第十章：二元微积分概要习题课主要内容：自的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题
第十章 二元微积分概要 习 题 课 主要内容： 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
目的要求理解二元函数及其极限和连续的概念；会求二元函数的偏导数和全微分；掌握二重积分的概念、计算和简单应用：使学生了解笛卡儿在数学发展中所做的里程碑式的贡献
理解二元函数及其极限和连续的概念； 会求二元函数的偏导数和全微分； 掌握二重积分的概念、计算和简单应用； 目的要求 使学生了解笛卡儿在数学发展中所做的里 程碑式的贡献
空间直角坐标系知识网络图曲面与方程预备知识空间解析几何曲线与，曲面是否断裂二元函数的定义、极限、连续性二元函数的基本概念偏导数定义、计算元函数二元函数微分学全微分定义、复合函数的微分应用（二元函数的极值）极值的定义、极值的充分条件、最值二重积分的概念、性质、计算二元函数积分学平面图形面积、几何应用应用旋转体体积变力做功、质量物理应用
知识网络图 二 元 函 数 预备知识——空间解析几何 二元函数的基本概念 二元函数微分学 二元函数积分学 空间直角坐标系 曲面与方程 曲线与方程 偏导数 全微分 应用（二元函数的极值） 定义、计算 定义、复合函数的微分 极值的定义、极值的充分条件、最值 二重积分的概念、性质、计算 应用 二元函数的定义、极限、连续性 物理应用 几何应用 平面图形面积、 旋转体体积 变力做功、质量 曲面是否断 裂
例题例1 试在x轴上求一点M,使它与点A(2,1,3)的距离为/19提示与分析：设出x轴上所求点M的坐标，利用两点间距离公式7解 设M的坐标为(x,0,0)A(2,1,3)d = /19 =|MA/19= /(x -2) +(0-1) +(0 -3)M(x.0,0)福两边平方,解得：（x-2)=9xX = 5,x =-1综上,所求点的坐标为(5,0,0),(-1,0,0)
例1 试在x M A 轴上求一点 , (2,1,3) 19. 使它与点 的距离为 解 提示与分析: 设出x轴上所求点M的坐标，利用两点 间距离公式. 例 题 y x z O A(2,1, 3)M x( ,0,0) 19 d = 19 = MA2 2 2 = − + − + − ( 2) (0 1) (0 3) x 两边平方, : 解得 2 ( 2) 9 x − = 1 2 x x = = − 5, 1 综上, (5,0,0),( 1,0,0). 所求点的坐标为 − 设M x 的坐标为( ,0,0)
例2 求到定点A(0,0,-4)与B(0,0,4)的距离之和为10的点的轨迹.提示与分析：设出曲面上亻用已知求得车解设M的坐标为(x,y,z),3210= MA|+MB0= /x2 + y2 +(z + 4)-34方程两边同时平方，化52275y0925到空间两点的距离和等于定值的曲面是椭球面
求到定点 与 的距离之和为 的点 的轨迹 (0,0, 4) (0,0,4) 10 . 例2 A B − 解 提示与分析: 设出曲面上任意一点的坐标，利 用已知求得轨迹方程. M x y z ( , , ) y x z O B(0,0,4) A(0,0, 4) − 10 = MA MB + 设M x y z 的坐标为( , , )， 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + − x y z x y z ( 4) ( 4) 方程两边同时平方，化简得 2 2 2 1. 9 9 25 x y z + + = 到空间两点的距离和等于定值的曲面是椭球面
/R? -x?-y(r<R)例3 求函数f(x,J)=的定义域1提示与分析：求使x?+y?有意义的点集x?+ y?-i解解不等式组R2-x?-.3解得 2<2+≤R,所以，定义域为D=(x,)l 2<x2+2≤R}
求函数 的定义域. 2 2 2 2 2 2 1 f x y R x y r R ( , ) ( ) x y r = + − − + − 例3 提示与分析: 求使 ， 同时 有意义的点集 2 2 2 2 2 2 1 . R x y x y r − − + − 解 解不等式组 ， 2 2 2 2 2 2 0 0 x y r R x y + − − − 解得 2 2 2 2 r x y R + , 所以，定义域为 2 2 2 2 D x y r x y R = + {( , ) }
sin xy例4求极限limx-0乘积的极限等x331于极限的乘积提示与分析：利用两个重要的极限及极限的四则运算sin xysinsin xyxylim解lim ylim= limVx->0xx-→0x-→0x-0xyxyJ-1J-1y-1y-1sin xysinulim y=limlimy =1.1 =1.limX-0J-→1xyu-→0J-1u令xy=u
利用两个重要的极限及极限的四则运算. 求极限 0 1 sin lim . x y xy → x → 例4 提示与分析: 解 0 1 sin lim x y xy → x → 0 1 sin lim x y xy y → xy → = 0 0 1 1 sin lim lim x x y y xy y → → xy → → = 0 1 sin lim lim xy y xy y → → xy = 0 1 sin lim lim u y u y → → u = = 1 1 = 1. 令xy=u 乘积的极限等 于极限的乘积
sinxy例4求极限limx-0xJ-1曲面上的任意一点，以任意方式趋于（0，1）点，函数的极限都1.即曲面上的点都汇集到一点00.5-5-321.50N-22-3
求极限 0 1 sin lim . x y xy → x → 例4 1 曲面上的任意一点，以任意方 式趋于(0,1)点，函数的极限都 1.即曲面上的点都汇集到一点
x+y不存在.例5 讠证明极限limx-o x-yJ-0提示与分析：取两个不同的路径，得到不同的极限证当P(x,)沿着直线y=0.9x趋于P,(0,0)时,x + 0.9xx+y19.limlimx-→0x-0.9xx-0 x--0y=0.9x当P(x,y)沿着直线y=-x趋于P(0,0)时,x+yx-x不同的路径0limlimx-→>0x-0 x-yx+x极限值不同V-0V=-Xx+y不存在综上，极限limx-0x-yJ-0
证明极限 不存在. 0 0 lim x y x y → x y → + − 例5 提示与分析: 证 当P x y y x P ( , ) 0.9 (0,0) 沿着直线 = 趋于 0 时， 取两个不同的路径，得到不同的极限. 0 0 lim x y x y → x y → + − 0 0.9 0.9 lim 0.9 y x x x x → x x = + = − = 19, 当P x y y x P ( , ) (0,0) 沿着直线 = − 趋于 0 时， 0 0 lim x y x y → x y → + − 0 lim y x x x x x x = → − − = + = 0, 不同的路径 极限值不同 综上，极限 不存在. 0 0 lim x y x y → x y → + −
x+y不右大一证明极限lim例5沿着y=0.9x趋于x-0XV-0(0,0),极限为19沿着y=-x趋于(0,0)，A极限为02004030-202010-40,1-00.5-10 --20 0-30-0.5-40-1-1-0.50.5100-0.5-10.57
证 明 极 限 不 存 在. 00 limxy x y → x y → +− 例 5 沿着y = -x趋于(0,0), 极限为 0 沿着y=0.9x趋于 (0,0),极限为19