.2 节中的 Poincar´e 引理. 利用上述结论, 我们就可以从全纯函数的性质得到调和函数的一些好的性质. 调和函数的平均值公式: 设 u : Ω Ñ R 为调和函数, Brpz0q “ tz P Ω ˇ ˇ |z ´ z0| ă ru Ť Ω 是以 z0 为中心的圆盘, 则 upz0q “ 1 2π ż 2π 0 upz0 ` reiθqdθ
6第一章Riemann映照定理证明.由上述定理知调和函数u在B（zo）内是全纯函数的实部，根据全纯函口数的平均值公式就立即得到了u的平均值公式作为平均值公式的推论，我们马上得到调和函数的最大值原理，其证明留作习题.最大值原理：设u：2→R为调和函数，则(i)u在的内部达不到局部最大值，除非u为常数(i）u在的内部达不到局部最大值（或最小值)，除非u为常数其次，从平均值公式我们看到，圆盘上的调和函数在圆心的值由它在边界上的值确定.为了简单起见，我们考虑中心在原点0处的圆盘B, =(ze2|12/<r)设zoEBr，:B,→B.是把0映为zo的分式线性变换，对调和函数u在B,上用平均值公式就得到如下的Poisson积分公式Poisson积分公式：设u,Br如上，则对任意z0EBr，有12 (re'0) - lop?u(20) =de2元J0jreio-zol2Poisson积分公式表明，圆盘上的调和函数是由它在边界上的值惟一决定的.反之，如果圆盘的边界上给定一个连续函数，则通过积分在圆盘内部就可以定义一个调和函数，这就是所谓的Dirichlet边值问题定理1.2.2（圆盘上Dirichlet边值问题解的存在惟一性).设f(rei）是圆周[2|=上的实值连续函数，则在圆盘<r内存在惟一的调和函数u(2)满足lim。u(2) = f(re').→证明.在圆盘内定义17r2-[22f(rete)deu(2)=rei0-2122元J不难验证u是满足要求的在圆盘上连续到边界的调和函数：u的惟一性由最大值原理给出.口结合最大值原理和Dirichlet问题解的存在惟一性，我们就得到调和函数的如下刻画推论1.2.3.设u:α→R为区域上的连续函数，且任给中一点P,均存在P的邻域Vp，使得在V内u都满足平均值公式，则u为2上的调和函数
6 第一章 Riemann 映照定理 证明. 由上述定理知调和函数 u 在 Brpz0q 内是全纯函数的实部, 根据全纯函 数的平均值公式就立即得到了 u 的平均值公式. 作为平均值公式的推论, 我们马上得到调和函数的最大值原理, 其证明留作习 题. 最大值原理: 设 u : Ω Ñ R 为调和函数, 则 (i) |u| 在 Ω 的内部达不到局部最大值, 除非 u 为常数; (ii) u 在 Ω 的内部达不到局部最大值 (或最小值), 除非 u 为常数. 其次, 从平均值公式我们看到, 圆盘上的调和函数在圆心的值由它在边界上的 值确定. 为了简单起见, 我们考虑中心在原点 0 处的圆盘 Br “ tz P Ω ˇ ˇ |z| ă ru, 设 z0 P Br, γ : Br Ñ Br 是把 0 映为 z0 的分式线性变换, 对调和函数 u ˝ γ 在 Br 上用平均值公式就得到如下的 Poisson 积分公式: Poisson 积分公式: 设 u, Br 如上, 则对任意 z0 P Br, 有 upz0q “ 1 2π ż 2π 0 upreiθq r 2 ´ |z0| 2 |reiθ ´ z0| 2 dθ. Poisson 积分公式表明, 圆盘上的调和函数是由它在边界上的值惟一决定的. 反 之, 如果圆盘的边界上给定一个连续函数, 则通过积分在圆盘内部就可以定义一个 调和函数, 这就是所谓的 Dirichlet 边值问题. 定理 1.2.2 (圆盘上 Dirichlet 边值问题解的存在惟一性). 设 fpreiθq 是圆周 |z| “ r 上的实值连续函数, 则在圆盘 |z| ă r 内存在惟一的调和函数 upzq 满足 lim zÑreiθ upzq “ fpreiθq. 证明. 在圆盘内定义 upzq “ 1 2π ż 2π 0 fpreiθq r 2 ´ |z| 2 |reiθ ´ z| 2 dθ, 不难验证 u 是满足要求的在圆盘上连续到边界的调和函数. u 的惟一性由最大值 原理给出. 结合最大值原理和 Dirichlet 问题解的存在惟一性, 我们就得到调和函数的如 下刻画. 推论 1.2.3. 设 u : Ω Ñ R 为区域 Ω 上的连续函数, 且任给 Ω 中一点 p, 均存 在 p 的邻域 Vp, 使得在 Vp 内 u 都满足平均值公式, 则 u 为 Ω 上的调和函数.
