第五章微分的逆运算问题不定积分习题课目的要求二、内容结构三、典型例题四、练习题
第五章 习题课 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题 微分的逆运算问题 ⎯ 不定积分
自的要求★理解原函数与不定积分的概念；★掌握不定积分的基本性质、基本积分公式、换元积分法和分部积分法；☆了解不定积分中所蕴涵的辩证法
☆ 理解原函数与不定积分的概念； ☆ 掌握不定积分的基本性质、基本积分公式、 换元积分法和分部积分法; ☆ 了解不定积分中所蕴涵的辩证法. 目的要求
重点与难点重点：不定积分与微分的关系，不定积分的计算难点：灵活运用各种方法求不定积分
重点：不定积分与微分的关系，不定 积分的计算. 难点：灵活运用各种方法求不定积分. 重点与难点
知识网络图
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定义设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义若在I上F(x)= f(x),则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数原函数的概念原函数存在定理概念不定积分的概念不定积分定义 f(x)在区间I上的全体原函数称为运算法则f(x)在I上的不定积分，记作[f(x)dx.基本积分公式直接积分法第一换元积分法积分法换元积分法第二换元积分法分部积分法
不 定 积 分 概念 原函数的概念 原函数存在定理 不定积分的概念 运算法则 基本积分公式 直接积分法 换元积分法 分部积分法 积分法 第一换元积分法 第二换元积分法 设函数 与 在区间 上有定义 若在 上 则称函数 为 在区间 上的 义 一个原 数 定 函 ( ) ( ) . ( ) ( ), ( ) ( ) . F x f x I I F x f x F x f x I = 定 在区间 上的全体原函数称为 在 上的不定 分 作 义 积 ，记 d ( ) ( ) ( ) . f x I f x I f x x
例题例1 [已知[ f(x)dx = xe2× +C,求f(x).提示与分析：根据不定积分的定义，我们知道xe2x+C是f(x)的所有原函数,由原函数定义知f(x)=(x’e2x +C)解=(x’e2*) +(C)=(x)e2x +x(e2x)+0-2xe2* + 2x'e?x
2 2 例1 ( ) , ( ). 已知 f x x x C f x d e = +x 求 解 e 2 2 ( ) ( ) x x C + 2 2 2 2 ( ) ( ) e e x x x x + 提示与分析： 例题 2 2 2 2 ( ) , ( ) ( ) . 根据不定积分的定义，我们知道 e 是 的所有原函数 由原函数定义知 e x x x C f x f x x C + = + 2 2 ( ) ( ) e x f x x C = + = = 2 2 ( ) e x x ( ) C +0 2 2 2 2 2 . e e x x = x x +
求例2dx.x2 +1提示与分析：对被积函数进行变形，然后再积分rx*-1+1解原式=dxx2 +1-1)+1)(xdxx+1x十dx+1
例 求 d 4 2 2 . 1 x x x + 解 提示与分析： 原式 = = +1 = 对被积函数进行变形，然后再积分. d 4 2 1 x x x + −1 d 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 [ ] 1 1 x x x x x + − + + + )d 2 2 1 ( 1 1 x x x − + +
dxx+1[ xdx-{dx+J_+-x + arctanx +C3
1 3 arctan . 3 = − + + x x x C = )d 2 2 1 ( 1 1 x x x − + + = d d d 2 2 1 1 x x x x x − + +
例3 求[(x+1)°dx.利用不定积解一原式=[(x2+2x+1)dx分性质计算-J x’dx+ [ 2xdx+ dx+*+++c.解二 原式=[(x+1)dx=(x+1)d (x+1)利用第一换(x+1) +C.元法计算
例 求 d 2 3 ( 1) . x x + 解一 原式 = = = 1 3 2 . 3 x x x C + + +d 2 ( 2 1) x x x + + 利用不定积 分性质计算 d d d 2 x x x x x + + 2 解二 原式 = d 2 ( 1) x x + dx = 2 ( 1) x + d ( 1) x + = 1 3 ( 1) . 3 x C + + 利用第一换 元法计算
例4 求(dx.xlnx解原式=InxXd(ln x)lin x= In In x|+ C.1从而dx = In In x+C.xlnx
1 ln x 例 求 d 1 4 . ln x x x 解 原式 = = d 1 1 ln x x x = d 1 x x d(ln ) x ln ln . x C+ 从而 d 1 ln ln . ln x x C x x = +