第二节函数极限主要内容：函数极限的概念二、无穷大量与无穷小量三、极限的四则运算及两个重要极限
第二节 函数极限 主要内容： 一、函数极限的概念 二、无穷大量与无穷小量 三、极限的四则运算及两个 重要极限
时自变量趋于有限数XoX→x→1(1)f(x) = x +1,把x。=1附近的自变量x与它对应的函数值f(x)列表:10.91.011.021.10.980.990.9991.001x21.92.11.981.991.9992.012.022.001f (x)=x+1当x从x。=1的左右近旁越来越接近于1时函数f(x)越来越接近于2,并且要多接近就会有多接近当x-1无限变小时,f(x)-2|也无限变小
一、 x x → 0 时（自变量趋于有限数） 0 1 ( ) : x x f x 把 = 附近的自变量 与它对应的函数 值 列表 x 0.9 0.98 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.02 1.1 f (x)=x+1 1.9 1.98 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.02 2.1 0 1 , ( ) 1 2, x x f x 当 从 = 的左右近旁越来越接近于 时 函数 越来越接近于 并且要多接近就会 有多接近. 当 x f x − − 1 ( 无限变小时, ) 2 也无限变小. (1) ( ) 1 f x x = + ， x →1
f(x)=x+1x-→13232-12310.90.980.990.9991.0011.011.021.121.91.992.11.981.9992.0012.012.02f (x)=x+1lim f(x) = lim(x + 1) = 2x-→1x-→1
f x x ( ) 1 = + x →1 1 1 lim ( ) lim( 1 . ) 2 x x f x x → → = + = -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 • • x 0.9 0.98 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.02 1.1 f (x)=x+1 1.9 1.98 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.02 2.1
g(x)x-1x在x，=1处无定义,当x≠1g(xx-1x?-1时g(x)=x +1.当x →1时,g(x) →2.x-1这表明,x→x,时,g(x)的极限与g(x)在x点是否有定义并无关系
• 1 1 ( ) 2 − − = x x g x 2 0 2 1 ( ) 1 , 1 1 1 ( ) 1. , 1 2 ( ) . 1 x g x x x x x g x x x g x x − = = − − = + → → − 在 处无定义 当 时 = 当 时 0 0 这表明, , ( ) ( ) x x g x g x x → 时 的极限与 在 点是否有定义并无关系
七g(x)3x-1223-13-2-12x-1lim g(x)=limlim f(x) = lim(x + 1) = 2x-1 x-1X-x(x-D(x +1)= limx-1x1x1x1±0= lim(x + 1)x-→1=2
x x → − 1 1 0 1 1 lim ( ) lim( 1) 2 x x f x x → → = + = 2 1 1 1 1 lim ( ) lim 1 ( 1)( 1) lim 1 x x x x g x x x x x → → → − = − − + = − 1 lim( 1) x x → = + • -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 • • 1 1 ( ) 2 − − = x x g x = 2 1 1 lim ( ) lim( 1) 2 x x f x x → → = + =
有关函数极限的说明：★ 函数在某点的极限与函数在这点的函数值是否存在，以及取值是多少并没有关系函数在该点★的极限只与函数在该点附近的变化趋势有关系
有关函数极限的说明： ★ 函数在某点的 极限与函数在这点 的函数值是否存在， 以及取值是多少并 没有关系. ★ 函数在该点 的极限只与函数在 该点附近的变化趋 势有关系
定义 设函数,f(x)在点U°(xo,)内有定义，如果对于任意正数ε（不论它多么小），总存在正数8，使得满足00,S>0.使当0<x-x<时,恒有[f(x)-A<8
定义 设函数 f(x)在点 0 U x( , ) 。 内有定义，如果对于 任意正数ε (不论它多么小),总存在正数δ,使得 满足 0 0 − x x 的一切x,能使 f x A ( ) − 恒成立, 则称函数 f(x)当x → x0 时以A为极限, 或称函数 f (x)在 0 x 点有极限.记作 0 0 lim ( ) ( ) ( ). x x f x A f x A x x → = → → 或 该定义称为“ − ”定义. 0 0, 0, 0 , ( ) . x x f x A − − 该定义的简洁表示方法： 使当 时 恒有 对于任意的 存在
注意：1.函数极限与f(x)在点x,是否有定义无关;2.8与任意给定的正数&有关几何解释：yy= f(x)当x在U°(x,)时,A+8Ay=f(x)图形完全A-8落在以直线V=A为中心线，宽为28的带olx+8x-sxox形区域内
几何解释: y f x = ( ) A− A+ A 0 x − 0 x + 0 x x y o 0 ( , ) , ( ) , 2 . x U x y f y A x = = 当 在 。 时 图形完全 落在以直线 为 中心线 宽为 的带 形区域内 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2. . 与任意给定的正数 有关 ( )
例1 证明 lim C=C (C为常数).x→xo证明 任给>0,任取>0,当00,取S=8,当0<x-xl<=时,[f(x)- A|=|x-xol<ε成立, : lim x = Xo.x-→xo
例1 0 lim ( ). x x C C C → 证明 = 为常数 证明 f x A C C ( ) −=− 任给 0, = 0 成立, lim . 0 C C x x = → 任取 0, 0 当0 , − x x 时 例2 lim . 0 0 x x x x = → 证明( ) , x A x x0 f − = − 任给 = 0,取 ， 0 当0 , − = x x 时 0 f x A x x ( )− = − 成立， lim . 0 0 x x x x = → 证明 即常数的极限就是该常数
单侧极限一一左右极限y=x+1Cx0.y=x-1R-1讨论当x→0时f(x)的极限由于f(x)在x=0点断开，是分段函数分x>0和x<0两种情况分别讨论：x从x,左侧无限趋近xo，f(x)的极限称为左极限记作x→x-;lim f(x)= lim(x-1)=-1,x-0x0
( ) 0 , 1 , 0 . 1, 0 0 x x x x f x x = = − + 设函数 ， ， 讨论当x f x → 0 ( ) 时 的极限： 二、单侧极限—左右极限 ( ) 0 0 0 f x x x x = 由于 在 点断开，是分段函数 分 和 两种情况分别讨论： 0 0 x x x f x 从 左侧无限趋近 , ( )的极限称为左极限， 0 记作x x → − ; 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1, x x f x x → → − − = − = − x y o 1 −1 y x = + 1 y x = −1