《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性 4-5 线性方程组的解的结构

向量组的线性相关性 第五节 线性方程组的解的结构 一、齐次方程组解的性质 二、基础解系及其求法 > 三、非齐次方程组解的性质 > 四、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、齐次线性方程组解的性质1．解向量的概念设有齐次线性方程组aiix +a12x, + ... +ainx = 0a21Xi + a22X2 + ..- + a2nx, = 0(1)amiX +am2X +... + ammx, = 0若记上页回下页

１．解向量的概念 设有齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHXiaila12aanx2a21a22a2nA=x=-aamlam2mn则上述方程组（1）可写成向量方程Ax = 0.若 x, = 5i1,xz = 521,,x,= 5nm 为方程 Ax = 0 的解，则上页下页回

, a a a a a a a a a A m m mn n n               =        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = xn x x x  2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax = 0. 1 1 1 2 2 1 xn n1 若 x =  , x =  ,, =  为方程 Ax = 0 的 解，则

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH511521x = S1 =N.Cn称为方程组(1）的解向量，它也就是向量方程(2)的解.上页回下页

              = = 1 21 11 1 n x      称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2．齐次线性方程组解的性质（1）若 x=5,x=5, 为Ax=0 的解，则x = 51 + 52也是 Ax =0 的解证明: A5 = 0, A52 = 0:. A(5 + 5,) = A + A, = 0故 x= + 5, 也是Ax= 0的解上页下质回

２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 x =  1 ,x =  2 为 Ax = 0 的解，则 x =  1 +  2 也是 Ax = 0 的解. 证明  A( 1 +  2 ) = A 1 + A 2 = 0  A 1 = 0, A 2 = 0 故 x 也是Ax 0的解. =  1 +  2 =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH（2）若x =， 为 Ax =0的解，k 为实数，则x =k,也是Ax = 0 的解证明A(k)= kA(E) = k0 = 0.证毕。由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 Ax=0 的解空间2国顶下质

（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x =  1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0.  1 =  1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 证毕

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、基础解系及其求法1.基础解系的定义ni,n2,.…,n,称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系，如果(1)ni,n2,,n,是Ax =0的一组线性无关的解;(2)Ax =0的任一解都可由ni,n2,…,n,线性表出.A页回下页

解 系 如 果 称为齐次线性方程组 的基础 , 1 ,2 ,,t Ax = 0 (1) , , , 0 ; 1 2  t是Ax = 的一组线性无关的解 . (2) 0 , , , 1 2 出 Ax = 的任一解都可由   t线性表 １．基础解系的定义 二、基础解系及其求法

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH如果ni,n2,..,n,为齐次线性方程组 Ax=0的一一组基础解系,那么，Ax=0的通解可表示为x = k,ni + kn2 +...+ k,nt其中k,,k,,k,-是任意常数页回下页

的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 0 = = Ax t Ax , , 1 ,2 ,, 0 x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2  kn−r是任意常数

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2.线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为A，并不妨设A的前 r个列向量线性无关.于是A可化为b.1···br.110口顶

２．线性方程组基础解系的求法                   − − 0 0 0 0 0 1 1 0 ~ 1 , 1 1 1,                         r r n r n r b b b b A 设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 r 个列向量线性无关．于是 可化为 A A A

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHbX=0Ax =0个x, = -biixr+1 -..- br.Xx, = -brixr+1 -...- br-rx口质

0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 1 , 1 1 1, =                                       − − n r r n r n r x x x b b b b                                 = − − − = − − −  + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 Ax = 0