代数几何讨论班备用稿 全纯向量丛理论入门 华东师范大学数学系 2015
前言本讲义是在讨论班选读文献以及LawrenceEin教授所开设的相关短课程的基础上编撰而成，若干章节的内容并非完全按照教学顺序展开，作者非常感谢如下好友，通过和他们的讨论，作者对一些概念与结论有了更为准确的理解，他们分别是（按姓氏拼音排列)：陈苗芬、杜荣、吕鑫、翟振华、孙浩、谢大军、叶飞、张通、周国栋.作者也特别感谢谈胜利教授和左康教授在相关课题方面的指引与建议陆俊2015年2月5日于华东师范大学数学系
目录目录基础篇1第一部分2第一章基础知识.21.1向量丛的基本概念：1.1.1向量丛与截面，21.1.2向量丛的同态，81.2凝聚层的预备知识，111.2.1局部自由层11凝聚层1.2.2141.2.3些上同调定理181.2.4高次正像层191.2.5陈类，201.2.6斜率与稳定性22射影丛1.327本章习题，3236第二章向量丛的正性2.1由整体截面生成的层362.2丰富丛，392.3Q-扭向量丛432.4稳定性，45本章习题，46第三章48Koszul上同调与合冲3.1Koszul上同调483.1.1缩并映射.483.1.2Koszul复形与上同调503.1.3Green定理.523.2Castelnuovo-Mumford正则性553.2.1 Castelnuovo-Mumford 引理.553.2.2Castelnuovo-Mumford正则性指标583.2.3相对正则性593.3代数簇上的合冲..623.3.1合冲层，623.3.2Np性质633.3.3有限点集上的合冲问题66本章习题67-ii-
目录第四章向量丛的构造694.1Schwarzenberger方法694.2秩2向量丛的初等修正，704.3Tan-Viehweg方法71714.3.1向量从的存在性判则754.3.2秩2向量丛构造，4.4射影空间上的标准构造。764.5对数微分层78784.5.1对数微分形式，4.5.2对数deRham复形79本章习题82第五章消失定理.835.1预备知识..835.1.1奇点解消..835.1.2覆盖技巧.845.2Kodaira-Nakano消失定理865.3Mumford消失定理，875.4Griffiths-LePotier消失定理，895.5Kawamata-Viehweg消失定理..905.691相对消失性915.6.1Grauert-Riemenschneider消失定理5.6.292相对Kawamata-Viehweg消失定理5.6.392Kollar定理本章习题92第六章日曲线上的向量丛 946.1滤过946.1.1极大完全滤过..946.1.2Harder-Narasimhan滤过956.2斜率与稳定性976.2.1Miyaoka半稳定性判则976.2.2极(小)斜率.100核丛6.2.3.1026.3直纹簇上的应用，.1076.3.1截面乘法映射的满性.1086.3.2直纹簇上的合冲问题1116.4小亏格曲线上的向量丛112IP1上的向量丛6.4.11126.4.2椭圆曲线上的向量丛.113本章习题.115-ili-
目录第七章曲面上的向量丛1167.1稳定性与极大子线丛1167.2Bogomolov不等式及其应用1197.2.1Bogomolov不等式.1197.2.2限制定理..1207.2.3Serrano不等式...1217.3秩2向量丛的存在性判则..1237.4余切丛.125全纯1-形式7.4.1.1257.4.2余切丛的子线丛.1277.4.3Miyaoka-Yau不等式129Albanese映射7.4.41307.5射影平面上的秩2向量丛.1327.5.1Schwarzenberger定理1327.5.2稳定秩2向量丛，.1347.6直纹面上的秩2向量丛，.136本章习题，.136第八章射影空间上的向量丛1388.1Bott公式.1388.2向量丛的分裂性.1408.2.1Horrocks分裂性判则....140.1428.2.2虽跃变直线与一致向量丛8.2.3秩2向量丛的分裂判则，.145本章习题，..145.147第九章秩二向量丛与二元型9.1二元型的共变量.1479.2秩二向量丛的共变量149本章习题...152第十章向量丛的模空间..15310.1秩2向量丛的模空间，,153本章习题153应用篇第二部分154第十一章曲面上的线性系.15511.1Zariski分解.15511.2k-分离性判则.15711.3多重线性系.161本章习题163-iv-
