(1)第二节二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分二、小结思考题经济数学微积分
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结 思考题 第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标系(right anglecoordinate system)计算二重积分如果积分区域为：a≤x≤b,(x)≤ y≤P2(x)[X-型]y=Φ2(x)y=P2(x)DDy=Φ(x)y=@i(x)hb其中函数,(x)、Φ,(x)在区间[a,b]上连续经济数学微积分
如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] 一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分 ［X－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x
:f(x,J)d的值等于以D为底，以曲面z=Df(x,J)为曲顶柱体的体积,z=f(x,y)?Z.1应用计算“平行截面面积为已知的立A(x)体求体积”的方法y= P2(x)XabXy=q(x)-P2(x)得JJ f(x,y)d =dxf(x, y)dy.Pi(x)aD经济数学微积分
( , )d ( , ) D f x y D z f x y = 的值等于以 为底，以曲面 为曲顶柱体的体积． 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, z y x ( ) 0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x 2 1 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d . b x a x D f x y x f x y y = 得 a x0 b
如果积分区域为：c≤≤d，(y)≤x≤(y)[Y-型]yVΦi(y)x=x =Φ1()DD(P2(y)x=x= P2(y)P2(y)[J f(x,y)da=dyf(x, y)dx.q(y)D经济数学微积分
2 1 ( ) ( ) ( , )d d ( , )d . d y c y D f x y y f x y x = 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D
X型区域的特点：穿过区域且平行于v轴的直线与区域边界相交不多于两个交点Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点若区域如图，则必须分割在分割后的三个区域上分别使用积分公式 = + +DD,D3D2经济数学微积分
X型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， D3 D2 D1 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 则必须分割
xyd,其中 D 是x=1、求I=例 1DVy=x及y=2所围成的闭区域Y=2解法一[X-型]X=IX-YI = ["' dxf' xydydx29中2(2xdxx288解法二[Y-型]I = [' dy]' xydx = [diF29="-y88V经济数学微积分
例 1 求 d , D I xy = 其中 D 是x = 1、 y = x及 y = 2所围成的闭区域. 解法一 [X - 型 ] 解法二 [Y- 型 ] 2 2 2 2 2 1 1 d d [ ] d 2 x x y I x xy y x x = = 3 4 2 2 21 1 9 (2 )d [ ] 2 8 8 x x = − = − = x x x 2 2 2 1 1 1 1 d d [ ] d 2 y x y I y xy x y y = = 3 4 2 2 21 1 9 ( )d [ ] 2 2 8 4 8 y y y y = − = − = y X=Y Y=2 X=1 Y X 21 1 2
J[(x°+ y)dxdy，其中 D是由抛物例 2求D线=x和x=所围平面闭区域x=0.8解两曲线的交点0.y=x?0.=→> (0,0) , (1,1)0.2.0.40.60.8[[ (x? + y)dxdy = dx[ (x + y)dyD33J'[x(Vx-x)+=(Idx140华经济数学微积分
例 2 求 2 ( )d d D x y x y + ，其中D是由抛物 线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点(0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x 2 ( )d d D x y x y + 2 1 2 0 d ( )d x x = + x x y y 1 2 2 4 0 1 [ ( ) ( )]d 2 = − + − x x x x x x . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y
e-do，其中 D 是由直例3 求I=D线y=x，y=1及y轴所围成的闭区域解：{e-"dy不能用初等函数计算y=1:.只能用 Y-型I = f'dyf'e-"dxve-d经济数学微积分
例 3 求 2 d y D I e − = ，其中 D 是由直 线 y = x , y = 1及 y轴所围成的闭区域. 解 2 d y e y − 不能用初等函数计算 只能用 Y-型. 1 2 0 0 d d y y I y e x − = 1 2 0 d y ye y − = (1 ) 2 1 −1 = − e
例4 求[[xe-"dxdy,其中 D 是以(0,0),(1,1)D(0,1)为顶点的三角形解：『e-"dy无法用初等函数表示0.60.6.积分时必须考虑次序0.40.2x’e-"dxdy-('dy'x'e0.20.40.60.8D3经济数学微积分
例4 求 2 2 d d y D x e x y − ，其中 D 是以(0,0),(1,1), (0,1)为顶点的三角形. 2 d y e y − 解 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 2 2 d d y D x e x y − 1 2 2 0 0 d d y y y x e x − = 2 3 1 0 d 3 y y e y − = 2 2 1 2 0 d 6 y y e y − = ). 2 (1 6 1 e = −
-112例5计算积分Idyexdx.exdx+I2yexdx不能用初等函数表示解1.21V=x先改变积分次序0.80.6J=x?原式0.40.20.20.40.60.80120.231Ddxe282经济数学微积分
例5 计算积分 1 2 1 1 4 2 d d y y x I y e x = 1 2 1 d d y y x y + y e x . 解 d y x e x 不能用初等函数表示 先改变积分次序. 原式 1 2 2 1 d d y x x x = = I x e y 1 2 1 ( )d x = − x e e x . 2 1 8 3 = e − e 2 y = x y = x