781.2调和函数证明.任取pe2，只要证明u在p附近调和即可.为此，取含有p的圆盘B,CVp，在Bp上考虑Dirichlet边值问题(△u(z) = 0, VzBpV(2)=u(2),VzeaBp记此边值问题的解为up，则函数u-up在Bp内满足平均值公式，从而也满足最大值原理，由于在圆盘的边界aBp上u一up为0,因此在Bp内u=up，这就说口明u在B,内调和下面来给出调和函数重要的梯度估计，我们注意到，如果u为2上的调和函数，则其偏导数uz，uy也是调和函数，因此也满足Poisson积分公式，由此就可以通过u来估计u和uu不过，下面我们采用另一个办法来作一阶导数的估计，这个办法的好处是可以推广到黎曼流形上，为此，我们不妨一般一点，在R”上考虑问题R"上调和函数的定义和C上调和函数的定义完全类似，只是R”上的Laplace算子定义为aaa+这里a1,F2.…an为R"上标准直角坐标设u为R"上调和函数，即u满足△u=0.下面我们要估计/Vu，这里Vu=（un1,ua2，，uan）是u的梯度.我们采用的办法是，先用一个函数将[Vu?截断，然后考虑截断以后的函数的极值为此，我们需要一个截断函数，这就是下面的引理，引理1.2.4.存在常数C1，C2以及光滑函数Φ：R→R，使得Φ满足如下条件() = 0, V[| ≥1; 0 <() <1, V re (-1, +1);(0'()?≤C14(r), V TeR:l0"(r)/≤C2,VaeR.证明.先定义如下函数1：R→R，a<lpi(r):0.a≥1不难验证1是R上的光滑函数，且[i(a)]?lim= lim e-(α-1)-4=0i(r)T→1-2-→1-以及[ei(a)?lime(r-1)-4=0limpi(r)
§1.2 调和函数 7 证明. 任取 p P Ω, 只要证明 u 在 p 附近调和即可. 为此, 取含有 p 的圆盘 Bp Ă Vp, 在 Bp 上考虑 Dirichlet 边值问题 # ∆vpzq “ 0, @ z P Bp, vpzq “ upzq, @ z P BBp. 记此边值问题的解为 up, 则函数 u ´ up 在 Bp 内满足平均值公式, 从而也满足 最大值原理. 由于在圆盘的边界 BBp 上 u ´ up 为 0, 因此在 Bp 内 u ” up, 这就说 明 u 在 Bp 内调和. 下面来给出调和函数重要的梯度估计. 我们注意到, 如果 u 为 Ω 上的调和函 数, 则其偏导数 ux, uy 也是调和函数, 因此也满足 Poisson 积分公式, 由此就可以 通过 |u| 来估计 |ux| 和 |uy|. 不过, 下面我们采用另一个办法来作一阶导数的估计, 这个办法的好处是可以推广到黎曼流形上. 为此, 我们不妨一般一点, 在 R n 上考 虑问题. R n 上调和函数的定义和 C 上调和函数的定义完全类似, 只是 R n 上的 Laplace 算子定义为 ∆ “ B Bx 2 1 ` B Bx 2 2 ` ¨ ¨ ¨ ` B Bx 2 n , 这里 x1, x2, ¨ ¨ ¨ , xn 为 R n 上标准直角坐标. 设 u 为 R n 上调和函数, 即 u 满足 ∆u “ 0. 下面我们要估计 |∇u|, 这里 ∇u “ pux1 , ux2 , ¨ ¨ ¨ , uxn q 是 u 的梯度. 我们采用的办法是, 先用一个函数将 |∇u| 2 截断, 然后考虑截断以后的函数的极值. 为此, 我们需要一个截断函数, 这就是下面 的引理. 引理 1.2.4. 存在常数 C1, C2 以及光滑函数 ϕ : R Ñ R, 使得 ϕ 满足如下条 件 $ ’’& ’’% ϕpxq “ 0, @ |x| ě 1; 0 ă ϕpxq ă 1, @ x P p´1, `1q; pϕ 1 pxqq2 ď C1ϕpxq, @ x P R; |ϕ 2 pxq| ď C2, @ x P R. 证明. 先定义如下函数 φ1 : R Ñ R: φ1pxq “ # e 1 x´1 , x ă 1, 0, x ě 1. 不难验证 φ1 是 R 上的光滑函数, 且 lim xÑ1´ rφ 1 1 pxqs2 φ1pxq “ lim xÑ1´ e 1 x´1 px ´ 1q ´4 “ 0, 以及 lim xÑ´8 rφ 1 1 pxqs2 φ1pxq “ lim xÑ´8 e 1 x´1 px ´ 1q ´4 “ 0.