目录第十二章向量丛与叶状结构16512.1基本概念..16512.1.1叶状结构的定义..16512.1.2叶状结构的经典例子.16612.1.3不变曲线..170叶状结构的奇点，12.2+.17312.2.1奇点重数....17312.2.2奇点解消...17412.2.3相切指标....180.18212.2.4Gomez-Mont-Seade-Verjovsky指标12.2.5变分指标......18412.2.6Camacho-Sad指标.18518712.2.7Baum-Bott指标12.2.8分界线定理...18912.2.9非多临界点，..19112.2.10绕异性.19212.3有理首次积分。.193.19412.3.1Darboux定理12.3.2对数叶状结构与有理首次积分19512.4叶状结构的双有理几何....19712.4.1相对极小模型与极小模型.19712.4.2没有极小模型的叶状结构，..19812.4.3Miyaoka有理性判则199.20112.4.4Mcquillan定理12.4.5小平维数....20612.5叶状结构的分类研究20712.5.1全纯向量场诱导的叶状结构.20712.5.2小平维数为0的叶状结构.209.21112.5.3小平维数为1的叶状结构。12.5.4正则叶状结构，21212.5.5一般型叶状结构...213.21312.6叶状结构的形变，本章习题......215第十三章向量丛与纤维化，.22113.1典范纤维化.221本章习题....225第十四章向量丛与高斯复合律:.226第十五章向量丛与一般覆盖.227本章习题，...227参考文献，.228-v-
第一部分基础篇-1-
第一章基础知识第一章基础知识在高等代数中，我们主要关心一个向量空间的性质，如果需要研究一族向量空间，就必须引入向量丛的概念，向量空间中的向量概念推广到向量丛中，则可替换为向量场一也叫做截面，这本讲义主要关心全纯向量丛以及全纯截面的性质，我们在这一章简要地介绍相关基础知识.1.1向量丛的基本概念这一节的内容整理自[Tanll,第一章]1.1.1向量丛与截面以下设X是n维复流形定义1.1.1设π：E→X是从复流形E到X的全纯映射.如果π满足以下条件，则称其为X上的秩r全纯向量丛(Holomorphicvectorbundle)）：(1）对任何点EX，纤维E=π-1(a）是维复向量空间，(2)对任何点EX，存在的开邻域U及双全纯映射PU：元-1(U)→U×Cr，满足如下交换图puπ-1(U)-UxCTUpr并且u将Er同构地映到（a)×Cr上我们将rkE：=r称为E的秩(Rank).如果rkE=1则称π：E一→X为线丛（Linebundle)设(UaaeI是X上的开覆盖，使得PU:EluaUa×C是同构，此处Elu。=元-1(Uα）.为方便起见，我们简记αPUa，称之为平凡化映射.事先取定Cr的一组标准基e1,er.为方便起见，我们把向量u=aiei写成矩阵u=T(a1,.,ar)=1由定义，我们有双全纯映射Paβ :=Paopgl : (UanUg) × Cr(UanUg) × Cr, (a,u)-→ (a, dap(a) .v),这里ΦaBUαnU→GL(rC）视作UαnU上的全纯矩阵函数（即矩阵中的元素都是全纯函数），它们满足余链条件：(1) α= Id,(2) da odo d = Id.- 2 -
