第二节计算定积分的一般方法一微积分基本定理主要内容：问题的提出L微积分的基本定理三、定积分的换元积分法四、定积分的分部积分法
计算定积分的一般方法 —微积分基本定理 第二节 主要内容： 一、问题的提出 二、微积分的基本定理 三、定积分的换元积分法 四、定积分的分部积分法
问题的提出积分学中要解决两个问题：不定积分问题一、原函数的求解;解决面积、体积二、 定积分计算做功、利润等实际问题1Zf(5)Ar)lim如何计算定积分？F(t)dt三1-→0i=1定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路
一、问题的提出 积分学中要解决两个问题： 一、原函数的求解; 二、定积分计算. 不定积分问题 解决面积、体积、 做功、利润等实际问 题 如何计算定积分？ 定义很复杂，直接计算很困难.需要 转换新的思路. ( )d b a f t t 0 1 lim ( ) n i i i f x → = =
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T,T,]上t的一个连续函数，且v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为v(t)dtT另一方面这段路程可表示为 s(T)一S(Tv(t)dt = s(T)-s(T)= s(t), 其中 s'(t)= v(t) .2
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 d 2 1 ( ) T T v t t 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔 1 2 [ , ] T T 上t的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 2 1 s s ( ) ( ) T T − 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) T T = − v t dt s T s T 其中 s t v t ( ) ( ) . = 2 1 ( ) , T T = s t
T2?(t)dt = s(T)-s(T) = s(t)/, 其中 s'(t)=v(t) .TTis(t)是被积函数v(t)的原函数D大胆猜想f(x)dx = F(b)-F(a),F(x)是被积函数f(x)的原函数巧合还是真理？著名的生顿-莱布尼茨定理
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) T T v t dt s T s T = − 其中 s t v t ( ) ( ) . = 2 1 ( ) , T T = s t s t v t ( ) ( ) . 是被积函数 的原函数 巧合还是真理？ ( ) ( ) ( ), b a f x dx F b F a = − 大胆猜想 F x f x ( ) ( ) . 是被积函数 的原函数 著名的牛顿-莱布尼茨定理
引入下面的概念之后，就可将积分和微分结合起来，用不定积分+函数代换简单地解决了比较复杂的求定积分的问题
引入下面的概念之后，就可将积分和微分 结合起来，用不定积分+函数代换简单地解 决了比较复杂的求定积分的问题
微积分基本定理二、变限定积分概念设f(x)在[a,b]上可积,x E[a,b],由积分d(b) = f' f(t)dt@(x) = ( f(t)dt,)x E[a,b]所定义的函数Φ(x)称为变上限定积分y(a) = ( f(t)dt同理,由积分y(x)=[f(t)dt)x E[a,b]所定义的函数(x)称为变下限定积分变上限积分、变下限积分统称为变限积分借助求函数值来解决
( ) ( ) , [ , ( ) , ] b x x f t t x a b x 同理 由积分 = 所定义的函数 d 称为变下限定积分. 二、微积分基本定理 ( ) ( ) , [ , ( ) [ , ] , [ , ] ) ] , ( x a x f t f x a b x a b x t x a b = 设 在 上可积 由积分 所定义的函数 称为 d 变上限定积分. x 变限定积分概念 变上限积分、变下限积分统称为变限积分. x x x 上 下 ( ) ( ) b a b f t t = d ( ) ( )d b a a f t t = 借助求函数值来解决
积分上限函数的性质Φ(a) =f(t)dt = 0f(t)dt：函数f(x)的定积分(b)
积分上限函数的性质： ( ) ( ) a a a = f t t d ( ) ( ) . b a b = f t t d 函数f (x)的定积分 = 0
定理 若函数f(x)在[a,b]上连续,则由变上限定积分定义的函数D(x)= [" f(t)dt,x e[a,b]Φ(x)是f(x)的原函数df(t)dt = f(x) .在[a,b]上求导,且@(x)dx提示与分析：用导数的定义来证明Φ(x + △x)-Φ(x)@'(x) = lim△x△x→0证 设x为[a,b]上任意一点,△x±0且x+△x[a,b],积分区间的Φ(x+△x)-Φ(x)@'(x) = lim可加性Ax△x-→>0x+Arf(t)dt)-f(t)dtd= limArx-→0
定理 若函数 在 上连续 则由变上限定积分定 义的函数 d d 在 上求导 且 d d ( ) [ , ] , ( ) ( ) , [ , ] [ , ] , ( ) ( ) ( ) . x a x a f x a b x f t t x a b a b f t t x x f x = = = ( ) ( ) x f x 是 的原函数 提示与分析：用导数的定义来证明. Δ Δ 0 Δ ( ) ( ) ( ) lim x x x x x x → + − = 证 设x a b x x x a b 为[ , ] , 0 [ , ], 上任意一点 + 且 Δ Δ 0 Δ ( ) ( ) ( ) lim x x x x x x → + − = Δ d d 0 ( ) ( ) lim x x x a a x f t t f t t x + → − = 积分区间的 可加性
x+Ar积分区间的ff(t)dtf(t)dia@'(x) = lim可加性Ar4x->0xtAxf(t)dt - f f(t)dtf(t)dt +Jx= limAr4x-→0x+Arf(t)dt定积分中值定理lim=AxAx-→0[' (x)dx = f(5)(b-a)f()Ar= lim5e[x,x+x]Ar△x-→0= lim f()Ax→0x 5x+Ax= f(x) .5→xf(x)在[a,b]连续
Δ d d 0 ( ) ( ) ( ) lim x x x a a x f t t f t t x x + → − = d d d 0 ( ) ( ) ( ) lim x x x x a x a x f t t f t t f t t x + → + − = 积分区间的 可加性 Δ d 0 ( ) lim x x x x f t t x + → = 如何化简？ 定积分中值定理 Δ 0 ( ) lim x f x x → = + [ , ] x x x Δ ( ) ( )( ) d = b a f x x f b a − 0 lim ( ) x f → = Δx →0 → x x x x +Δ = f x( ) . f x a b ( ) [ , ] 在 连续
定理设f(x)在[a,b]上连续)若F(x)是f(x)在[a,b]上的I' f(x)dx = F(b)- F(a).一个原函数，则积分区间的牛顿-莱布尼茨公式可加性提示与分析：原函数存在定理，结合原函数之间的关系，证 ：: d(x)=["f(t)dt是f(x)的一个原函数,且[" f(x)dx = @(b)-Φ(a),又F(x)是f(x)在区间[a,b]上的原函数.:. F(x)-@(x)=C, x E[a,bl,(~f(x)dx =@(b)-@(a) =[F(b)-C]-[F(a)-C]= F(b)-F(a) :
定理 牛顿-莱布尼茨公式 ( ) [ , ] , ( ) ( ) [ , ( ) ( ( . ] , ) ) b a f x a b F x f x a b f x x F b F a = − 设 在 上连续 若 是 在 上的 一个原函数 则 d 提示与分析：原函数存在定理，结合原函数之间的关系. − = F x( ) ( ) , x C x a b [ , ], 证 ( ) ( ) ( ) b a f x x b a = − d 又F x f x a b ( ) ( ) [ , ] 是 在区间 上的原函数, ( ) ( ) ( ), d b a 且 f x x b a = − = − F b F a ( ) ( ) . 积分区间的 可加性 ( ) ( ) ( ) , d 是 的一个原函数 x a x f t t f x = = − − − [ ( ) ] [ ( ) ] F b C F a C