第一章 Riemann映照定理y1pi(a)T01图1.1结合1()=0,≥1就知道存在常数Ci,使得(1.1)[Di(r)P≤Cipi(a), VeR类似地，由 lim Pi() = lim,e-[(r - 1)-4 + 2(r - 1)-3] = 0以及(a)=0,≥1就知道存在常数C2,使得Ip'(r)I≤C2,VaeR.(1.2)其次，考虑光滑函数2：R→R：(p1(z)TER.P2(α) =(1() +1(1 -)由1的定义知2()=1,≤0;p2()=0,≥1.因此，如果按如下方式定义函数Φ:R→Rp2(r),≥0,Φ(r) = (p2((rl) =(p2(-r), ≤0,则Φ为R上的光滑函数，并且利用（1.1)，(1.2）易验证，存在常数C1，C2，使得Φ就是满足引理要求的函数口注，Φ在「-1,0]上递增，在[0,1]上递减ytd(r)工0--1图1.2上面引理中的函数称为一个截断函数，由此也可以得到R”中的截断函数
8 第一章 Riemann 映照定理 φ1(x) 1 1 x y 0 图 1.1 结合 φ1pxq “ 0, @ x ě 1 就知道存在常数 C 1 1 , 使得 rφ 1 1 pxqs2 ď C 1 1φ1pxq, @ x P R. (1.1) 类似地, 由 lim xÑ´8 φ 2 1 pxq “ lim xÑ´8 e 1 x´1 rpx ´ 1q ´4 ` 2px ´ 1q ´3 s “ 0 以及 φ 2 1 pxq “ 0, @ x ě 1 就知道存在常数 C 1 2 , 使得 |φ 2 1 pxq| ď C 1 2 , @ x P R. (1.2) 其次, 考虑光滑函数 φ2 : R Ñ R: φ2pxq “ φ1pxq φ1pxq ` φ1p1 ´ xq , x P R. 由 φ1 的定义知 φ2pxq “ 1, @ x ď 0; φ2pxq “ 0, @ x ě 1. 因此, 如果按如下方式定 义函数 ϕ : R Ñ R ϕpxq “ φ2p|x|q “ # φ2pxq, x ě 0, φ2p´xq, x ď 0, 则 ϕ 为 R 上的光滑函数, 并且利用 (1.1), (1.2) 易验证, 存在常数 C1, C2, 使得 ϕ 就是满足引理要求的函数. 注. ϕ 在 r´1, 0s 上递增, 在 r0, 1s 上递减. ϕ(x) x y 0 1 −1 1 图 1.2 上面引理中的函数称为一个截断函数. 由此也可以得到 R n 中的截断函数.
981.2调和函数推论1.2.5.存在光滑函数Φ：Rn→R，使得Φ满足条件00.在o处，有B.(0)VQ(ro) = 0,△Q(ro) ≤0
§1.2 调和函数 9 推论 1.2.5. 存在光滑函数 ϕ : R n Ñ R, 使得 ϕ 满足条件 $ ’’’’& ’’’’% 0 ă ϕpxq ď 1, @ x P B1p0q “ tpx1, x2, ¨ ¨ ¨ , xnq | řn i“1 x 2 i ă 1u; ϕpxq “ 0, @ x P R n ´ B1p0q; |∇ϕpxq|2 ď C1ϕpxq, @ x P R n; |∆ϕpxq| ď nC2, @ x P R n. 证明. 如下定义函数 ϕ: ϕpxq “ ϕpx1, x2, ¨ ¨ ¨ , xnq “ ϕprq “ ϕprÿn i“1 x 2 i s 1 2 q, x P R n , 这里在后面两个等号后我们用了同一个 ϕ 表示上面引理 1.2.4 中的一元截断函数 ( n “ 1 时二者一致). 显然, ϕ 在 R n ´ 0 上是光滑的, 不难验证 ϕ 在 0 处也是光滑 的. 且 |∇ϕ| 2 “ |ϕ 1 prq∇r| 2 “ |ϕ 1 prq|2 ď C1ϕprq “ C1ϕpxq, |∆ϕpxq| “ |ϕ 2 prq ` ϕ 1 prqr ´1 pn ´ 1q| ď nC2. 因此 ϕ 为满足要求的光滑函数. 下面考虑梯度估计. 设 u : Ω Ñ R 为调和函数, Ω 为 R n 中的区域. 为了方便 起见, 先假设 u 为正函数. 由于下面涉及许多偏导数的计算, 我们采用一些简化的 记号, 即如果一个函数带有下标 i, 就表示是对第 i 个变量 xi 求偏导数; 另外, 在一 个表达式中, 如果相同的指标出现两次, 就表示要对该指标从 1 到 n 求和, 从而省 略求和符号 (这称为 Einstein 求和约定). 例如, 令 v “ log u, 则有 ∆v “ plog uqii “ pu ´1uiqi “ ´u ´2uiui ` u ´1∆u “ ´|∇v| 2 . (1.3) 在 Ω 中任取一点 p, 设 Bρppq Ť Ω. 不失一般性, 可设 p “ 0. 设 ϕ 为引理 1.2.5 中的截断函数, 令 ϕρpxq “ ϕp 1 ρ xq, @x P R n. ϕρ 也是一个截断函数, 它在 Bρp0q 之 外为 0. 考虑 B¯ ρp0q 上的函数 Q “ ϕρ|∇v| 2 . 因为 Q ˇ ˇ BBρ “ 0, 故存在 x0 P Bρp0q, 使 得 Qpx0q “ max B¯ρp0q Q. 不妨设 Qpx0q ą 0. 在 x0 处, 有 ∇Qpx0q “ 0, ∆Qpx0q ď 0.
