第二节线性方程组的解法主要内容：一、克拉默法则二、消元法
第二节 线性方程组的解法 主要内容： 一、克拉默法则 二、消元法
一、克拉默法则克拉默Cramer(1704 —1752)瑞士数学家，在1750年发表的学术论文中提出了这个定理
一、克拉默法则 克拉默 Cramer (1704 —1752) 瑞士数学家, 在1750年发表的学术论 文中提出了这个定理
定理克拉默法则如果线性方程组aa12.-ain x, =ba2n X, =b,a21a22心80x,=baann2nnn的系数行列式D=D那么该方程组有且仅有一组解：x,=Dj=1,2,..., n
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 如果线性方程组 的系数行列式 定理 克拉默法则 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 1 2 j j x j n D D = = 那么该方程组有且仅有一组解： ， ， ， a a a 11 12 1n a a a 21 22 2n a a a n n nn 1 2
Di=1,2,.., nD其中,第i列1n.a2n21+0nnnb,b
11 1 1 第 j 列 21 2 2 1 j n j n nn n nj a a a a a a a a a D = 12 jj nj aaa D j 12n bbb 其中， j j x DD = ， j n = 1 2，
balanb,a2n证明D..b,anannaainanx, +...+aiix, +...+ainxna2)anna2ix +.. +a2jX,+...+a2nxnanamanx,+...+anX,+...+axn由行列式aiiX +ai2X2 +...+ainxn =b的性质可a21Xi +a22X2 +...+a2nxn = b,拆成n部分的和anX, +an2X, +..+annx, =b,1
由行列式 的性质可 拆成n部 分的和 11 1 21 2 1 11 11 1 1 1 1 21 21 1 2 2 2 1 1 1 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n n nn j j n n n j j n n n n n nj j nn n nn j n a a a a a a a a x a x a x a a a x a x a x a a a b b x D a x a x a b = = + + + + + + + + = = + + + + 证明 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + =
auainaandlia1lDa21a2na21a2nn0X1二...anlannannI11nl1a11an0a2na21行列式有两行或两列相同+xn该行列式为0annanlnnWa21nDanna21anjDXD..0a.aanlnjnn
11 1 1 21 2 2 1 . . . . . . . . . . . j n j n j j n nj nn a a a a a a x a a a = = x D . j j D x D = Dj 行列式有两行或两列相同, 该行列式为0. n n n n n n n n n n n n j n n j n j n j n n n n n n a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x a a a a a a a a a x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 21 2 2 11 1 1 1 21 2 2 11 1 1 1 1 21 21 2 11 11 1 1 + = + + + + 0 0
用克拉默法则解方程组需要计算n+1个 n阶行列式，它的计算工作量很大实际上关于数字系数的线性方程组（包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组）的解法，一般都采用下节介绍的方法来求解.克拉默法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系
用克拉默法则解方程组需要计算n + 1个 n 阶行列式，它的计算工作量很大. 实际上关于数字系数的线性方程组（包 括系数行列式等于零及方程个数和未知 量个数不相同的线性方程组）的解法， 一般都采用下节介绍的方法来求解.克 拉默法则主要是在理论上具有重要的意 义，特别是它明确地揭示了方程组的解 和系数之间的关系
例1 解线性方程组2x, +x, -5x, +x = 8,- 6x4 = 9,X, -3x22x, - X, + 2x = -5,Xi +4x2 - 7x, +6x = 0.解该线性方程组的系数行列式21510-3-627±0,D:=220-1614-7
1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 1 2 5 8, 3 6 9, 2 2 5, 4 7 6 0. x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − = − + = − + − + = 例 解线性方程组 2 1 5 1 1 3 0 6 27 0, 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = = − − 解 该线性方程组的系数行列式
22x +x2 -5x, +X4 = 811-5X,-3x2-6x4 = 910-6-3D=2x2 - Xs +2x4 = -5220-1X +4x -7x +6x4 = 06[14-7221111-5-50101-3-6-3-6=81, D,D-108,22-1002-126[14-7I64-721-5121-5101-3-610-6-3= 27.-27, D4=D;022-1220-1164-7461-72781271083.1.1X4上27272727
1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 2 5 8, 3 6 9, 2 2 5, 4 7 6 0. x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − = − + = − + − + = 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − 8 9 5 0 − = 81， = −108， = −27， = 27. 8 9 5 0 − 8 9 5 0 − 8 9 5 0 − 1 2 3 4 81 108 27 27 3 4 1 1. 27 27 27 27 = = = − = − = − = − = = x x x x ， ， ， D1 D2 D3 D4
211-5若前方程组中等号右端全为0-30D=27-1222x, +x -5x, +x, =0,-761-6x4 = 0,Xi -3x21-5210-6-32x2 -X, +2x4 = 0,D4022-1X +4x, -7x, +6x=0.614-7而方程这样的方程组称为齐次线性方程组，0组中等号右端不全为0的称为非齐次线性方程组0由前面讨论知道，方程组系数行列式D=27±00而因方程组等号右端全为0，根据“行列式中若0有某一列元素全为0，这个行列式等于0.”这个性质，可知D,=D,=D,=D,=0，即方程组的0解: x;=D= X = X, = X3 = X4 = 0
1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 0 0 0 2 5 3 6 2 2 4 0 7 , 6 0. 0 , , x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − = − + = + − + = 若前方程组中等号右端全为 ， 这样的方程组称为 线性方程组，而方程 组中等号右端 的称为 齐次 不全为 非齐次线性方程组. 1 2 3 4 1 2 3 4 27 0 0 0 0 0 . 0 . j j D D x DDD x x D x D x = = = = = = = = = = “行列式中若 有某一列元素全为 ，这个 由前面讨论知道，方程组系数行列式 ， 而因方程组等号右端全为 ，根据 这个 性质，可知 ，即方 行列式等 程组 ： ” 的 解 于 2 1 5 1 1 3 0 6 27 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = = − − 2 1 5 1 1 3 0 6 0 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = = − − 0 0 0 0 D12 D43 0