第一章基础知识[Φαβ)a,Ber称为E的过渡矩阵（Transitionmatrix)，对线丛而言，过渡矩阵就是全纯函数反过来，如果X上有一组开覆盖(UlaeI以及一族全纯矩阵函数Φαβ：UanUg→GL(r,C)事先取定CT的一组标准基）满足上述两个条件，我们可以将诸U。×Cr通过如下方式粘合起来，得到全纯向量丛E = IIUa×cr / ~,此处等价关系～定义为（取（B,g)EUg×Cr,(a,Ua)U×Cr)：(B,U)~(a,Va)=B,Uα=αB(B)-B向量丛由它的过渡矩阵集合{Φ).3el唯一确定，因此当我们在构造或者描述向量丛时，使用过渡矩阵的语言往往会比较方便对EX，我们设eak(r)='(,ek),eUa, k=l,..,r.(1-1)eα()=(eai(a),..：,ear(r))构成纤维E的局部基.通过具体计算局部基的转换关系，我们有ee(r) = (g'(r, e1)...-pg'(r,er)) = (palpag(a,ei).., Pa*pap(a,er))= P-l(a, (e1,...,er) .Lap) =ea(r) .op.整理得(ealepi=T4ap(a)-1. +:(ear)(egr)例1.1.1（平凡丛）E=X×Cr称为X上的平凡丛，其过渡矩阵Φαs=I,是单位矩阵.■下例中的向量从是代数几何中最经典的一类对象例1.1.2（全纯切丛与余切丛）考虑n维复流形X上的坐标卡覆盖（Uαlael.我们可以定义全纯切丛(Holomorphic tangent bundle)[(ral,++*,Tan))Tx[(,m) 以及全纯余切丛(Holomorphic cotangentbundle)[8(p1,., Tpn)2x[(ral,..,aan) 切丛和余切丛的纤维可写为00Tx, = @C2x,a=C(drai,...,dron)aranaral因而都是秩n丛.换言之，Tx和2x的局部基分别可取为aeai(c) :ea(a) = daoiOxai全纯切丛和余切丛都是光滑复流形天然具有的向量丛，它们反映了复流形本身的几何性质。E=[更a3)的对偶丛(Dual bundle)定义为EV={T]例1.1.3(对偶丛）-3-
第一章基础知识对偶丛与原来的丛有相同的秩，对偶丛也可以看成一族对偶空间的“粘合”，具体言之，对r EX，将E视为E的对偶空间，并取局部基e(a)=(eai(r),.,ear(a)，满足(e(r),eaj(r))=.由此可得转换关系(ea(a))(egi(a))(1-2)1=ΦαB(r).(ear(a))(er(a))由例1.1.2,我们有2x=TX进一步的讨论见例1.1.10与例1.1.11.-例1.1.4（向量丛的直和）设E={43],E=[%3}是两个向量丛.我们定义E和E的直和(Direct sum)dBEOE0Φ这个概念也能推广到一般情形，即n个向量丛Ei，，E的直和E=E@..@En.易知rkE=ZrkEs.这样的直和也被称为Whitney直和.=1例1.1.5（向量丛的张量积）设E=[α3],E'=[}分别是秩r和r向量丛，我们定义张量积(Tensorproduct)EE'={]这里的过渡矩阵之间的张量积是指矩阵的Kronecker积。具体言之，设Φaβ=（ai)i<ij<r，则(a11das ai2da .. ardapa214ap 4224a3 -.. a2r4a3dad:(a1dag ar2ap ... arrdap取合适的开覆盖，设eα,e。分别是E,E'的局部基，那么EE'的局部基可取为eaieai(1<i<r, l<j<r).特别地，如果E,E'都是线丛，那么EE'仍是线丛，其过渡函数为αed3：更一般地，向量丛E.....E.的张量积定义为E:-Ei&...@En.由计算可知，rkE=ⅡrkE.有时为方便书写，我们记E=EE■i=-1例1.1.6（同态丛）对向量丛E,E，我们也能定义Hom(E,E').对每个EX，对应的纤维就是Hom(Er,E)=EyE.设e(r)和e(r)分别是EV和E的局部基，那么Hom(E,E)的局部基可取为[e(α)eα,(a)),其过渡矩阵为Tada因此我们可以把Hom(E,E)等同于EVE-4-