相似矩阵及二次型 第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH相似矩阵与相似变换的概念一、定义1设A,B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P，使p-1 AP = B,则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似.对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵国顶下质
一、相似矩阵与相似变换的概念 . , , . , 1 , , , 1 1 称为把 变 成 的相似变换矩阵 行运算 称为对 进行相似变换可逆矩阵 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 对 进 定 义 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 A B P AP A P B A A B A P AP B A B n P − − =
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH二、相似矩阵与相似变换的性质1.等价关系(1)反身性 A与A本身相似若A与B相似,则B与A相似(2)对称性(3)传递性若A与B相似,B与C相似则A与C相似2. P-(A,A,)P =(P-IA,PP-IA,P)3.若A与B相似,则Am与Bm相似(m为正整数）页回下质
1. 等价关系 2. ( ) ( )( ). 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 二、相似矩阵与相似变换的性质 A与A本身相似. 若A与B相似,则B与A相似. . , , 则 与 相似 若 与 相似 与 相似 A C A B B C (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH4. P-(k,A, + k,A,)P = k,P-lA,P + k,P-1A,P其中k，k,是任意常数定理1若n阶矩阵A与B相似则A与B的特征多项式相同从而A与B的特征值亦相同证明A与B相似可逆阵P,使得P-1AP=B:. B- E= P-IAP- P-I(aE)P= P-(A- E)P=P-A-aEP=A-E.上页回下页
证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1 − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH推论若n阶方阵A与对角阵(2)22A=An相似,则,,……,,即是A的n个特征值上页回下页
推论 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 , , , , . 相似 则1 2 n即是A的n个特征值
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH利用对角矩阵计算矩阵多项式k个若A = PBP-l,则Ak-PBP-IPBP-1...PBP-PB P-- P B*P-1A的多项式P(A) = ao A" + aiA"-l +... + an-1A+ anE= ao P B" p-l + a, P B"-l p-1 + ..+ an--PB p-1 + an PE p-l= P(ao B" + aiB"-I +... + an-,B + anE) P-l= Pβ(B)P-l上页发回下页
利用对角矩阵计算矩阵多项式 , 1 A PB P − 若 = a PB P a PE P a P B P a P B P n n n n 1 1 1 1 1 1 1 0 − − − − − − + + = + + A = k A的多项式 A a A a A an A anE n n = + + + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) . 1 P B P− = . 1 P B Pk − = 则 P a B a B an B anE P n n 1 1 1 0 1 ( ) − − − = + ++ + PB P − 1 PBP−1 PBP−1 PBP−1 k个
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH特别地,若可逆矩阵P使 P-lAP= Λ为对角矩阵则Ak = PAkP-l,β(A) = P@(A) p-1对于对角矩阵人,有a2Ak二利用上九h述结论可以很方便地计p(ai)算矩阵A的p(a1)β(A) =多项式p(A)p(a))上页下页这回
, , 特别地 若可逆矩阵P使P −1 AP = 为对角矩阵 , 1 A P P k k − 则 = ( ) ( ) . 1 A P P − = 对于对角矩阵,有 , 2 1 = k n k k k , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . (A)
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理设f(a)是矩阵A的特征多项式则f(A)=O证明只证明A与对角矩阵相似的情形若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使p-1l AP = A = diag(ai,...,an),其中a,为A的特征值,f(a）= 0. 由A= PΛ p-1,有(f(a)p-f(A) = Pf(A)P-1 = Pf(an))= PO P-1 = O.上页发回下页
定理 设f ()是矩阵A的特征多项式,则f (A) = O. 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 ( , , ), 1 1 P AP = = diag n − , ( ) = 0. i i 其中 为A的特征值 f 由A = P P −1 ,有 f (A) . 1 = PO P = O − Pf P 1 ( ) − = P f f P n 1 1 ( ) ( ) − =
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、利用相似变换将方阵对角化对 n阶方阵 A,若可找到可逆矩阵 P,使P-1AP= Λ为对角阵,这就称为把方阵A对角化定理2n阶矩阵A与对角矩阵相似即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量证明假设存在可逆阵P,使P-lAP=Λ为对角阵把 P用其列向量表示为P=(pi,P2,…",Pn）福回下页快
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn 三、利用相似变换将方阵对角化 . 2 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH由P-1AP = △,得AP = P△(M)12即 A(P1, P2,., Pn)=(p1, P2,, Pm)2m=(aPr,a2P2..,a,Pn).. A(P1, P2,..., P.) = (Ap1,Ap2,..,Apn)-(aP1,Ap2,.., Ap.)Ap; = ^,p, (i = 1,2,..,n)于是有上页返回下页
( ) ( ) = n n n A p p p p p p 2 1 1 2 1 2 即 , , , , , , ( , , , ). = 1 p1 2 p2 n pn ( ) ( ) A p p pn Ap Ap Apn , , , , , , 1 2 = 1 2 Ap p (i 1,2, ,n). 于是有 i = i i = ( ) p p pn , , , = 1 1 2 , , 1 = = − 由P AP 得AP P