第二节计算不定式极限的一般方法一洛必达法则主要内容：两个基本类型不定式一、丁二、其他类型的不定式
第二节 计算不定式极限的一般方法 洛必达法则 一、两个基本类型不定式 主要内容: 二、其他类型的不定式
在第二章介绍极限时,曾用特定的办法计算过简单的两个无穷小量（无穷大量）之比的极限，而无一般法则.本节将以导数为工具，给出计算不定式极限的一般方法，该方法称为洛必达(LHospital,法国人，1661一1704）法则
在第二章介绍极限时,曾用特定的办 法计算过简单的两个无穷小量（无穷 大量）之比的极限，而无一般法则.本 节将以导数为工具，给出计算不定式 极限的一般方法，该方法称为洛必达 （L Hospital,法国人，1661 — 1704） 法则
两人基本类型不定式如果当x→a(或x→8)时,两个函数f(x)与f(x)g(x)都趋于0,或都趋于oo,那么极限 limg(x)xa(x→0)可能存在,也可能不存在.通常将这种极限叫作8不定式，分别记为08
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 0, , lim ( ) , . 0 , , . 0 x a x x a x f x f x g x → g x → → → 如果当 或 时 两个函数 与 都趋于 或都趋于 那么极限 可 不定式 能存在 也可能不存在 通常将这种极限叫作 分别记为 一、两个基本类型不定式
01.型不定式0定理如果函数f(x)和g(x)满足(1) x →a(或x →80)时,f(x)→0,g(x)→ 0;(2) f'(x),g'(x)存在,且g'(x) ± 0;f'(x)存在（或是),lin(3)g'(x)f'(x)f(x)Jim那么limg'(x)g(x)
如果函数 和 满足 或 时 存在 且 （ ） 存在（或 ） 那么 定 是 理 ( ) ( ) (1) ( ) , ( ) 0, ( ) 0; (2) ( ), ( ) , 0; ( ) (3) lim , ( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) f x g x x a x f x g x f x g x g x f x g x f x f x g x g x → → → → = 0 1. 0 型不定式
0f'(x)如果仍属一型，且f(x),g'(x)满足定0g'(x)理的条件，可以继续使用洛必达法则，即f(x)"(x)(xlimg'(x)g"(x)g(x)sinx例1用洛必达法则计算limx-→0x0(sin x)cosx型解lim= limlim0t'1x-→0x-→0x-→0
如果 仍属 型，且 满足定 理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 ( ) 0 ( ), ( ) ( ) 0 f x f x g x g x ( ) ( ) ( ) lim lim lim . ( ) ( ) ( ) f x f x f x g x g x g x = = = 例 用洛必达法则计算 0 sin 1 lim . x x → x 解 0 sin lim x x → x 0 (sin ) lim x x → x = 0 cos lim 1. x 1 x → 型 = = 0 0
1-cosx用倍角公式化为例2求lim.2x-→0x第一个重要极限求x2sin?2解一lim= limx-0x-→0xsin2limx2x-→0xsin2=1lim9xx-→0122该题用洛必达法则计算更简单
例 求 2 0 1 cos 2 lim . x x → x − 解一 用倍角公式化为 第一个重要极限求. 2 0 lim x→ x = 2 0 1 cos lim x x → x − 2 2sin 2 x 0 sin 2 lim 1 2 x x → x = 1 . 2 = 该题用洛必达法则计算更简单. 2 0 sin 1 2 lim( ) 2 2 x x → x =
1-cosx例2求lim2x-→0r0型0(1- cosx)-cosx解二 limlimx-0(x)x-→01sin xsinx= limlim22xx-→0x-0sinx1lim=2x-0x在用洛必达法则求极限时，与以前学过的求极限方法相结合更好！
0 1 sin lim 2 x x → x = 2 0 1 cos lim x x → x − 例 求 2 0 1 cos 2 lim . x x → x − 解二 0 sin lim x 2 x → x = 1 . 2 = 在用洛必达法则求极限时，与以前学过 的求极限方法相结合更好！ 2 0 (1 cos ) lim ( ) x x → x − = 型 0 0 0 sin lim 1 x x → x =
0e*-1型例3求lim10x?-xx-→0e*-1解lim-2x→0x"-x(e* -1)= limx=0 (x2 - x)eo三2.x0-1=-1
e 例 求 2 0 1 3 lim . x x→ x x − − e 2 0 1 lim x x→ x x − − e 2 0 ( 1) lim ( ) x x→ x x − = − 解 e 0 lim → 2 1 = − x x x = −1. 型 0 0 0 0
(3=我)解约质恩例4一一*+1型婴冠繁颈1)(3x2 -3)0解军原式=lim型10x→(3x2-2x -1)6x= lim代入法求极限x±16x - 264在用洛必达法则求极限时，每求导一次，就检查一次函数极限类型！
2 2 1 3 3 lim x 3 2 1 x → x x − − − 6 2 6 lim 1 − = → x x x 例 求 3 3 2 1 3 2 4 lim . x 1 x x → xxx − + − − + 解 多项式除以多项式 因式分解约去零因 子法过于繁琐. 0 0 型 6 4 = 原式 = ( ) ( ) ( ) ( ) 代入法求极限 3 . 2 = 在用洛必达法则求极限时，每求导一次，就检 查一次函数极限类型！ 例 求 3 3 2 1 3 2 4 lim . x 1 x x → xxx − + − − + 0 0 型
TT0(ln sin 2)型例5 求 lim0T*2:-2T(Tx-21cos xsinx先整理一下解 原式=limTT2(TT -2x)·(-2)21cosxlimTT4sin x(TT -2x)2极限是常数1(cos x)0型lim0TT(T -2x)421sinxlim-28TT42
2 1 cos lim 4 2 x x → x = − π π − 例 求 2 2 lnsin 5 lim . x ( 2 ) x → π π − x 原式 = 0 0 型 解 1 cos sin x x ( ) [ ] 先整理一下 极限是常数1 1 . 8 = − ( ) ( ) 0 0 型 2 π 2 π 2 lim x→ π 2( 2 ) ( 2) π − − x 2 1 cos lim 4 sin ( 2 ) x x → x x = − π π − 2 1 sin lim 4 2 x x → − = − π −