10第一章Riemann映照定理下面我们在o处作一些计算，为了方便起见，仍以Φ来表示Φp：0 ≥ △Q(ro)=(//2)= /? + 2. ? + ?=-1Q+2.(-1Q)+/2= $-1Q-2-2Q +$/(1.4)为了方便起见，上面的计算过程中省略了o：我们有A/Vu2 = (ui :v)j3= (2; g)j=20uj +2ui jj=2uj·Vij+20-(Av)2(a) + 20 (A0);n2(A)* - 2V. VVaP一n-2.(1.5)n上面的计算过程中用到了（1.3).将（1.5）代入（1.4），我们有0 ≥△Q(ro)≥6-1Q - 20-]VP0 +20-1Q2 -2Vu: (-10)20-1Q?+20-1Vu.V0.Q.≥-1Q2-2n上式两边约去Φ-1Q(ro)，并利用12n-122Vu.VO≥A1Q--12n就得到如下估计：2-020+-Q-g-1/V02nen即Q(ro)≤ n[(n + 2)-1/V - g)≤ n[(n + 2)C1p-2 + nC2p-2]= C(n)p-2
10 第一章 Riemann 映照定理 下面我们在 x0 处作一些计算, 为了方便起见, 仍以 ϕ 来表示 ϕρ: 0 ě ∆Qpx0q “ ∆pϕ|∇v| 2 q “ ∆ϕ|∇v| 2 ` 2∇ϕ ¨ ∇|∇v| 2 ` ϕ∆|∇v| 2 “ ϕ ´1∆ϕ Q ` 2∇ϕ ¨ ∇pϕ ´1Qq ` ϕ∆|∇v| 2 “ ϕ ´1∆ϕ Q ´ 2ϕ ´2 |∇ϕ| 2Q ` ϕ∆|∇v| 2 . (1.4) 为了方便起见, 上面的计算过程中省略了 x0. 我们有 ∆|∇v| 2 “ pvi ¨ viqjj “ p2vi ¨ vij qj “ 2vij ¨ vij ` 2vi ¨ vijj “ 2vij ¨ vij ` 2vi ¨ p∆vqi ě 2 n pviiq 2 ` 2vi ¨ p∆vqi “ 2 n p∆vq 2 ´ 2∇v ¨ ∇|∇v| 2 “ 2 n |∇v| 4 ´ 2∇v ¨ ∇|∇v| 2 . (1.5) 上面的计算过程中用到了 (1.3). 将 (1.5) 代入 (1.4), 我们有 0 ě ∆Qpx0q ě ϕ ´1∆ϕ Q ´ 2ϕ ´2 |∇ϕ| 2Q ` 2 n ϕ ´1Q 2 ´ 2ϕ∇v ¨ ∇pϕ ´1Qq ě ϕ ´1∆ϕ Q ´ 2ϕ ´2 |∇ϕ| 2Q ` 2 n ϕ ´1Q 2 ` 2ϕ ´1∇v ¨ ∇ϕ ¨ Q. 上式两边约去 ϕ ´1Qpx0q, 并利用 2∇v ¨ ∇ϕ ě ´ 1 n ϕ|∇v| 2 ´ nϕ´1 |∇ϕ| 2 “ ´ 1 n Q ´ nϕ´1 |∇ϕ| 2 就得到如下估计: 0 ě ∆ϕ ´ 2ϕ ´1 |∇ϕ| 2 ` 2 n Q ´ 1 n Q ´ nϕ´1 |∇ϕ| 2 , 即 Qpx0q ď nrpn ` 2qϕ ´1 |∇ϕ| 2 ´ ∆ϕs ď nrpn ` 2qC1ρ ´2 ` nC2ρ ´2 s “ Cpnqρ ´2