《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 处理线性关系的数学问题——线性代数概述 习题课

第八章线性代数概述习题课目的要求二、 内容结构三、典型例题四、练习题

第八章 线性代数概述 习题课 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题

目的要求☆了解行列式的概念与性质，会求较简单行列式的值；☆掌握克拉默法则，会用该法则解二、三元方程组；☆理解消元法，掌握用消元法解线性方程组☆理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的基本运算与运算的性质，理解逆矩阵的概念，掌握用初等变换的方法求逆矩阵及解线性方程组

目的要求 ☆ 了解行列式的概念与性质，会求较简单 行列式的值； ☆ 掌握克拉默法则，会用该法则解二、三元 方程组； ☆ 理解消元法，掌握用消元法解线性方程组； ☆ 理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的基本运 算与运算的性质，理解逆矩阵的概念，掌 握用初等变换的方法求逆矩阵及解线性方 程组

知识网络图

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定义行列式性质非齐次有唯一解系数行列式非0应用一克拉默法则齐次有唯一0解系数行列式为0齐次有无穷解线性代数解线性方程组一高斯消元法不满足交换律、消去律定义运算：加法、数乘、乘法、转置、求逆矩阵矩阵初等变换解线性方程组几种重要的矩阵：：方阵、单位矩阵、增广矩阵、逆矩阵

不满足交换律、 消去律 矩阵 几种重要的矩阵：方阵、单位矩阵、增 广矩阵、逆矩阵 定义 线 性 代 数 行列式 定义 性质 应用—克拉默法则 解线性方程组 运算：加法、数乘、乘法、转置、 初等变换 求逆矩阵 解线性方程组 系数行列式非0 非齐次有唯一解 齐次有唯一0解 系数行列式为0—齐次有无穷解 — 高斯消元法

重点与难点重点、难点：求n阶行列式的值求逆矩阵，解线性方程组

重点、难点：求n阶行列式的值， 求逆矩阵，解线性方程组. 重点与难点

例题例1利用行列式的性质证明下行列式能被13整除：提示与分析：因把三行看成三个数字：104,325416,而它们都能被13整除,将第一列的100倍,第二列的10倍加到第三列上,第三列变为104,325416，再将公因子提出，便找到结论

例题 例1 利用行列式的性质证明下行列式能被13 整除： 4 1 6 3 2 5 1 0 4 104,325, 416, 13 , 100 , 10 , 104,325, 416 . :因把三行看成三个数字： 而它们都能被 整除 将第一列的 倍 第 二列的 倍加到第三列上 第三列变为 ，再将公因子提出，便找 提示与分 到结论 析

13104 325 41682532证明1081010104232225533253= 13 ×|14324166414因此行列式是13的倍数13k

1 0 104 1 0 8 3 2 325 13 3 2 25 4 1 416 4 1 32 = =  13k 1 0 4 3 2 5 4 1 6 证明 因此行列式是13的倍数. 13 104 325 416 8 25 32

nnnnn3.nn例2计算阶行列式·n-1nnYnnnn提示与分析：该行列式的最后一列n个元素全是n，从第一列到第n-1列分别加第n列的（-1）倍，可将行列式化为上三角形行列式，从而求得行列式的值001-n0...Y000...2-n1000工一n.:4=(-1)n-n!......-.000...n-1nn0000...nnnnn

1 2 3 2 . 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n − 例 计算 阶行列式： 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 1 ! 0 0 0 1 0 0 0 0 n n n n n n n n n n − − − − = = − − （ ） 1 1 . : n n n n − 该行列式的最后一列 个元素全是 ，从 第一列到第 列分别加第 列的（- ）倍，可将行 列式化为上三角形行列式,从而求得行列 提 与分析 式的值 示 1 2 3 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n −

[31111例3 已知A=21B=22-13210门计算BA,(A-2B)T.1131N0202解 BA=-111240324-13-21+21-21-2322-1(A-2B)T=1+ 22-421233-21-2

T 3 1 1 1 1 1 3 2 1 2 , 2 1 0 , 1 2 3 1 0 1 ,( 2 ) . A B BA A B     −     = = −             − 例 已知 计算 1 1 1 3 1 1 2 1 0 2 1 2 1 0 1 1 2 3 BA     −     = −             解 400 4 1 0 4 3 4           = ， T T 3 2 1 2 1 2 ( 2 ) 2 4 1 2 2 1 2 2 3 2 A B   − − +   − = − +       − − 1 2 1 1 3 2 . 3 2 1   − −   = −     

例4 未若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且(AB)-1 = B-IA-1证明(AB)(B- A-I)= A(BB-I)A-1= AEA-1 = AA-1 = E,(B-A-I)(AB) =B-(A-A)B= B-EB= B-"B=E.根据逆矩阵的定义,知(AB)-1 = B-1A-1推广(AA,...A.)= A.-I...A}"A-I

1 1 1 4 , , , . A B AB AB = B A - - - 例 若 为同阶方阵且均可逆 则 亦可 逆 且( ) 1 1 1 1 ( )( ) ( ) , AB B A A BB A − − − − 证明 = 1 1 1 1 ( )( ) ( ) B A AB B A A B − − − − = −1 = AEA , 1 = AA = E − 1 1 1 , . AB B A − − − 根据逆矩阵的定义 知( ) = ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 . A A A A A A n n − − − − 推广 = 1 1 B EB B B E, − − = = =