第四节复合函数微分法主要内容：一、复合函数链式法则二、全导数公式三、幂指函数求导数
第四节 复合函数微分法 主要内容： 一、复合函数链式法则 二、全导数公式 三、幂指函数求导数
复合函数链式法则二元复合函数的定义设z=f(u,v)是u,v的二元函数，u,v又都是x,J的二元函数：u = u(x, y),v=v(x, y).那么，通过中间变量u、，z就成为x，的二元复合函数，即z= f(u,v) = f(p(x, y),y(x,y)X函数结构图：Z
二元复合函数的定义 u v x z y 函数结构图： 一、复合函数链式法则 设 是 的二元函数， 又都是 的二元函数： 那么，通过中间变量 、 ， 就成为 的二元复 合函数，即 ( , ) , , , ( , ), ( , ). , ( , ) ( ( , ), ( , )) z f u v u v u v x y u u x y v v x y u v z x y z f u v f x y x y = = = = =
链式法则u,v是中间变量定理如果函数z= f(u,v)在点(u,v)可微，而中间变量u=(x,y),v=y(x,y)在点(x,J)可微，那么复合函数z= f[p(x,J),y(x,y)]关于x,j的偏导数存在，且有链式法则Xy是自变量OzOzQuOz Ov+axOv axQu axazOz.Oz OvQuayQuOv ayay
如果函数 在点 可微，而中 间变量 在点 可微，那 么复合函数 关于 的偏导 数存在，且有链式 定 法则 理 ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] , , . z u v x y x y f u v x y z f x y z z u v u v u v u v u v x y x y x x z x y y z z y z = = = = = + = + 链式法则 u,v是中间变量 x,y是自变量
链式法则如图示中间变量自变量函数uX7OzOzQuzav将x改成yayaydyOvdu
u v x z y 链式法则如图示 = x z u z x u + v z , x v = y z y u v y 将x改成y 函数 中间 变量 自变量
(2x-y)例1的偏导数.求函数z=x-2y1提示与分析：方法一：将复合函数拆分，代入链式法则1解 设u=2x-y=x-2y,川az.azQuQz.Ov2u .2+u2.(-1)axduaxOvaxV?4uu(4v-u)二LVu=2x-y,V=x-21(2x - y)(2x -7 y)(x-2y)2
例 求函数 的偏导数. 2 (2 ) 1 2 x y z x y − = − 提示与分析: 方法一：将复合函数拆分，代入链式法则. 解 设u x y v x y = − = − 2 , 2 , 则 2 . u z v = z u v x x x z z u v = + 1 2u v = 2 2 2 1 u ( 1) v + − 1 2 2 4u u v v = − u x y v x y = − = − 2 , 2 2 u v u (4 ) v − = 2 (2 )(2 7 ) . ( 2 ) x y x y x y − − = − u v x z y
(2x-y)例1的偏导数求函数z-x-2yU则么=解设u=2x-y=x-2yazOzauOzav1.2u(-1)+u2.(-1)--(-2)ayavauayayV2u?2u2u(u-v)十LL2V2(2x - y)(x + y)u=2x-yV=x-2y(x -2y)3
例 求函数 的偏导数. 2 (2 ) 1 2 x y z x y − = − 解 设u x y v x y = − = − 2 , 2 , 则 2 . u z v = z u v y y y z z u v = + 1 2u v = ( 1) − 2 2 1 u ( 1) v + − ( 2) − 2 2 2 2 u u v v = − + u x y v x y = − = − 2 , 2 2 2 ( ) u u v v − = 2 2(2 )( ) . ( 2 ) x y x y x y − + = −
福(2x-y)例1求函数z=的偏导数x-2y将看作常数，提示与分析：商的求导法则方法二：直接求偏导（分别将x,y看作常数）Oz2(2x -y).2.(x -2y) -(2x -y)2 .1解ax(x-2y)(2x - y)(2x-7y)(x-2y)az2(2x- y)·(-1)·(x -2y) -(2x - y)° . (-2)ay(x-2y)2(2x - y)(x + y)(x-2y)
例 求函数 的偏导数. 2 (2 ) 1 2 x y z x y − = − 提示与分析: 方法二：直接求偏导（分别将x,y看作常数）. 解 z x = 2 2 2 ( 2 ) (2 ) 1 ( 2 (2 2 ) x y) x y x y x y − − − − − 将y看作常数， 商的求导法则 2 (2 )(2 7 ) , ( 2 ) x y x y x y − − = − z y = 2 2 2(2 ) ( 2 ) (2 ) ( 2) 2 ( 1 ( ) x ) x y x y x y y − − − − − − − 2 2(2 )( ) . ( 2 ) x y x y x y − + = −
求函数z =(-) In(3x-2y)的偏导数.例2提示与分析：直接求导，x，y的作用很容易X混淆.用链式法则求导简便7yX解设u=贝zV=3x-2m1y2uOz.Oz.azauOv32ulny+-axQuyavVaxaxxV=3x-21U=.y3x?2xIn(3x -2y) +2(3x -2y)y2V
例 求函数 的偏导数. 2 2 ( ) ln(3 2 ) x z x y y = − 提示与分析: 直接求导，x , y的作用很容易 混淆.用链式法则求导简便. 解 设 , 3 2 , x u v x y y = = − 则 2 z u v = ln . z u v x x x z z u v = + = 2 ln u v 1 y 2 u v + 3 , 3 2 x u v x y y = = − 2 2 2 2 3 ln(3 2 ) . (3 2 ) x x x y y x y y = − + − u v x z y
例2求函数z =(=) In(3x-2y)的偏导数,Vx解 设u=二，,v=3x-2y,则z=uInvyazOz.azQuov)+"(-2)2ulnv(-ayavQuayayDxu=y2x2xIn(3x -2y)v=3x-2y(3x -2y)y
例 求函数 的偏导数. 2 2 ( ) ln(3 2 ) x z x y y = − 解 设 , 3 2 , x u v x y y = = − 则 2 z u v = ln . z u v y y y z z u v = + = 2 ln u v 2 ( ) x y − 2 u v + ( 2) − , 3 2 x u y v x y = = − 2 2 3 2 2 2 ln(3 2 ) . (3 2 ) x x x y y x y y = − − − −
全导数公式定理的特殊天（一）一u.是x的一元函数设z = f(u,v),u= (x),v= y(x),则z= f[p(x),(x))是x的一元函数，这时z对x的导数称为全导数，有u，v是 x的一元函数dzOz duOzddx Ou dxOvdxu链式法则如图示7vdzzOzdyduXdxdQuOvdx
设 则 是 的一元函数，这 全导 时 对 的导数称为 ，有 d d d d d d 数 ( , ), ( ), ( ), [ ( ), ( )] . z f x x z f x z x z x x x x x u v u v u v v z z u = = = = = + u v z x 链式法则如图示 d d z x = u z d d u x + v z d d v x u，v是 x 的 一元函数 二、全导数公式 定理的特殊（一） u,v是x的一元函数